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1、第6章 无限脉冲响应滤波器的设计,6.1 数字滤波器的基本概念6.2 模拟滤波器的设计6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器6.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计6.6 IIR 数字滤波器的直接设计法,6.1 数字滤波器的基本概念,数字滤波器指用运算的方法改变数字信号的频率分量的相对比例的器件。与模拟滤波器相比，数字滤波器的精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不要求阻抗匹配？等优点。1.数字滤波器的分类 从网络结构或者单位脉冲响应分类：无限脉冲响应(IIR)滤波器 有限脉冲响应(FIR)滤波器,从功能上来分类：低通滤波器高通滤波器带通滤
2、波器带阻滤波器,2数字滤波器的技术要求 假设数字滤波器的传输函数H(ej)用下式表示：选频滤波器的技术指标只要求幅频特性。线性相位滤波器的技术指标则两样都要求。,图6.1.2 低通滤波器的技术要求,通带和阻带内都允许有衰减误差。允许的衰减用dB数表示。通带内允许的最大衰减用p表示，阻带内允许的最小衰减用s表示。p和s分别定义为：,(6.1.3),(6.1.4),如将|H(ej0)|归一化为1，(6.1.3)和(6.1.4)式则表示成：,(6.1.5),(6.1.6),3.数字滤波器的设计方法 IIR滤波器设计方法是：从模拟滤波器变到数字滤波器的设计，直接在离散频域或时域中设计。FIR滤波器的设
3、计方法是：窗函数法，频率采样法。,6.2 模拟滤波器的设计,模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Ellipse)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。设计模拟滤波器是先设计低通滤波器，再把低通滤波器变换为希望的滤波器。,图6.2.1 各种理想滤波器的幅频特性,1.模拟低通滤波器的指标和设计方法 模拟低通滤波器的设计指标有p,p,s和s。其中p和s分别称为通带截止频率和阻带截止频率，p是通带(=0p)中的
4、最大衰减系数，s是阻带s的最小衰减系数，p和s一般用dB数表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成：,以上技术指标用低通滤波器的幅度特性图表示。图中c称为3dB截止频率？,模拟低通滤波器的设计方法是：（1）根据滤波器的技术指标设计传输函数Ha(s)的幅度平方函数，它与系统函数有关系 上式的关系从Ha(s)的因式相乘表达式推出。（2）根据幅度平方函数和系统的极点应该在s的左半平面，求出传递函数。,2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数用下式和图表示。想一想阶数N与幅频特性下降坡度的关系？,为了求出幅度平方函数，将|Ha(j)|2写成s的函数：此幅度平方函数有2N个极点，
5、极点 它们均匀的分布在半径为c的圆上，间隔是/N弧度。,例如N=3的三阶巴特沃斯滤波器，为形成稳定的滤波器，在6个极点中取s平面左半平面的3个极点构成Ha(s)，而右半平面的3个极点构成Ha(-s)。三阶巴特沃斯滤波器的极点分布如下：,如此可得到系统函数,由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率c归一化，归一化后的Ha(s)表示为 式中，s/c=j/c。令=/c，称为归一化频率；令p=j，p称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为,(6.2.10),(6.2.11),式中，pk为归一化极点，用下式表示：这样设计巴特沃斯滤波器的步骤是：a.根
6、据技术指标确定阶数N，b.求出归一化极点pk，c.求出归一化传递函数Ha(p)，d.用c去归一化到实际传递函数Ha(s)。,从技术指标推出N和c：用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数？。当 阻带指标有富裕 当 通带指标有富裕,如果将极点代入传递函数的因式分解式，可以得到的Ha(p)的多项式表达式。早有科学家把两种传递函数形式的系数列成表格，供我们设计时查找。参阅书上157158页。,归纳起来，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：(1)根据技术指标p、p、s和s，求出滤波器的阶数N。(2)计算或者查表求出归一化传输函数Ha(p)。(3)用p=s/c代入Ha(p)，得到实际的滤波器
7、传输函数Ha(s)。,表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数,例6.2.1 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减p=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=30dB。请按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解：(1)确定阶数N。,(2)有两种方法。法一：按照(6.2.12)式计算出极点,带入(6.2.11)式，得到归一化传输函数,法二：直接查表6.2.1的N=5，得到三种结果：极点是-0.3090j0.9511，-0.8090j0.5878，-1.0000。系统函数的多项式形式 系统函数的因式分解形式,(3)Ha(p)去归一化。先求3dB截止频率c。如果希望阻带指标
8、有富裕，则,将p=s/c代入Ha(p)中得到：,用MATLAB来设计该题，通带指标有富裕。clear;close all;fp=5000;fs=12000;rp=2;rs=30;n,fc=buttord(fp,fs,rp,rs,s);%求阶数和半功率点频率b,a=butter(n,fc,s);%求系统函数的分子分母系数hf,f=freqs(b,a);%求系统函数的频谱plot(f,abs(hf);xlabel(f/Hz);ylabel(|H(f)|);axis(0,1.2e4,0,1.2);gridshg,3.切比雪夫滤波器的设计方法 图6.2.5分别画出阶数N=3和N=4的切比雪夫型滤波器幅
9、频特性。,图6.2.5 切比雪夫型滤波器幅频特性,其幅度平方函数用A2()表示：式中，为小于1的正数，表示通带内幅度波动的程度。愈大，波动幅度也愈大。p称为通带截止频率。令=/p，称为对p的归一化频率。CN(x)称为N阶切比雪夫多项式，定义为,图6.2.6示出了阶数N=0,4,5时的切比雪夫多项式特性。由图可见：(1)切比雪夫多项式的过零点在|x|1的范围内；(2)当|x|1时，CN(x)是双曲线函数，随x单调上升。,图6.2.6 N=0,4,5切比雪夫多项式曲线,平方幅度函数与三个参数、p和N有关。其中与通带内允许的波动大小有关，定义允许的通带波纹用下式表示：,因此,图6.2.7 切比雪夫型
10、与巴特沃斯低通的A2()曲线,当频率为s时，切比雪夫型滤波器的幅度平方函数A2(s)为 由此解出,当频率为c时，切比雪夫型滤波器的幅度平方函数A2(s)为1/2，由此解出 以上p、和N确定后，可以求出滤波器的极点，并确定Ha(p)，p=s/p。求解的过程是很复杂的。下面仅介绍一些有用的结果。设切比雪夫滤波器Ha(s)的极点为si=i+ji，极点的实部和虚部是,可以看出，极点的实部和虚部的关系是椭圆方程，式中的psh是短半轴(在实轴上)，pch是长半轴(在虚轴上)。因此切比雪夫滤波器的极点分布在这个椭圆上。,设N=3，三阶切比雪夫滤波器的极点分布如下。,为了稳定，用左半平面的极点构成系统函数Ha
11、(p)，即 式中c是待定系数。根据切比雪夫滤波器的幅度平方函数用力推导，c=2 N-1，所以归一化的传输函数为 去归一化后的传输函数为,按照以上分析，设计切比雪夫型滤波器的步骤是：（1）根据技术要求p、p、s和s确定N和。（2）求滤波器的极点，写出归一化系统函数。,（3）将Ha(p)去归一化得到实际的Ha(s)。,例6.2.2 设计低通切比雪夫滤波器。要求通带截止频率fp=3kHz，通带最大衰减p=0.1dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=60dB。解(1)根据技术要求p、p、s和s确定N和。,(2)求滤波器的极点，写出归一化系统函数。取N=5，算出极点pi，得到归一化系统函数
12、：（3）将Ha(p)去归一化得到实际的Ha(s)。,用MATLAB解决这个复杂的题：clear;close all;fp=3e3;fs=12e3;rp=0.1;rs=60;n,fc=cheb1ord(fp,fs,rp,rs,s)%求阶数和通带频率b,a=cheby1(n,rp,fc,s)%求系统函数的系数hf,f=freqs(b,a);%求系统函数的频谱plot(f,abs(hf);xlabel(f/Hz);ylabel(|H(f)|);grid,4.模拟高通、带通、带阻滤波器的设计 模拟高通、带通、带阻滤波器的传输函数可以由低通滤波器的传输函数通过频率变换求得。为了防止频率变换时引起符号混淆
13、，先规定符号如下：低通滤波器的传递函数用G(s)表示，s=j；归一化频率为，p=j称为归一化拉氏复变量。想要的滤波器的传递函数用H(s)表示，s=j；归一化频率为，q=j称为归一化拉氏复变量。,(1)设计模拟高通滤波器 低通滤波器和高通滤波器的幅频特性如左图所示。低通的从0到时的特性对应高通的从到0时的特性，所以和之间的关系为它是低通和高通转换的依据，例如：,模拟高通滤波器的设计步骤：a.把高通滤波器的指标按关系=1/转换成低通滤波器 的指标，b.设计归一化低通滤波器G(p)，c.用p=1/q转换G(p)成归一化高通H(q)，d.将q=s/c代入H(q)中，得模拟高通H(s)。,例6.2.3
14、设计高通滤波器，要求fp=200Hz，fs=100Hz，幅度特性单调下降，fp处最大衰减为3dB，阻带最小衰减s=15dB。解：把高通滤波器的指标按关系=1/转换成低通滤波器的指标。高通的fp=200Hz,fs=100Hz,p=3dB,s=15dB,p=fp/fc=1,s=fs/fc=0.5，p=1,s=2,设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器，故,设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器，故,用p=1/p=c/s代入G(p)中求模拟高通H(s)。,用MATLAB来解决问题：clear;close all;fp=1;fs=2;rp=3;rs=15;%归一化低通的指标n,fc=butto
15、rd(fp,fs,rp,rs,s)%求阶数和半功率点频率b,a=butter(n,1,s)%求归一化系统函数的系数printsys(b,a)%打出归一化系统函数的公式c,d=lp2hp(b,a,200*2*pi)%低通转到高通printsys(c,d)%打出高通系统函数的公式hf,f=freqs(c,d);%求高通系统函数的频谱plot(f/2/pi,abs(hf);xlabel(f/Hz);ylabel(|H(f)|);axis(0,600,0,1);grid%阻带指标有富裕,(2)设计模拟带通滤波器 低通滤波器和带通滤波器的幅频特性如下图所示。低通的从到0到时的特性对应带通的从0到0到的特
16、性。,图中u和l分别称为带通滤波器的通带上限频率和通带下限频率；B=ul称为通带带宽，作为归一化参考频率。s1和s2分别称为下阻带上限频率和上阻带下限频率。02=l u，0称为通带中心频率。归一化边界频率用下式计算：,由与的对应关系，得到低通到带通的频率变换公式：,由p与u的对应关系知道，,下面推导由归一化低通到带通的转换公式。由于,所以用变换公式得到：将q=s/B代入上式去归一化，得到由归一化低通转换成带通的计算公式：,模拟带通滤波器的设计步骤：a.把模拟带通滤波器的技术指标归一化，b.确定归一化低通技术指标，s与-s的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的s，保证在较大的s处系统也能满足要求。
17、通带最大衰减仍为p，阻带最小衰减亦为s。,c.设计归一化低通G(p)。d.用变换公式将G(p)转换成带通H(s)。例6.2.4 设计模拟带通滤波器，要求它的通带带宽B=2200rad/s，中心频率0=21000rad/s，通带内最大衰减p=3dB，阻带s1=2830rad/s和s2=21200rad/s，阻带最小衰减s=15dB。解：a.把模拟带通滤波器的技术指标归一化，,0=21000rad/s,s1=2830rad/s,s2=21200rad/s,B=2200rad/s；0=0/B=5,s1=s1/B=4.15,s2=s2/B=6.b.确定归一化低通技术指标，取s=1.833,p=3dB,
18、s=15dB c.设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯型，有,取N=3，查表6.2.1，得,d.用变换公式将G(p)转换成带通H(s)。,用MATLAB来解决问题：clear;close all;fp=1;fs=1.833;rp=3;rs=15;%归一化低通的指标n,fc=buttord(fp,fs,rp,rs,s)%求阶数和半功率点频率b,a=butter(n,1,s)%求归一化低通系统函数的系数printsys(b,a,p)%打出归一化低通系统函数的公式c,d=lp2bp(b,a,1e3*2*pi,200*2*pi)%低通转到带通printsys(c,d)%打出带通系统函数的公式hf,f=
19、freqs(c,d,1000);%求带通系统函数的频谱plot(f/2/pi,abs(hf);xlabel(f/Hz);ylabel(|H(f)|);axis(600,1600,0,1.2);grid,(3)设计模拟带阻滤波器 低通与带阻滤波器的幅频特性如图6.2.11所示。,低通的从到0到时的特性对应带阻的从0 到 和从0到0的特性。,图中，l和u分别是下通带截止频率和上通带截止频率，s1和s2分别为阻带的下限频率和上限频率，0为阻带中心频率，20=ul，阻带带宽B=ul，B作为归一化参考频率。相应的归一化边界频率为 u=u/B,l=l/B,s1=s1/B,s2=s2/B,20=ul 根据与
20、的对应关系，可得到：它是低通到带阻的频率变换公式。且ul=1，p=1。,由于p=j，利用变换公式去归一化，可得 上式就是直接由归一化低通转换成带阻的频率变换公式。,设计带阻滤波器的步骤：a.把模拟带阻滤波器的技术指标归一化，l=l/B,u=u/B,s1=s1/B,s2=s2/B,20=ul b.确定归一化低通技术指标，取s和s的绝对值较小的s；通带最大衰减仍然为p，阻带最小衰减为s。c.设计归一化低通G(p)。d.用变换公式将G(p)转换成带阻滤波器H(s)。,例6.2.5 设计模拟带阻滤波器，其技术要求为：l=2905rad/s,s1=2980rad/s,s2=21020rad/s,u=21
21、105rad/s,p=3dB,s=25dB。试设计巴特沃斯带阻滤波器。解：a.归一化模拟带阻滤波器的技术要求：l=2905,u=21105,s1=2980,s2=21020,20=lu=421000025,B=ul=2200,l=l/B=4.525,u=u/B=5.525,s1=s1/B=4.9,s2=5.1;20=lu=25 b.归一化低通的技术要求：c.设计归一化低通G(p)。,d.用变换公式将G(p)转换成带阻滤波器H(s)。,用MATLAB来解决问题：clear;close all;fp=1;fs=4.95;rp=3;rs=25;%归一化低通的指标n,fc=buttord(fp,fs,
22、rp,rs,s)%求阶数和半功率点频率b,a=butter(n,1,s)%求归一化低通系统函数的系数printsys(b,a,p)%打出归一化低通系统函数的公式c,d=lp2bs(b,a,sqrt(905*1105)*2*pi,200*2*pi)%低通转到带阻printsys(c,d)%打出带阻系统函数的公式hf,f=freqs(c,d,1000);%求带阻系统函数的频谱plot(f/2/pi,abs(hf);xlabel(f/Hz);ylabel(|H(f)|);axis(700,1400,0,1);grid,6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器,利用模拟滤波器来设计IIR数字滤
23、波器是比较方便的。为了保证此法设计的H(z)稳定且满足技术要求，转换关系必须满足：(1)由因果稳定的模拟滤波器变来的数字滤波器仍是因果稳定的。(2)数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频响相似。本节介绍的转换方法叫脉冲响应不变法。它是对模拟单位冲激响应等间隔采样得到数字单位脉冲响应系统。,如果模拟滤波器的传输函数为Ha(s)，对它的单位冲激响应ha(t)等间隔T采样所得到的系统h(n)=ha(nT)将与ha(t)有相似的频率特性。,设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，那么Ha(s)的部分分式表示为,式中si为Ha(s)的单阶极点。对Ha(s)进行逆拉氏变换
24、得到ha(t)：,式中u(t)是单位阶跃函数。对ha(t)进行满足采样定理的等间隔采样，得到：,对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)：它就是我们需要的数字滤波器。但是必须注意：由于模拟信号离散化后频谱是周期重复的，所以模拟滤波器的频带必须是有限宽的，才能用这种方法设计数字滤波器。,如果Ha(s)的极点si是复数，必以共轭成对的形式出现。一般将一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节。如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为,极点为,可以推导出相应的数字滤波器二阶基本节(只有实数乘法)的形式为,如果模拟滤波器二阶基本节的形式为 脉冲响应法设计数字滤波器步骤：数字域频率转换成模拟域频率
25、（=T），设计模拟滤波器，模拟滤波器转换成数字滤波器，,例6.3.1 已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为 用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。解：首先将Ha(s)写成部分分式：,极点为,那么H(z)的极点为,按照转换关系式，并经过整理，得到 当T=1s时，当T=0.1s时，转换时，也可以直接按照二阶基本节的形式进行。首先将Ha(s)写成二阶基本节的形式，,再按照转换式求H(z)，用系统函数H1(z)和H2(z)画出的幅频特性可以说明采样间隔对混叠现象的影响。,图6.3.3 例6.3.1的幅度特性 脉冲响应不变法的优点是模拟滤波器和数字滤波器的频域特性和时域特性相同
26、，缺点是会产生频率混叠失真。,用MATLAB来解决问题：clear;close all;b=0,0,0.5012;a=1,0.6449,0.7079;T=1;fs=1/T;%脉冲响应不变法的采样周期B,A=impinvar(b,a,fs)%该函数已乘Tprintsys(b,a,s)%写出模拟滤波器的系统函数filt(B/T,A)%写出数字滤波器的系统函数figure(1);freqs(b,a);%画模拟滤波器的频谱figure(2);freqz(B,A);%画数字滤波器的频谱,6.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器,双线性变换法是先压缩模拟频率，再用脉冲响应不变法设计数字滤波器。它克服
27、了脉冲响应不变法的缺点。频率压缩的方法是根据变换公式，当1从-/T变化到/T时，由-变化到+，以此实现模拟频率的压缩。式中T仍是采样间隔。,因为s=j和s1=j1，由它们的频率关系得Ha(s)变成Ha(s1)的变换公式 再通过 将Ha(s)转换到H(z)上。转换关系是：这种方法称作双线性变换。,双线性变换优点是数字滤波器没有频率混叠现象，缺点是数字滤波器与模拟滤波器的频率变换是非线性的。因此它适用于幅频特性是片断常数的。双线性变换设计数字滤波器的步骤：将数字滤波器的指标转换成模拟滤波器的指标，设计模拟滤波器，将模拟滤波器用 转换成数字滤波器。,由于步骤c整理起来并不容易，因此有科学家根据模拟滤
28、波器和数字滤波器的公式，列出两种传递函数的系数关系表，方便我们设计时查找。,表6.4.1 系数关系表,例6.4.1 试分别用脉冲响应不变法和双线性不变法将图6.4.4所示的RC低通滤波器转换成数字滤波器。解:首先按照图6.4.4写出该滤波器的传输函数Ha(s)为,利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函数H1(z)为,利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数H2(z)为,H1(z)和H2(z)的网络结构分别如图6.4.5(a),(b)所示。,图6.4.5 例6.4.1图H1(z)和H2(z)的网络结构(a)H1(z);(b)H2(z),设=1000，T=0.001和0.002，H1(z)和
29、H2(z)的归一化幅频特性分别如图6.4.6所示。比较H1(z)和H2(z)可以看到脉冲响应不变法和双线性变换法的区别。,图6.4.6例6.4.1图数字滤波器H1(z)和H2(z)的幅频特性,下面我们总结利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤。(1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率p、通带衰减p、阻带截止频率s、阻带衰减s。(2)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。只有截止频率变化，衰减不变。如果采用脉冲响应不变法，边界频率的转换关系 如果采用双线性变换法，边界频率的转换关系,(3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。(4)由模拟滤波器Ha(s
30、)用s与z的转换公式，获得数字滤波器H(z)。例6.4.2 设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于0.2rad时，容许幅度误差在1dB以内；在频率0.3到之间的阻带衰减大于15dB。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器。,解(1)用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器。数字低通的技术指标为 p=0.2rad,p=1dB;s=0.3rad,s=15dB 模拟低通的技术指标为 T=1s,p=0.2rad/s,p=1dB;s=0.3rad/s,s=15dB,设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数N及3dB截止频率c。,取N=6。为求3dB截止频率c,将p和p
31、代入(6.2.17)式，得到c=0.7032rad/s，显然此值满足通带技术要求，同时给阻带衰减留一定余量，这对防止频率混叠有一定好处。根据阶数N=6，查表6.2.1，得到归一化传输函数为,为去归一化，将p=s/c代入Ha(p)中，得到实际的传输函数Ha(s),用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成H(z)。首先将Ha(s)进行部分分式，并按照(6.3.11)式、(6.3.12)式，或者(6.3.13)式和(6.3.14)式，得到：它适合用并联型网络结构实现。其幅频特性如下图所示。,图6.4.7 例6.4.2图用脉冲响应不变法设计的数字低通滤波器的幅度特性,(2)用双线性变换法设计数字低通滤波器。
32、数字低通技术指标仍为 p=0.2rad,p=1dB;s=0.3rad,s=15dB 模拟低通的技术指标为,设计巴特沃斯低通滤波器。阶数N计算如下：,取N=6。为求c,将s和s代入(6.2.18)式中，得到c=0.7662rad/s。这样阻带技术指标满足要求，通带指标已经超过。,根据N=6，查表6.2.1得到的归一化传输函数Ha(p)与脉冲响应不变法得到的相同。为去归一化，将p=s/c代入Ha(p)，得实际的Ha(s)，用双线性变换法将Ha(s)转换成数字滤波器H(z)：它的幅频特性如下图。,图6.4.8 例6.4.2图用双线性变换法设计的数字低通滤波器的幅度特性,用MATLAB来解决问题：cl
33、ear;close all;wp=0.2*pi;ws=0.3*pi;rp=1;rs=15;T=1;fp1=wp/T;fs1=ws/T;%脉冲法低通滤波器的指标n1,fc1=buttord(fp1,fs1,rp,rs,s);%求脉冲法阶数和半功率点频率b1,a1=butter(n1,fc1,s);%求脉冲法模拟低通滤波器的系数B1,A1=impinvar(b1,a1,1/T);%求脉冲响应不变法系数filt(B1,A1)%写脉冲响应不变法数字低通滤波器的公式hf1,f1=freqz(B1,A1);%求脉冲响应不变法数字低通滤波器的频谱fp2=2/T*tan(wp/2);fs2=2/T*tan(w
34、s/2);%双线法低通滤波器的指标n2,fc2=buttord(fp2,fs2,rp,rs,s);%求双线法阶数和半功率点频率b2,a2=butter(n2,fc2,s);%求双线法模拟低通滤波器的系数B2,A2=bilinear(b2,a2,1/T);%求双线性变换法系数filt(B2,A2)%写双线性变换法数字低通滤波器的公式hf2,f2=freqz(B2,A2);%求双线性变换法数字低通滤波器的频谱plot(f1/pi,abs(hf1),r.-,f2/pi,abs(hf2);legend(impinvar,bilinear);axis(0,0.7,0,1);xlabel(w/pi/rad
35、);ylabel(|H(w)|);grid,6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计,在模拟滤波器的设计和脉冲响应不变法、双线性变换法的基础上，设计数字高通、带通和带阻滤波器就容易多了。具体设计步骤如下：(1)确定数字滤波器的技术指标。(2)将数字滤波器的技术指标转换成同类型模拟滤波器的技术指标，转换公式为,(3)将所需类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器技术指标。(4)设计模拟低通滤波器。(5)将模拟低通通过频率变换，转换成所需类型的模拟滤波器。(6)采用双线性变换法，将所需类型的模拟滤波器转换成所需的数字滤波器。下面通过实例说明设计数字滤波器的方法。,例6.5.1 设计一个数字高通滤
36、波器，要求通带截止频率p=0.8rad，通带衰减不大于3dB，阻带截止频率s=0.44rad,阻带衰减不小于15dB。希望采用巴特沃斯型滤波器。解：(1)数字高通的技术指标为 p=0.8rad,p=3dB;s=0.44rad,s=15dB(2)模拟高通的技术指标计算如下：令T=1，则有 p=2tan(p/2)=6.155rad/s,s=2tan(s/2)=1.655rad/s,(3)模拟低通滤波器的技术指标计算如下：将p和s对3dB截止频率c归一化，这里c=p,(4)设计归一化模拟低通滤波器G(p)。模拟低通滤波器的阶数N计算如下：,查表6.2.1，得到归一化模拟低通传输函数G(p)为,为去归
37、一化，将p=s/c代入上式得到：,(5)将模拟低通转换成模拟高通。将上式中G(s)的变量换成1/s，得到模拟高通Ha(s)：,(6)用双线性变换法将模拟高通Ha(s)转换成数字高通H(z)：,实际上(5)、(6)两步可合并成一步，即,用MATLAB解题：clear;close all;wp=0.8;ws=0.44;rp=3;rs=15;n,wc=buttord(wp,ws,rp,rs)%求阶数和半功率点频率B,A=butter(n,wc,high)%数字高通滤波器的系数filt(B,A)%写双线性变换法数字高通滤波器的公式hf,f=freqz(B,A);%算数字高通滤波器的频谱plot(f/p
38、i,abs(hf);xlabel(w/pi/rad);ylabel(|H(w)|);grid,例6.5.2 设计一个数字带通滤波器，通带范围为0.3rad到0.4rad，通带内最大衰减为3dB，0.2rad以下和0.5rad以上为阻带，阻带内最小衰减为18dB。采用巴特沃斯型模拟低通滤波器。解：(1)数字带通滤波器技术指标为 通带截止频率 u=0.4rad，l=0.3rad 阻带截止频率 s2=0.5rad，s1=0.2rad 通带内最大衰减p=3dB，阻带内最小衰减s=18dB。,(2)模拟带通滤波器技术指标如下：设T=1，则有,(通带中心频率),(带宽),将以上边界频率对带宽B归一化，得到
39、 u=3.348,l=2.348;s2=4.608,s1=1.498;0=2.804(3)模拟归一化低通滤波器技术指标：归一化阻带截止频率,归一化通带截止频率,p=1p=3dB,s=18dB,(4)设计模拟低通滤波器：,查表6.2.1，得到归一化低通传输函数G(p),(5)将归一化模拟低通转换成模拟带通：(6)通过双线性变换法将Ha(s)转换成数字带通滤波器H(z)。也可以将(5)、(6)两步合成一步计算。,用MATLAB解题：clear;close all;wp=0.3,0.4;ws=0.2,0.5;rp=3;rs=18;n,wc=buttord(wp,ws,rp,rs)%求阶数和半功率点频
40、率B,A=butter(n,wc)%数字带通滤波器的系数filt(B,A)%写双线性变换法数字带通滤波器的公式hf,f=freqz(B,A);%算数字带通滤波器的频谱plot(f/pi,abs(hf);xlabel(w/pi/rad);ylabel(|H(w)|);grid,例6.5.3设计一个数字带阻滤波器，通带下限频率l=0.19,阻带下截止频率s1=0.198，阻带上截止频率s2=0.202，通带上限频率u=0.21，阻带最小衰减s=13dB，l和u处衰减p=3dB。采用巴特沃斯型。解:(1)数字带阻滤波器技术指标：l=0.19rad,u=0.21rad,p=3dB;s1=0.198ra
41、d,s2=0.202rad,s=13dB,(2)模拟带阻滤波器的技术指标：设T=1，则有 l=2tg(l/2)=0.615rad/s,u=2tg(u/2)=0.685rad/s,s1=2tg(s1/2)=0.643rad/s,s2=2tg(s2/2)=0.657rad/s,阻带中心频率平方为 02=lu=0.421 阻带带宽为 B=u-l=0.07rad/s,将以上边界频率对B归一化：l=8.786,u=9.786,s1=9.186,s2=9.386;20=lu=85.98(3)模拟归一化低通滤波器的技术指标：按照(6.2.48)式，有 p=1,p=3dB,(4)设计模拟低通滤波器：查表得归一
42、化模拟低通滤波器：G(p)=1/(1+p),(5)将G(p)转换成模拟阻带滤波器Ha(s)：,(6)将Ha(s)通过双线性变换，得到数字带阻滤波器H(z)。步骤(5)和(6)可以合成一步做，,用MATLAB解题：clear;close all;wp=0.19,0.21;ws=0.198,0.202;rp=3;rs=13;n,wc=buttord(wp,ws,rp,rs)%求阶数和半功率点频率B,A=butter(n,wc,stop)%数字带阻滤波器的系数filt(B,A)%写双线性变换法数字带阻滤波器的公式hf,f=freqz(B,A,500);%算数字带阻滤波器的频谱plot(f/pi,ab
43、s(hf);axis(0.16,0.26,0,1)xlabel(w/pi/rad);ylabel(|H(w)|);grid,6.6 IIR 数字滤波器的直接设计法,1.零极点累试法 根据系统函数的几何分析来设计数字滤波器称为零极点累试法。其设计步骤是：根据幅频特性选择零极点位置，画出幅频特性，按技术指标调整零极点，写出达到要求的系统函数。选择零极点位置要注意：(1)极点必须在单位圆内，系统才因果稳定；(2)复数零极点必须共轭成对，系统函数的系数才是实数。,例6.6.1 设计带通滤波器，通带中心频率为0=/2，要求=0和时幅度衰减到0。解：选择极点p1,2=rej/2,零点z1,2=1。？从零极
44、点图可画出幅频特性。这样的选择是满足要求的。？写出它的系统函数（G怎么确定？）,图6.6.1 例6.6.1图(a)零极点分布；(b)幅度特性,2.在频域利用幅度平方误差最小法设计IIR数字滤波器 设IIR滤波器由K个二阶网络级联而成，系统函数用H(z)表示，式中，A和ai,bi,ci,di是待定系数。待定系数的求法是：在数字域频率区间0，取N点i,i=1,2,N；以这N点频率上希望设计的滤波器频响|Hd(e j)|和系统函数|H(e j)|误差最小为标准进行求解，就可以求出(4K+1)个待定系数。式中K越大滤波器的效果越好，但计算会越复杂。,图6.6.2 例6.6.2图(a)要求的幅度特性；(
45、b)k=1，2时的幅度特性,例6.6.2 设计低通数字滤波器，其幅度特性如图6.6.2(a)所示。截止频率s=0.1rad。,解 考虑到通带和过渡带的重要，在00.2区间，每隔0.01取一点i值，在0.2区间每隔0.1取一点i值，并增加一点过渡带，在=0.1处|Hd(e j)|=0.5。1.0,=0,0.01,0.02,0.09 0.5,=0.1 0.0,=0.11,0.12,0.19 0.0,=0.2,0.3,N=29，取k=1，系统函数为,待求的参数是A，a1,b1,c1,d1。设初始值=(0000.25)T经过90次迭代，求得误差E=1.2611，系统函数零、极点位置为 零点0.6783
46、4430j0.73474418;极点0.75677793j1.3213916 为使滤波器因果稳定，将极点按其倒数搬入单位圆内，再进行62次优化迭代，求得结果为 零点0.82191163j0.56961501;极点0.89176390j0.19181084;A=0.11733978,E=0.56731,3.在时域直接设计IIR数字滤波器 方法是让设计的单位脉冲响应h(n)充分逼近我们希望的IIR数字滤波器hd(n)。从h(n)的系统函数的系数与hd(n)的z变换入手，以它们的误差最小为标准进行求解。,习题1的解法：clear;close all;fp=6000;fs=12000;rp=3;rs=
47、25;n,fc=buttord(fp,fs,rp,rs,s)%求阶数和半功率点频率b,a=butter(n,1,s);%求系统函数的分子分母系数printsys(b,a,p)b1,a1=butter(n,fc*2*pi,s);%求系统函数的分子分母系数printsys(b1,a1)hf,f=freqs(b1,a1);%求系统函数的频谱plot(f/2/pi,abs(hf);xlabel(f/Hz);ylabel(|H(f)|);axis(0,1.2e4,0,1.2);grid;shg,习题2的解法：clear;close all;fp=3e3;fs=12e3;rp=0.2;rs=50;n,fc
48、=cheb1ord(fp,fs,rp,rs,s)%求阶数和通带频率b1,a1=cheby1(n,rp,1,s);%求归一化系统函数的系数b,a=cheby1(n,rp,fp*2*pi,s);%求系统函数的系数printsys(b1,a1,p)%写归一化切比雪夫系统函数printsys(b,a)%写切比雪夫低通滤波器系统函数hf,f=freqs(b,a);%求系统函数的频谱n2,fc2=buttord(fp,fs,rp,rs,s)b2,a2=butter(n2,fc2,s);hf2,f2=freqs(b2,a2);plot(f/2/pi,abs(hf),f2,abs(hf2);xlabel(f/Hz);ylabel(|H(f)|);axis(0,12e3,0,1);grid,
