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1、数学物理方法,南昌大学物理系杨小松2014年2月,第五节 平面标量场,用复变函数表示平面标量场,在物理及工程中常常要研究各种各样的场，如电磁场、声场等，这些场均依赖于时间和空间变量。若场与时间无关，则称为恒定场，如静电场、流体中的定常流速等。若所研究的场在空间的某方向上是均匀的，从而只需要研究垂直于该方向的平面上的场，这样的场称为平面场。,取定垂直于某方向的平面为XOY平面，其上的点用z=x+iy来表示，于是场中每一个具有分量Ax，Ay的向量可表为,理想流体定常流,平面温度场,例题：P18 例1、例2,第六节 多值函数,根式函数,记,支点 n-1阶支点 一阶支点,Riemann面,黎曼面,第二
2、章 复变函数的积分,2.1 复变函数的积分,2.2 科西定理,2.3 不定积分,2.4 科西公式,性质,路积分的计算方法,1.归为二元函数的积分来计算，计算公式为,2.参数方程的表达形式C:z=z(t),举例,其中：(1)C为由原点到(1,0)再到(1,1)的折线；(2)C为由原点到(1,1)的直线,计算积分：,计算积分：,定义：绝对收敛与条件收敛,称级数 是绝对收敛的，如果 是收敛的,定理三：收敛的必要条件,级数 收敛的必要条件是,定理二：收敛的充分必要条件,设，则级数 收敛的充分必要条件是 和 都收敛，其中un和 vn皆为实数。,称级数 是条件收敛的，如果 是发散的，而 是收敛的,性质,连
3、续性,可积性,解析性,问题的提出,已知结果：当 f(z)在圆|z-z0|R内解析，Taylor定理告诉我们，f(z)必可展开成幂级数。,问题是：当 f(z)在圆|z-z0|R内有奇点时，能否展开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。,第5节 洛朗级数展开,双边幂级数,其中,被称为双边幂级数的正幂部分,被称为双边幂级数的负幂部分,正幂部分,负幂部分,收敛环R2|z-z0|R1,收敛环的确定,设正幂部分的收敛半径为R1；而负幂部分在变换=1/(z-z0)下的级数的收敛半径为1/R2，则其在|z-z0|R2外收敛。如果R2R1，那么双边幂级数就在环状域 R2|z-z0|R1 内收敛，所以 R2|z-z
4、0|R1给出了双边幂级数的环状收敛域，称为收敛环。,双边幂级数在收敛环内绝对内闭一致收敛。,孤立奇点,概念,若函数 f(z)在某点z0在不可导，而在z0的任意邻域内除z0外连续可导，则称z0为f(z)的孤立奇点；若在z0的无论多小的邻域内总可以找到z0以外的不可导点，则称z0为f(z)的非孤立奇点。,举例,孤立奇点的例子,非孤立奇点的例子,第四章 留数定理及其应用,4.1 留数定理,4.2 应用留数定理计算实变函数定积分,*4.3 计算定积分的补充例题,5.3 函数,第五章 Fourier变换,5.1 傅立叶级数,5.2 傅里叶积分和傅里叶变换,Fourier展开,基本函数族,函数 f(x)的
5、Fourier展开式,Dirichlet定理-Fourier展开收敛定理,若 f(x)满足：(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；(2)在每个周期内只有有限个极值点，则,正弦级数和余弦级数,若函数 f(x)是奇函数，则Fourier展开成正弦级数,若函数 f(x)是偶函数，则Fourier展开成余弦级数,例1：设 f(x)=x+1,x(0,l),试将其展开成正弦级数,例子,例2：设 f(x)=x,x(0,l),试将其展开成余弦级数,例3：设 f(x)=x,x(0,l),试根据条件 f(0)=f(l)=0 将 其展开成Fourier级数,复形式的Fourier级数,基本函数族,函
6、数 f(x)的Fourier展开式,例2：具有2N个完整波形的正弦波列：,试将它展开成Fourier积分,Fourier变换的性质,性质1（导数性质）,性质2（积分性质）,性质4（延迟性质）,性质3（相似性质）,性质5（位移性质）,性质6（卷积性质）,性质1（导数性质）,性质2（积分性质）,性质4（延迟性质）,性质3（相似性质）,性质5（位移性质）,多重Fourier积分,例1,例2,例3,数学物理方程,课程的内容,三种方程、四种求解方法、二个特殊函数,分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法,波动方程、1-6,14输运方程、7-8稳定场方程、9-13,贝赛尔函数、勒让德函数,数学物理方程定
7、义,描述某种物理现象的数学微分方程。,数学物理方程,课程的内容,三种方程、四种求解方法、二个特殊函数,分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法,波动方程、1-6,14输运方程、7-8稳定场方程、9-13,贝赛尔函数、勒让德函数,数学物理方程定义,描述某种物理现象的数学微分方程。,简化假设：,(2)振幅极小，张力与水平方向的夹角很小。,(1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。,牛顿运动定律：,横向：,纵向：,其中：,其中：,其中：,从麦克斯韦方程出发：,在自由空间：,例2、时变电磁场,对第一方程两边取旋度，,根据矢量运算：,由此得：,得：,拉普拉斯算子：,同理可得：,电场的三维波
8、动方程,磁场的三维波动方程,例3、静电场,电势u,确定所要研究的物理量：,根据物理规律建立微分方程：,对方程进行化简：,拉普拉斯方程(无源场),泊松方程,同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性。,初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。,边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件。,二、定解条件的推导,其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。,初始时刻的温度分布：,B、热传导方程的初始条件,C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件,描述稳恒状态，与初始状态无关，不含初始条件,A、波动方程的初始
9、条件,1、初始条件描述系统的初始状态,系统各点的初位移系统各点的初速度,(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。,2、边界条件描述系统在边界上的状况,A、波动方程的边界条件,(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：,或：,(3)弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧支承。,或,B、热传导方程的边界条件,(1)给定温度在边界上的值,S给定区域 v 的边界,(2)绝热状态,(3)热交换状态,牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。,热交换系数；周围介质的温度,第一类边界条件,第二类边界条件,第三类边界条件,1、
10、定解问题,三、定解问题的概念,(1)初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；(2)边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；(3)混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。,把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。,定解问题的检验,解的存在性：定解问题是否有解；解的唯一性：是否只有一解；解的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应 的微小变动。,3、线性偏微分方程的分类 按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和变系数微分方程 按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程,2、微分方程一般分类,(1)按自变量的个数，分为二元和多元方程；(2)按未知函数及其导数是否线性，分为线性微分方程和 非线性微分方程；(3)按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶 和高阶微分方程。,5、微分方程的解,古典解：如果将某个函数 u 代入偏微分方程中，能使方程成为恒等式，则这个函数就是该偏微分方程的解。,形式解：未经过验证的解为形式解。,6、求解方法,分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法,
