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1、1 平面点集与多元函数,多元函数是一元函数的推广,它保留着一元函数的许多性质,同时又因自变量的增多而产生了许多新的性质,读者对这些新性质尤其要加以注意.下面着重讨论二元函数,由二元函数可以方便地推广到一般的多元函数中去.,四、n 元函数,一、平面点集,二、R2 上的完备性定理,三、二元函数,一、平 面 点 集,平面点集的一些基本概念 由于二元函数的定,坐标平面上满足某种条件 P 的点的集合,称为平,对 与平面上所有点之间建立起了一一对应.,在平面上确立了直角坐标系之后,所有有序实数,义域是坐标平面上的点集,因此在讨论二元函数,之前，有必要先了解平面点集的一些基本概念.,面点集,记作,例如：,(
2、2),(3),由于点 A 的任意圆邻域可以包含在点 A 的某一,方邻域之内(反之亦然),因此通常用“点 A 的 邻,用记号 或 来表示.,点 A 的空心邻域是指:,或,域”或“点 A 的邻域”泛指这两种形状的邻域,并,注意:不要把上面的空心方邻域错写成:(请指出,点和点集之间的关系,以下三种关系之一:,是 E 的内点;由 E 的全体内点所构成的集合称为,E 的内部,记作 int E.,错在何处?),点 A 是 E 的外点；由 E 的全体外点所构成的集合,的全体界点所构成的集合称为 E 的边界;记作,注 E 的内点必定属于 E;E 的外点必定不属于 E;,E 的界点可能属于 E,也可能不属于 E
3、.并请注意:,称为 E 的外部.,的集合.,例1 设平面点集（见图 16 3）,于D;满足 的一切点也,是 D 的内点;满足,的一切点是 D 的界点,它们都属,是 D 的界点,但它们都不属于 D.,点 A 与点集 E 的上述关系是按“内-外”来区分的.,此外，还可按“疏-密”来区分，即在点 A 的近旁,是否密集着 E 中无穷多个点而构成另一类关系:,含有 E 中的点，则称点 A 是点集 E 的聚点,注1 聚点本身可能属于E，也可能不属于E.,注2 聚点的上述定义等同于:“在点 A 的任何邻域,内都含有 E 中的无穷多个点”.,注3 E 的全体聚点所构成的集合称为 E 的导集,记,例如,对于例1
4、 中的点集 D,它的导集与闭包同为,所有聚点都属于 D.,E 的孤立点.,注 孤立点必为界点;内点和不是孤立点的界点必,为聚点;既非聚点,又非孤立点,则必为外点.,E 中所有点(p,q)全为 E 的孤立点;并有,一些重要的平面点集,根据点集所属的点所具有的特殊性质,可来定义一,些重要的点集.,开集 若 E 所属的每一点都是 E 的内点(即E=,int E),则称 E 为开集.,E 为闭集.,例如前面列举的点集中,(2)式所示的 C 是开集;(3),式所示的 S 是闭集;(4)式所示的 D 既非开集,又,非闭集;而(1)式所示的 R2 既是开集又是闭集.在,开域若非空开集 E 具有连通性,即 E
5、 中任意两,点之间都可用一条完全含于 E 的有限折线相连接,则称 E 为开域.简单地说,开域就是非空连通开集.,闭域 开域连同其边界所成的集合称为闭域.,区域 开域、闭域、开域连同其一部分界点所,成的集合,统称为区域.,不难证明:闭域必为闭集;而闭集不一定为闭域.,在前述诸例中,(2)式的 C 是开域,(3)式的 S 是闭,域,(1)式的 R2 既是开域又是闭域,(4)式的 D 是区,域(但既不是开域又不是闭域).又如,它是 I、III 两象限之并集.虽然它是开集,但因,不具有连通性,所以它既不是开域,也不是区域.,其中 O 是坐标原点(也可以是其他固定点),则称 E,为有界点集.否则就为无界
6、点集(请具体写出定义).,前面(2),(3),(4)都是有界集,(1)与(5)是无界集.,E 为有界点集的另一等价说法是:存在矩形区域,此外，点集的有界性还可以用点集的直径来反映,所谓点集 E 的直径,就是,其中(P1,P2)是 P1(x1,y1)与 P2(x2,y2)之间的距,离,即,于是,当且仅当 d(E)为有限值时,E为有界点集.,根据距离的定义,不难证明如下三角形不等式:,举例讨论上述点集的性质,例3 证明:对任何,恒为闭集.,证 如图16 4 所示,设,的任一聚点，欲证,为闭集,注 类似地可以证明:对任何点集,亦恒为闭集.(留作习题),证 下面按循环流程图16 5 来分别作出证明.,
7、反之显然有,综合起来,便证得,外点,反之显然,注 此例指出了如下两个重要结论:,有许多便于应用的性质),(ii)闭集与开集具有对偶性质闭集的余集为开,集;开集的余集为闭集.利用此性质,有时可以通,过讨论 来认识 E.,例5 以下两种说法在一般情形下为什么是错的?,(i)既然说开域是“非空连通开集”，那么闭域就是,“非空连通闭集”；,边界后所得的是否为一开域,即,通闭集.但因它是前面(5)式所示的集合 G 与其边,开域,故 S 不是闭域(不符合闭域的定义).,(ii)如图16 6 所示,E 为一开域,据定义 F 则为闭域；然而,(a)中的点集为 D;(b)中的点,显然不符合它为闭域的定义.,由此
8、又可见到:,二、R2上的完备性定理,平面点列的收敛性定义及柯西准则 反映实数,系完备性的几个等价定理,构成了一元函数极限理,论的基础.现在把这些定理推广到 R2,它们同样是,二元函数极限理论的基础.,则称点列 Pn 收敛于点 P0,记作,同样地有,由于点列极限的这两种等价形式都是数列极限,因,此立即得到下述关于平面点列的收敛原理.,证（必要性）,应用三角形不等式,立刻得到,(充分性)当(6)式成立时,同时有,这说明 xn 和 yn 都满足关于数列的柯西准则,所以它们都收敛.,由点列收敛概念,推知Pn收敛于点 P0(x0,y0).,(这是一个重要命题,证明留作习题.),下述区域套定理,是区间套定
9、理在 R2 上的推广.,定理16.2(闭域套定理)设 Dn 是 R2 中的一列闭,域,它满足：,则存在惟一的点,证 如图16 7所示,任取点列,从而有,由柯西准则知道存在,任意取定 n,对任何正整数 p,有,Dn 的聚点必定属于 Dn,则得,则由,推论 对上述闭域套 Dn,注 把 Dn 改为闭集套时,上面的命题同样成立.,E 在 R2 中至少有一个聚点.,证 现用闭域套定理来证明.由于 E 有界,因此存,分成四个相同的小正方形,则在其中至少有一小闭,正方形含有 E 中无限多个点,把它记为 D2.再对,D2 如上法分成四个更小,的正方形,其中又至少有,一个小闭正方形含有 E,的无限多个点.如此下
10、去,得到一个闭正方形序列：,很显然,Dn 的边长随着,而趋于零.于是由闭域套定理,存在一点,最后,由区域套定理的推论,又由 Dn 的取法,知道,含有 E 的无限多个点,这就证得了M0 是 E 的聚点.,为一族开域,它覆盖了 D,同样覆盖了D,即,本定理的证明与 R 中的有限覆盖定理(定理 7.3),相仿,在此从略.,注 将本定理中的 D 改设为有界闭集,而将,改设为一族开集,此时定理结论依然成立.,是:E 的任一无穷子集 Eq 必有聚点,且聚点恒属,闭集,所以该聚点必属于 E,(充分性)先证 E 为有界集.倘若 E 为无界集,则,存在各项互异的点列,再证 E 为闭集.为此设 P0 为 E 的任
11、一聚点,由聚,点的等价定义,存在各项互异的点列 使,现把 看作,由条件 的聚点(即)必,属于 E,所以 E 为闭集.,三、二元函数,函数(或映射)是两个集合之间的一种确定的对,应关系.R 到 R 的映射是一元函数,R2 到 R 的映,射则是二元函数.,定义2 设平面点集,若按照某对应法则 f,D 中每一点 P(x,y)都有惟一确定的实数 z 与之,对应,则称 f 为定义在 D 上的二元函数(或称 f 为,D 到 R 的一个映射),记作,也记作,或点函数形式,与一元函数相类似,称 D 为 f 的定义域;而称,为 f 在点 P 的函数值;全体函数值的集合为 f 的,值域,记作.通常把 P 的坐标
12、x 与 y 称,为 f 的自变量,而把 z 称为因变量.,当把 和它所对应的 一起组成,三维数组(x,y,z)时,三维点集,便是二元函数 f 的图象.通常该图象是一空间曲,面,f 的定义域 D 是该曲面在 xOy 平面上的投影.,其定义域是 R2,值域是 R.,例9 的定义域是 xOy 平面上的,单位圆域,值域为区间 0,1,它的图象是以原点为中心的单位球面的上半部分,(图16 9).,例10 是定义在 R2 上的函数,它的图象是过,原点的双曲抛物面(图 16 10).,例11 是定义在 R2 上的函数,值域,是全体非负整数,它的图象示于图 16 11.,若二元函数的值域 是有界数集,则称函数
13、,在 D上为一有界函数(如例9 中的函数).否则,函数(如例8、10、11 中的函数).,例12 设函数(此函数在以后还有特殊用处),得等高线方程,的形状.若把它化为极坐标方程,即令,得到,族等高线.,图 16 13,由此便可想象曲面的大致形状如图 16 13 所示,坐标原点是曲面的一个鞍点,四道“山谷”与四道,“山脊”在鞍,点处相汇.,四、n 元函数,维向量空间,简称 n 维空间,记作 Rn.其中每个有,设 E 为 Rn 中的点集,若有某个对应法则 f,使 E,与之对应,则称 f 为定义在 E 上的 n 元函数,记作,也常写成,或,对于后一种被称为“点函数”的写法,它可使多元,函数与一元函数在形式上尽量保持一致,以便仿照,一元函数的办法来处理多元函数中的许多问题;,同时,还可把二元函数的很多论断推广到,元函数中来.,复 习 思 考 题,1.试问在 R 中的开集、闭集、开域、闭域、区域,等集合是数直线上怎样一些点集？,2.设 E,F 分别是 R2 中的开集和闭集试问在 R3,中 E 是否仍为开集？F 是否仍为闭集？,R2 中没有直接对应的命题？,4.为什么说“在一切平面点集中，只有 R2 与,是既开又闭的点集”？,试为之写出证明,6.,
