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1、西南交通大学本科生毕业论文齐次化原理的应用The Application of the Homogeneitisation Principle年 级:2008级学 号:20085605姓 名:莫玲媛 专 业:数学与应用数学指导老师:杨晗2012年6月 西南交通大学本科毕业设计(论文) 第页院 系 数学学院 专 业 数学与应用数学 年 级 2008级 姓 名 莫玲媛 题 目 齐次化原理的应用 指导教师评 语 指导教师 (签章)评 阅 人评 语 评 阅 人 (签章)成 绩 答辩委员会主任 (签章) 年 月 日 西南交通大学本科毕业设计(论文) 第页毕业设计（论文）任务书班 级 2008级 学生姓名
2、 莫玲媛 学 号 20085605 发题日期： 2012年2 月 24 日 完成日期： 6 月 1 日题 目 齐次化原理的应用 1、本论文的目的、意义 本论文的目的：研究探讨齐次化原理在求解各种微分方程中的应用。 本论文的意义：齐次化原理被广泛地应用于各种微分方程的求解中，本论文就其在线性常微分方程以及二阶线性偏微分方程的求解过程的应用展开探讨。论文在提出并证明齐次化原理的可行性基础上，详细介绍了它在一阶线性非齐次常微分方程求解中的应用，并推广到了高阶线性非齐次微分方程以及微分方程组的求解中。论文还具体讨论了在波动方程以及热传导方程的非齐次情形下，如何应用齐次化原理将非齐次方程转化为相应的齐次
3、方程的求解，是求解非齐次方程的一种很重要的工具。本论文对非齐次线性微分方程的求解具有很大的研究价值及意义。 2、学生应完成的任务 （1）掌握齐次化原理在线性非齐次微分方程以及微分方程组的求解中的应用； （2）掌握齐次情形的波动方程以及热传导方程的求解方法； （3）探讨在非齐次情形下，如何应用齐次化原理将非齐次方程的求解转化为相应的齐次方程的求解； （4）理解在其他边界条件下如何应用齐次化原理求解线性偏微分方程。 西南交通大学本科毕业设计(论文) 第页3、论文各部分内容及时间分配：（共 14 周）第一部分查阅以及整理跟论文题目相关的文献、资料等 ( 2周)第二部分制定论文的基本结构框架 ( 1周
4、) 第三部分撰写论文初稿 ( 6周)第四部分修改并完善论文 ( 2周) 第五部分论文定稿及打印等 ( 1周)评阅及答辩 ( 2周)备 注 指导教师： 年 月 日审 批 人： 年 月 日 西南交通大学本科毕业设计(论文) 第页摘 要齐次化原理，也称之为Duhamel原理，广泛应用于各种微分方程的求解中。本文主要围绕齐次化原理在线性非齐次常微分方程以及二阶线性非齐次偏微分方程的求解过程中的应用展开探讨。在微分方程中，方程的齐次情形相对来说比较容易求解，而非齐次方程的求解则通常要借助其相应的齐次方程的解来完成，最常见的一种方法便是常数变易法。类似于上述思想，齐次化原理的实质就是将方程的非齐次情形转化
5、为相应的齐次情形来进行求解。齐次化原理是求解非齐次微分方程的一种很常用的方法，具有很重要的研究价值以及研究意义。本论文的绪论主要阐述了齐次化原理的思想以及简要介绍了论文的大致研究内容和意义。论文的主体部分是齐次化原理在线性常微分方程、波动方程以及热传导方程的求解过程中的应用。论文的第2章主要研究用常数变易法以及齐次化原理分别求出的在已知初始条件下的一阶线性非齐次微分方程的解，二者结果相同，证明了齐次化原理的可行性。随后，论文将齐次化原理推广到了高阶线性非齐次微分方程以及微分方程组的求解中。本文的第3章主要研究的是波动方程的初值问题以及初边值问题的求解与齐次化原理的应用。针对波动方程的初值问题以
6、及初边值问题在齐次情形下，本文分别运用了达朗贝尔解法以及分离变量法对其进行求解。对于非齐次的情形，根据叠加原理对方程进行分解简化，然后引出并运用含参变量积分的微分公式证明了齐次化原理。再运用齐次化原理将非齐次方程的求解转化为相应的齐次方程的求解，最终得出了原方程最终的解。在本文的第4章里，我们主要探讨的是热传导方程的求解与齐次化原理的应用。与波动方程类似，在热传导方程的求解中主要研究了初值问题以及初边值问题。对于齐次初值问题，本文运用了傅里叶变换法进行求解，齐次初边值问题的求解则运用了分离变量法。对于非齐次的情形也是应用了齐次化原理将非齐次方程转化为齐次方程进行求解。最后，本文还对边界条件非齐
7、次情形的求解进行了简要的论述。关键词：齐次化原理；线性方程；初值问题；初边值问题 西南交通大学本科毕业设计(论文) 第页AbstractAs we all know, the volatility and clustering phenomena always appear in the stock market. GARCH-type models are the relatively good tools to effectively reveal the variability and volatility of the stock market that can be accurate
8、ly portrayed a thick sequence of peak tail and volatility clustering, as well as the past influence on the future fluctuations in the volatility of the continuing recession. Using GARCH-type models to study stock market volatility, the market can play a better role of guide for people to invest in t
9、he stock and the new policies introduced by the Government. Accordingly, there are a lot of reality research value and significance.The main contents of this study are learning the theory knowledge of GARCH-type models, grasping the structure and modeling steps, establishing the appropriate type of
10、GARCH model on the Shanghai and Shenzhen stock market, and using the models to analyse and forecast the two cities yield volatility series. History and characteristics of Chinas stock market, generation and development of GARCH-type modles, and the content and meaning of the research paper are intro
11、duced first. Besides, there is a brief description of the volatility and clustering, peak fat-tail and leverage . The main part of the study is the structure of GARCH-type models, modeling steps and analysis of the examples. The appropriate GARCH-type model is chosen in the actual conditions, and th
12、at is GARCH-GED、EGARCH-t and TGARCH model. GARCH-type modeling steps include pre-treatment、model establishing、model checking and model predicting. Research of Shanghai and Shenzhen stock markets is the top priority of this study. We use the Shanghai and Shenzhen composite index of the stock market r
13、ate as an object of the stock market volatility. Through an intuitive, feature and related analysis, the residuals emerge high-end heteroskedasticity and dont obey normal distribution, so it can be created non-normal residuals of GARCH-type models. Through the establishment of more than a comparativ
14、e analysis of different models, yield on the number of sequences of the Shanghai and Shenzhen respectively establish TGARCH (1,1)-t and EGARCH (1,1)-t models, and the two moldes opportunely pass the applicability test and Parametric test of significance. Results of the final forecast are also satisf
15、actory. The volatility of Shanghai and Shenzhen stock market is compared, and that Chinas stock market has volatility clustering, volatility Continuity and leverage characteristics is obtained Finally.key words：Volatility ；GARCH-type Models ；Model Identification ；Parameter Estimation ；Analysis and C
16、ompariso 西南交通大学本科毕业设计(论文) 第页目 录第1章绪论11.1 齐次化原理11.2 论文研究的主要内容及意义1第2章常微分方程的求解与齐次化原理的应用32.1 用常数变易法求解一阶线性非齐次微分方程32.2 齐次化原理与一阶线性微分方程的求解42.3 齐次化原理的推广62.4 小结7第3章波动方程的求解与齐次化原理的应用83.1 初值问题的求解83.1.1 齐次初值问题的求解83.1.2 非齐次初值问题的求解与齐次化原理的应用103.2 初边值问题的求解143.2.1 齐次初边值问题的求解143.2.2 非齐次初边值问题的求解与齐次化原理的应用173.3 非齐次边界条件下齐次
17、化原理的应用203.4 小结20第4章热传导方程的求解与齐次化原理的应用224.1 初值问题的求解224.1.1 齐次初值问题的求解224.1.2 非齐次初值问题的求解与齐次化原理的应用234.2 初边值问题的求解254.1.1 齐次初边值问题的求解254.1.2 非齐次初值问题的求解与齐次化原理的应用274.3 其他边界条件下齐次化原理的应用294.4 小结31结论32致谢33参考文献34附录35 西南交通大学本科毕业设计(论文) 第36页第1章 绪论齐次化原理可以广泛地应用于各种微分方程的求解中，研究其在不同微分方程求解过程中的具体应用，有助于我们更好地求解微分方程。1.1 齐次化原理齐次
18、化原理也称之为Duhamel原理，从物理的角度还可以称之为冲量原理，是法国分析学和应用数学家J.M.C.Duhamel提出的求解线性偏微分方程的一种方法。利用它可以使非齐次方程的求解归结为相应的齐次方程的求解，类似于常微分方程中的常数变易法。齐次化原理最初被广泛地应用于非齐次线性双曲型以及抛物型偏微分方程的求解中，对于数学物理方程等学科的研究具有重要意义。此后，齐次化原理被推广应用到了非齐次线性常微分方程以及常微分方程组的求解中。于是齐次化原理对于非齐次的常微分方程的求解也具有很大的研究意义。1.2 论文研究的主要内容及意义本毕业论文主要围绕齐次化原理在各种微分方程求解中的应用来展开讨论。在偏
19、微分方程中，波动方程、热传导方程以及调和方程是三个具有很强实际背景意义的二阶线性偏微分方程，研究这三类方程的求解对于整个偏微分方程都有着重大意义。而对于调和方程，一般都用函数对其进行求解，本文不予以讨论。在偏微分方程方面，本论文重点介绍齐次化原理在波动方程以及热传导方程的初值问题以及初边值问题求解过程中的应用。此外，对于波动方程、热传导方程的初值以及初边值问题的齐次情形，本文也给出了详细的求解过程。齐次化原理也是求解非齐次线性常微分方程的一种方法，于是本文也就常微分方程以及方程组的求解与齐次化原理的应用进行了概要性的描述。本论文的主要内容共有3章，分别是线性常微分方程、波动方程以及热传导方程的
20、求解与齐次化原理的应用。本论文第一章是绪论。第二章主要研究一阶线性常微分的求解与齐次化原理的应用。首先用最熟知的常数变易法求解一阶线性非齐次常微分方程，并在已知初值条件情况下，求出满足条件的解；然后用齐次化原理将已知初值条件的一阶线性非齐次方程的求解转化为相应的齐次方程来求解，最终得出非齐次方程的解。两种方法得出的结论是一致的。在这一章中，齐次化原理还被推广到了高阶线性常微分方程以及方程组的求解中。第三章是波动方程的求解与齐次化原理的应用。本章主要论述了波动方程初值问题以及初边值问题的求解。在初值问题的求解中，首先运用达朗贝尔解法给出齐次方程的求解，并得出了达朗贝尔表达式。在非齐次初值问题中，
21、引出并证明了齐次化原理，然后应用齐次化原理将非齐次方程转化为齐次方程进行求解，然后根据叠加原理最终得出了非齐次方程的解，并对其进行了验证。类似于初值问题，波动方程的初边值问题也是首先求出齐次方程的解，用的是分离变量的方法。对于非齐次方程，也是利用齐次化原理进行了转化，最终得出非齐次方程的解，并进行了验证。本章的最后还对非齐次边界条件的非齐次方程的求解与齐次化原理的应用进行了概要性讨论。第四章主要论述的是热传导方程的求解与齐次化原理的应用。对于热传导方程，一般是利用傅里叶变换来求解的，但是对于非齐次的情形，傅里叶变换则显得颇为复杂，于是本论文利用齐次化原理对其进行求解，简化了求解过程。对于热传导
22、方程的齐次初值问题本论文利用傅里叶变换得出解的表达式，进而求解非齐次初值问题时，引入齐次化原理并对其进行验证，证明齐次化原理在热传导方程求解中依然成立，然后利用齐次化原理得出了非齐次方程的解。对于初边值问题，类似于波动方程，运用分离变量法对齐次问题进行了求解，再利用齐次化原理得出非齐次情形的解。本章的最后也对在其他边界条件下齐次化原理的应用进行了简要的论述。本论文对齐次化原理的应用进行了详细的研究与归纳，基于本身知识的欠缺，本论文肯定存在一定的不足，但是对于齐次化原理在线性常微分方程（组）以及波动方程、热传导方程的求解中，本论文还是有着重要的研究价值与实际意义的。第2章常微分方程的求解与齐次化
23、原理的应用 常微分方程在整个数学学科中，占据着极其重要的地位，在现实生活中，存在着大量满足常微分方程的数学模型，人们可以通过应用这样的模型来解决未知的问题。所以常微分是可以解决很多实际问题的一种重要工具。这样的一种性质，直接决定了掌握常微分方程求解方法的重要性。常微分方程一般可以分为线性以及非线性微分方程，本章就线性微分方程的求解与齐次化原理的应用进行讨论。本章首先运用常数变易法求出一阶线性非齐次微分方程的通解以及在已知初始条件情况下满足方程的特解，然后引出齐次化原理再予以证明，随后运用齐次化原理求出满足方程以及初始条件的解，两种方法得出的结论是一致的。最后将齐次化原理进行推广，将其应用到了高
24、阶线性非齐次微分方程以及线性方程组的求解中。2.1 用常数变易法求解一阶线性非齐次常微分方程常数变易法是求解线性非齐次常微分方程最常用的一种方法，具体过程是在求出相应的齐次方程通解后，再将齐次方程通解中的常数变易为待定函数，最后得出满足非齐次方程的通解。下面，我们用常数变易法求解一阶线性非齐次常微分方程。一阶线性非齐次常微分方程具有以下形式， （2.1.1）其中，是的连续函数。首先求出齐次方程的通解。通过分离变量，得到两边积分，其中为任意常数。于是，令，得到 （2.1.2）其中为任意常数。下面运用常数变易法，求解非齐次方程（2.1.1）的通解。在（2.1.2）中，令常数变易为的函数，于是可得到
25、 （2.1.3）对其进行微分，可得 （2.1.4）把（2.1.3）及（2.1.4）代入到（2.1.1），即得到，即，两边积分后，得，把得到的代入（2.1.3）就可得到方程（2.1.1）的通解， （2.1.5）其中为任意常数特别的，如果方程（2.1.1）给出了初始条件，则满足这个初始条件的解为， （2.1.6）2.2 齐次化原理与一阶线性非齐次微分方程的求解在上一节中，我们用常数变易法求解出了一阶线性非齐次微分方程的通解，并求出了满足初始条件的解。下面我们引出齐次化原理，并用其求解满足初始条件的一阶方程的解。齐次化原理若是齐次方程 （2.2.1）的解，那么则是非齐次方程 （2.2.2）的解。下面
26、验证齐次化原理是成立的。在方程（2.2.1）中，由，容易得出 （2.2.3）令，代入（2.2.3）即可得到 （2.2.4）并由方程（2.2.1）的初值条件可知， （2.2.5）于是方程（2.2.1）的解为 （2.2.6）设方程（2.2.2）的解 （2.2.7）于是，于是，这就证明了 （2.2.8）是方程（2.2.2）的解，且满足。证明完毕。根据叠加原理，我们把方程（2.2.1）与（2.2.2）的解叠加起来便成为了方程的通解，即于是我们就可以得到方程 （2.2.9）的解为， （2.2.10）对比用常数变易法求出的结论（2.1.6）与用齐次化原理得出的结论（2.2.10），我们可以看到两个结果是相
27、同的，故这也证明了齐次化原理在一阶线性常微分求解中是可行的，而且比起常数变易法，齐次化原理要更简单直接。2.3 齐次化原理的推广齐次化原理不仅仅可以用于求解一阶线性非齐次微分方程，还可以应用于高阶线性非齐次微分方程以及方程组的求解。本节将概要介绍齐次化原理在高阶线性非齐次微分方程以及高阶线性非齐次方程组求解过程中的应用。1） 若是方程的解，则就是的解。 证明：2）若是线性方程组 （1）的解，则是方程组 （2）的解。其中，证明：类似于求解一阶线性常微分的方法，通过齐次化原理，我们可以得到以下结论：若是方程组（1）的基解矩阵，那么它的通解是，于是（1）的解就是，。由齐次化原理得（2）的解可以表示为
28、。根据叠加原理，可以求出初值问题的解为，这个结论与大家熟知的常数变易公式是一致的。注：齐次化原理还可以应用于非齐次常系数微分方程的求解中，本文不予以讨论。2.4 小结齐次化原理对于线性非齐次常微分方程（组）的求解是一种很有用的工具，对于非齐次微分方程（组），只需求解出相应的齐次方程（组）就可以得到非齐次方程（组）的解，省去了很多繁琐的求解过程。除此之外，齐次化原理更广泛应用于偏微分方程的求解中，以下的章节将具体介绍齐次化原理在波动方程以及热传导方程的求解中的应用。第3章波动方程的求解与齐次化原理的应用在上一章中，我们介绍了在一阶线性非齐次常微分方程求解过程中齐次化原理的应用，并且把齐次化原理推
29、广到了高阶线性非齐次微分方程以及方程组的求解中。本章以后的内容主要介绍齐次化原理在线性非齐次偏微分方程求解过程中的应用。在数学物理方程的学科中，波动方程、热传导方程以及调和方程是三个具有很强实际背景意义的二阶线性偏微分方程，并且它们分别属于双曲方程、抛物方程以及椭圆方程的范畴。研究这几个方程的求解对于其他偏微分方程的求解具有重要意义。齐次化原理被广泛应用于非齐次波动方程以及热传导方程的求解中，于是本章就波动方程的求解与齐次化原理的应用展开讨论。本章重点介绍在波动方程的初值问题（柯西问题）以及初边值问题（混合问题）的求解过程中，如何应用齐次化原理将非齐次的方程的求解转化为相应的齐次方程求解，从而
30、求出非齐次方程解的表达式。最后本章对齐次化原理的应用进行了推广，考虑在非齐次边界条件下如何构造辅助函数将边界齐次化，再应用齐次化原理求解方程。我们知道在微分方程的求解中，齐次方程的解往往是非齐次方程求解的基础，故本章针对波动方程的初值以及初边值问题的求解，都最先从齐次方程的求解开始讨论。3.1 波动方程的初值问题的求解为了求解波动方程的定解问题，我们先从最简单的入手，即初值问题。波动方程的初值问题也称为柯西问题，其定解条件只有初始条件，下面我们来探讨齐次初值问题的求解。3.1.1 齐次初值问题的求解齐次波动方程的初值问题具有以下形式， （3.1.1）要求解这个方程，我们可以通过变换自变量的方法
31、，首先引入新的自变量，根据复合函数求导法则，可求得同理可得，于是，从而方程（3.1.1）中的泛定方程可化为， （3.1.2）容易看出，方程（3.1.2）的通解可表示为，则，方程（3.1.1）中的泛定方程通解为， （3.1.3）于是， （3.1.4） （3.1.5）对（3.1.5）积分可得， （3.1.6）其中，为常数，为任意一点。由（3.1.4）、（3.1.6）可解出： （3.1.7）把代入（3.1.3），就可得到（3.1.1）的解，这个表达式也称之为达朗贝尔公式。3.1.2 非齐次初值问题的求解与齐次化原理的应用在上一小节中，我们通过达朗贝尔解法求出了齐次波动方程的初值问题解的表达式，下面我
32、们就引出齐次化原理进一步求解非齐次方程的初值问题。非齐次波动方程的初值问题具有以下形式， （3.1.8）由于上述方程是线性的，故我们可以利用叠加原理进行求解。首先将方程（3.1.8）分解为：（i）（ii）若已知方程（i）的解为，（ii）的解为，则根据叠加原理，（3.1.8）的解可表示为对于方程（i），我们利用上一节的结论，可以直接得出它的解为， （3.1.9）于是我们下面就只要求出方程（ii）的解，首先引出齐次化原理。（1）齐次化原理若是齐次方程 （3.1.10）的解，那么是方程 （3.1.11）的解。为了验证齐次化原理，我们首先引入含参变量积分的微分公式。若函数及其偏导数在区域，上连续，则在
33、上可微，且都有，。本公式的证明见附录1。下面验证齐次化原理，在方程（3.1.11）中，、当时，、由含参变量积分的微分公式得，当时，、同理可得，证明完毕。通过验证，我们可以得出齐次化原理的可行性，下面我们就利用这个原理来解决在波动方程求解中将的非齐次方程转化为相应的齐次方程来进行求解的问题。（2）非齐次方程的求解与齐次化原理的应用对于初值问题（ii），我们可以利用齐次化原理把非齐次方程转化为相应的齐次方程来求解。即，若已知是齐次方程 （3.1.12）的解，那么便是初值问题（ii）的解。在方程 （3.1.12）中，令，则方程便可转化为， （3.1.13）容易看出，（3.1.13）与初值问题（i）是同类问题，于是下面我们直接应用达朗贝尔求解公式求出方程（3.1.13）的解，再替换变量得到（3.1.12）的解，即。由达朗贝尔公式可知，（3.1.12）的解为，于是根据齐次化原理，就得出初值问题（ii）的解，即 （3.1.14）下面验证（3.1.14）是初值问题（ii）的解，由含参变量积分的微分公式，可得到，于是有，又容易得知，于是可以证明，就是初值问题（ii）的解。综上可知，方程（3.1.8）的解由叠加原理可以表示为，在非齐次波动方程的初值问题求解中，首先将方程分解简化为泛定方程齐次、初始条件非齐次及泛定方程非齐次、初始条件齐次的两个方程。然后通过齐次化原理，将非
