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1、第一节 常数项级数,一 常数项级数的概念及基本性质,1 常数项级数的概念,引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积.,依次作圆内接正,边形,这个和逼近于圆的面积 A.,设 a0 表示,即,内接正三角形面积,ak 表示边数,增加时增加的面积,则圆内接正,引例2.,小球从 1 米高处自由落下,每次跳起的高度减,少一半,问小球是否会在某时刻停止运动?说明道理.,由自由落体运动方程,知,则小球运动的总时间为,设 tk 表示第 k 次小球落地的时间,第 k 次小球跳起的,高度为,米，,因此,定义：,给定一个数列,将各项依,即,称上式为无穷级数，,其中第 n 项,叫做级数的一般项,级数的前 n 项和,称为级
2、数的部分和.,次相加,简记为,收敛,则称无穷级数,并称 S 为级数的和,记作,当级数收敛时,称差值,为级数的余项.,则称无穷级数发散.,显然,例1.讨论等比级数,(又称几何级数),(q 称为公比)的敛散性.,解:1)若,从而,因此级数收敛,从而,则部分和,因此级数发散.,其和为,2).若,因此级数发散;,因此,n 为奇数,n 为偶数,从而,综合 1)、2)可知,时,等比级数收敛;,时,等比级数发散.,则,级数成为,不存在,因此级数发散.,此时,如果级数,是发散的。,解,例2.说明调和级数:,是收敛的，,则,但,所以，,级数,是发散的,例3.判别下列级数的敛散性:,解:(1),所以级数(1)发散
3、;,技巧:,利用“拆项相消”求和,(2),所以级数(2)收敛,其和为 1.,技巧:,利用“拆项相消”求和,例4.,判别级数,的敛散性.,解:,故原级数收敛,其和为,2 无穷级数的基本性质,性质1 若级数,收敛于 S,则各项,乘以常数 c 所得级数,也收敛,证:令,则,这说明,收敛,其和为 c S.,说明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.,即,其和为 c S.,即,性质2 设有两个收敛级数,则级数,也收敛,其和为,证:令,则,这说明级数,也收敛,其和为,即,说明:,(2)若两级数中一个收敛一个发散,则,必发散.,但若二级数都发散,不一定发散.,例如,(1)性质2 表明收敛级数可逐项相加或减.
4、,(用反证法可证),例5,判别下列级数的敛散性，如果收敛，求其和,解,（1）,因为,均收敛，,所以,收敛，,且,（2）,因为,收敛，,发散，,发散。,性质3.,在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级,数的敛散性.,证:将级数,的前 k 项去掉,的部分和为,数敛散性相同.,当级数收敛时,其和的关系为,类似可证前面加上有限项的情况.,极限状况相同,故新旧两级,所得新级数,性质4.,收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级,数的和.,证:设收敛级数,若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列,为原级数部分和,序列,的一个子序列,推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.,注意:收敛级数去括弧后所成的级
5、数不一定收敛.,但,发散.,因此必有,例如，,用反证法可证,例如,例6.判断级数的敛散性:,解:考虑加括号后的级数,发散,从而原级数发散.,设收敛级数,则必有,证:,可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.,性质5.收敛级数的必要条件,注意:,并非级数收敛的充分条件.,例如,调和级数,虽然,但此级数发散.,例7.说明下列级数是发散的,解,（1）,所以原级数是发散的,（2）,所以原级数是发散的,（3）,级数是发散,（4）,故,从而,这说明级数(1)发散.,二 正项级数及其判敛法,若,基本定理,收敛的充要条件是,部分和,有界.,若,收敛,部分和数列,有界,故,从而,又已知,故有界.,则称,为正
6、项级数.,单调递增,收敛,也收敛.,正项级数,序列,都有,定理2(比较审敛法),设,且存在,对一切,有,(1)若级数,则级数,(2)若级数,则级数,证:,设对一切,则有,收敛,也收敛;,发散,也发散.,分别表示级数,是两个正项级数,(常数 k 0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨,部分和,则有,(1)若级数,则有,因此对一切,有,由定理 1 可知,则有,(2)若级数,因此,这说明级数,也发散.,也收敛.,发散,收敛,级数,例8.讨论p-级数,的收敛性,解:1)若,因为对一切,而调和级数,由比较审敛法可知 p 级数,发散.,发散,因为当,故,考虑级数,的部分和,故级数,时,2)若,
7、p 级数收敛.,收敛,由比较审敛法知,重要参考级数:几何级数,p-级数,调和级数.,例9.判别下列级数的敛散性,解,(1),而,发散,所以,原级数发散,(2),收敛，,所以,收敛.,(3),收敛，,所以,收敛.,(4),所以,原级数收敛,收敛,例10.判别下列级数的敛散性,解,(1),当,时，,则级数,发散，,所以级数,发散.,(2),时，,对于级数,由于,则收敛，,所以级数,收敛.,定理3.(比较审敛法的极限形式),则有,两个级数同时收敛或发散;,(2)当 l=0,(3)当 l=,证:据极限定义,设两正项级数,满足,(1)当 0 l 时,由定理 2 可知,同时收敛或同时发散;,(3)当l=时
8、,即,由定理2可知,若,发散,(1)当0 l 时,(2)当l=0时,由定理2 知,收敛,若,特别取,推论（极限判别法）,设,为正项级数，,如果,则级数,收敛；,如果,则级数,发散；,例11 判别下列级数的敛散性,解,(1),根据比较审敛法的极限形式知,(2),根据比较审敛法的极限形式知,收敛,(3),根据比较审敛法的极限形式知,(4),根据比较审敛法的极限形式知,例12 判别级数,的敛散性.,解,当,时,当,时，,当,时,发散，,当,时，,收敛,根据比较审敛法的极限形式知,定理4.比值审敛法(Dalembert 判别法),设,为正项级数,且,则,(1)当,(2)当,证:(1),收敛,时,级数收
9、敛;,或,时,级数发散.,由比较审敛法可知,因此,所以级数发散.,时,(2)当,说明:当,时,级数可能收敛也可能发散.,例如,p 级数,但,级数收敛;,级数发散.,从而,注意,(1),当,时比值审敛法失效;,条件是充分的,而非必要.,(2),(3),在判别收敛时，,求极限过程不可缺，,而,事实上,例13 判别下列级数的收敛性:,(1),(2),(3),解,(1),所以,收敛.,比值审敛法失效,改用比较审敛法,(2),所以,发散,的敛散性.,解:,根据定理4可知:,级数收敛;,级数发散;,例14.讨论级数,对任意给定的正数,定理5.根值审敛法(Cauchy判别法),设,为正,则,证明提示:,即,
10、分别利用上述不等式的左,右部分,可推出结论正确.,项级数,且,例15.证明级数,收敛于S,近似代替和 S 时所产生的误差.,解:,由定理5可知该级数收敛.,令,则所求误差为,并估计以部分和 Sn,三 任意项级数,则各项符号正负相间的级数,称为交错级数.,定理6.(Leibnitz 判别法),若交错级数满足条件:,则级数,收敛,且其和,其余项满足,1 交错级数,证:,是单调递增有界数列,又,故级数收敛于S,且,故,例16 判别级数,的收敛性.,解,(1),且,所以,收敛.,(2),原级数收敛.,2、绝对收敛与条件收敛,定义:对任意项级数,若,若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级,收敛,数,为条件收敛.,均为绝对收敛.,例如：,绝对收敛；,则称原级,数,条件收敛.,证:设,根据比较审敛法,显然,收敛,收敛,也收敛,且,收敛,令,定理7.绝对收敛的级数一定收敛.,例17 判别下列级数敛散性，如果收敛指出是条件,收敛，还是绝对收敛。,解,(1),收敛,所以,收敛且绝对收敛。,(2),所以,发散，,而,且,条件收敛,(3),发散.,(4),所以,发散，,令,而,所以,收敛且条件收敛。,
