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1、4.3 线性非齐次常系数方程,线性非齐次常系数方程的待定系数法本节我们将研究线性非齐次常系数方程，在第2节给出的常数变易法比较繁琐，本节将给出比较简单的解法.,考虑常系数非齐次线性方程,(4.3.1),当 是一些特殊函数，如指数函数，正余弦,函数，及多项式时，通常利用待定系数法来求解。,一、非齐次项是多项式,（4.3.2）,可取特解形式为,（4.3.3）,其中 是待定常数.,把 代入方程（4.3.2）左端为,考虑方程,比较方程,（4.3.4）,可以从（3.4.4）得出.,两边t 的同次幂的系数得到方程组,当 时,零为方程的特征根，令,代入（3.4.2）比较,(4.3.6),当 时,对上面的方程
2、直接积分可得出方程的特解:,(4.3.6)中的待定常数可以从上,面的方程组得出惟一解,从而得出方程的特解.,当 时,(4.3.2)变为,综上,我们得到(4.3.2)有下面形式的特解:,其中是 待定的常数,可以通过上面介绍的比较系数法惟一的来确定.,例1 求方程 的一个特解.,解:对应的齐次方程的特征根为,因此,该方程特解的形式为,将 代入方程得,比较上式两端的系数,可得,因此,原方程的一个特解为,例2 求方程 的通解.,因此,齐次方程通解为,解:对应的齐次方程的特征根为,再求非齐次方程的一个特解,这里,因为 是特征方程的单根,故特解形式为,将 代入方程得,因此,原方程的特解为,因此,原方程的通
3、解为,二、非齐次项是多项式与指数函数之积,（4.3.7）,做变换,则方程（4.3.7）变为,由方程（4.3.2）的结果,我们有(4.3.8)有如下的,考虑方程,特解.,又因为方程(4.3.7)对应的齐次方程的特征方程为,因此方程(4.3.7)有关特解的结论如下:,(4.3.9),(1)当 不是(4.3.9)的根时,方程(4.3.7)的特解形式为,(2)当 是(4.3.9)的单根时,方程(4.3.7)的特解形式为,(3)当 是(4.3.9)的重根时,方程(4.3.7)的特解形式为,例3 求方程 的一个特解.,解:对应的齐次方程的特征根为二重根,因此,该方程特解的形式为,将 代入方程,可得,因此,
4、原方程的一个特解为,例4 求 的特解.,解:,对上面的方程积分得到一个特解,因此,原方程的特解为,做变换,则原方程变为,三、非齐次项为多项式与指数函数，正余弦函数之积,考虑：,由欧拉公式,（4.3.10）,则（4.3.10）变为,由解的叠加原理知,的解之和必为方程（4.3.10）的解.,又,从而若 是解，那么 也是解,所以方程的特解 形式为,其中 为t 的m次多项式,当 不是方程（4.3.10）对应齐次方程,的特征根时,取.,当 是方程（4.3.10）对应齐次方程,的特征根时,取.,例5 求 的通解.,解：先求对应齐次方程 的通解,特征方程,的根为,所以齐次方程的通解为,不是特征根，故,代入原方程得到,得 A=2，B=1，故原方程的特解为,于是通解为,再求非齐次方程的一个通解，因为,例7 求方程,的通解.,解:先求对应齐次方程的,的通解.,这里的特征方程,有两个解,对应齐次方程的通解为:,再求非齐次方程的一个特解.因为方程的右端由,两项组成,根据解的叠加原理,可先分别求下述,两个方程,与,的特解,这两个特解之和为原方程的一个特解.,对于第一个方程,有形如,的特解,代入第一个方程得:,对第二个方程,有形如,的特解,代入第二个方程得:,因而原方程的特解为,原方程的通解为,作业：习题4.2：2(6,7,8,9,14,15,18,20),
