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1、二、双线性变换法 脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混淆，这是从S平面到Z平面的标准变换zesT的多值对应关系导致的,为了克服这一缺点，设想变换分为两步：第一步：将整个S平面压缩到S1平面的一条横带里；第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平面上去。由此建立S平面与Z平面一一对应的单值关系，消除多值性，也就消除了混淆现象。,为了将S平面的j轴压缩到S1平面j1轴上的/T到/T 一段上，可通过以下的正切变换实现：,这里C是待定常数，下面会讲到用不同的方法确定C，可使模拟滤波器的频率特性与数字源波器的频率特性在不同频率点 有对应关系。经过这样的频率变换，当由 时,1由-/T经过变化到/
2、T，即S平面的整个j轴被压缩到S1平面的2/T 一段。,通常取C=2/T,考虑z=ej,再将 S1 平面通过标准变换关系映射到Z平面，即令,将这一关系解析扩展至整个S平面，则得到S平面到S1平面的映射关系：,最后得S平面与Z平面的单值映射关系：双线性变换法的主要优点是S平面与Z平面一一单值对应，S平面的虚轴(整个j)对应于Z平面 单位圆的一周，S平面的=0处对应于Z平面的=0处，对应即数字滤波器的频率响应终 止于折叠频率处，所以双线性变换不存在混迭效应。,现在我们看看，这一变换是否符合我们一开始提出的由模拟滤波器设计数字滤波器时，从 S平面到Z平面映射变换的二个基本要求：当 时，得：,对单位圆
3、,即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆。,时,即s左半平面映射在单位圆内，s右半平面映射在单位圆外，因此稳定的模拟滤波器通过双线性变换后，所得到的数字滤波器也是稳定的。如图1。图 双线性变换的频率非线性关系,小结,1)与脉冲响应不变法相比，双线性变换的主要优点：S平 面与Z平面是单值的一一对应关系（靠频率的严重非线性关系得到的），即整个j轴单值的对应于单位圆一周，关系式为：可见，和为非线性关系，如图2。,图2 双线性变换的频率非线性关系 由图中看到，在零频率附近，接近于线性关系，进一步增加时，增长变得缓慢，(终止于折叠频率处)，所以双线性变换不会出现由于高频部 分超过折叠频率而混淆到低频部分去的
4、现象。,2)双线性变换缺点：与成非线性关系，导致：a.数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变，(使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上发生畸变)。例如，一个模拟微分器，它的幅度与频率是直线关系，但通过双线性变换后，就不可能得到数字微分器,b.线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器为非线性相位。c.要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段恒定的，故双线性变换只能用于设计低通、高通、带通、带阻等选频滤波器。,虽然双线性变换有这样的缺点，但它目前仍是使用得最普遍、最有成效的一种设计工具。这是因为大多数滤波器都具有分段常数的频响特性，如低通、高通、带通和带阻等，它们在通带
5、内要求逼近一个衰减为零的常数特性，在阻带部分要求逼近一个衰减为的常数特性，这种特性的滤波器通过双线性变换后，虽然频率发生了非线性变化，但其幅频特性仍保持分段常数的特性。,例如，一个考尔型的模拟滤波器Ha(s)，双线性变换后，得到的H(z)在通带与阻带内都仍保持与原模拟滤波器相同的等起伏特性，只是通带截止频率、过渡带的边缘频率，以及起伏的峰点、谷点频率等临界频率点发生了非线性变化，即畸变。这种频率点的畸变可以通过预畸来加以校正。,预畸变：,即将模拟滤波器的临界频率事先加以畸变，然后通过双线性变换后正好映射到所需要的频率上。利用关系式：将所要设计的数字滤波器临界频率点，变换成对应的模拟域频率，利用
6、此 设计模拟滤波器，再通过双线性变换，即可得到所需的数字滤波器，其临界频率正是。如图所示。,双线性变换时频率的预畸,)计算H(Z)双线性变换比脉冲响应法的设计计算更直接和简单。由于s与z之间的简单代数关系，所以从模拟传递函数可直接通过代数置换得到数字滤波器的传递函数。置换过程:频响：,这些都比脉冲响应不变法的部分分式分解便捷得多，一般，当着眼于滤波器的时域瞬态响应时，采用脉冲响应不变法较好，而其他情况下，对于IIR的设计，大多采用双线性变换。,3.2 常用模拟低通滤波器特性,为了方便学习数字滤波器，先讨论几种常用的模拟低通滤波器设计方法，高通、带通、带阻等模拟滤波器可利用变量变换方法，由低通滤
7、波器变换得到。模拟滤波器的设计就是根据一组设计规范设计模拟系统函数Ha(s)，使其逼近某个理想滤波器特性。因果系统中式中ha(t)为系统的冲激响应，是实函数。不难看出,定义振幅平方函数 式中 Ha(s)模拟滤波器 系统函数 Ha(j)滤波器的频率响应|Ha(j)|滤波器的幅频响应又 S=j，2=-S2 A(2)=A(-S2)|S=j,问题：由A(-S2)Ha(S)对于给定的A(-S2)，先在S复平面上标出A(-S2)的极点和零点，由(1)式知，A(-S2)的极点和零点总是“成对出现”，且对称于S平面的实轴和虚轴，选用A(-S2)的对称极、零点的任一半作为Ha(s)的极、零点，则可得到Ha(s)
8、。为了保证Ha(s)的稳定性，应选用A(-S2)在S左半平面的极点作为Ha(s)的极点，零点可选用任一半。,N为滤波器阶数，如图1,其幅度平方函数：,特点：具有通带内最大平坦的振幅特性，且随f，幅频特 性 单调。,三种模拟低通滤波器的设计：1）巴特沃兹滤波器(Butterworth 滤波器)(巴特沃兹逼近),图1 巴特沃兹滤波器 振幅平方函数,通带:使信号通过的频带 阻带：抑制噪声通过的频带 过渡带：通带到阻带间过渡的频率范围 c：通带边界频率。过渡带为零，阻带|H(j)|=0 通带内幅度|H(j)|=const.，H(j)的相位是线性的。,理想滤波器,图1中，N增加，通带和阻带的近似性越好，
9、过渡带越陡。在过渡带内，阶次为的巴特沃兹滤波器的幅度响应趋于斜率为-6NdB/倍频程的渐近线。通带内，分母/c1，(/c)2N 1,增加，A(2)快速减小。=c,，,幅度衰减，相当于3dB衰减点。,振幅平方函数的极点：令分母为零，得 可见，Butterworth滤波器 的振幅平方函数有2N个极点，它们均匀对称地分布在|S|=c的圆周上。例：为N=3阶BF振幅平方函数的极点分布，如图。,图2 三阶A(-S2)的极点分布,考虑到系统的稳定性，知DF的系统函数是由S平面左半部分的极点（SP3，SP4，SP5）组成的，它们分别为：系统函数为：令，得归一化的三阶BF：如果要还原的话，则有,MATLAB设
10、计模拟Butterworth filter,例：设计满足下列条件的模拟Butterworth低通滤波器 fp=1kHz,fs=5kHz,Ap=1dB,As=40dB,Wp=2*pi*1000;Ws=2*pi*5000;Ap=1;As=40;N,Wc=buttord(Wp,Ws,Ap,As,s);num,den=butter(N,Wc,s);omega=0:200:12000*pi;h=freqs(num,den,omega);gain=20*log10(abs(h);plot(omega/(2*pi),gain);xlabel(Frequency in Hz);ylabel(Gain in d
11、B);,0,1000,2000,3000,4000,5000,6000,-50,-40,-30,-20,-10,0,Frequency in Hz,G,a,i,n,i,n,d,B,N=4 Ap=0.1098 dB As=40.0000 dB,2）切比雪夫（chebyshev）滤波器(切比雪夫多项式逼近)特点：误差值在规定的频段上等幅变化。巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，如果阶次一定，则在靠近截止频率 处，幅度下降很多，或者说，为了使通常内的衰减足够小，需要的阶次（N）很高，为了克服这一缺点，采用切比雪夫多项式逼近所希望的。切比雪夫滤波器的 在通带范围内是等幅起伏的，所以同样的通带衰
12、减，其阶数较巴特沃兹滤波器要小。可根据需要对通带内允许的衰减量（波动范围）提出要求，如要求波动范围小于1db。,振幅平方函数为,有效通带截止频率与通带波纹有关的参量，大，波纹大。0 1 VN（x）N阶切比雪夫多项式，定义为,如图1,通带内 变化范围1 c，随/c，0(迅速趋于零)当=0时，N为偶数，min，N为奇数，max，,切比雪夫滤波器的振幅平方特性,给定通带波纹值分贝数 后，可求。,有关参数的确定:a、通带截止频率c，预先给定 b、通带波纹为,c、阶数N由阻带的边界条件确定。（、A事先给定）,MATLAB设计模拟type I Chebyshev filter,例：设计满足下列条件的模拟C
13、B I型低通滤波器,fp=1KHz,fs=5kHz,Ap=1dB,As=40dB,Wp=2*pi*1000;Ws=2*pi*5000;Ap=1;As=40;N,Wc=cheb1ord(Wp,Ws,Ap,As,s);num,den=cheby1(N,Ap,Wc,s);omega=Wp Ws;h=freqs(num,den,omega);fprintf(Ap=%.4fn,-20*log10(abs(h(1);fprintf(As=%.4fn,-20*log10(abs(h(2);omega=0:200:12000*pi;h=freqs(num,den,omega);gain=20*log10(ab
14、s(h);plot(omega/(2*pi),gain);xlabel(Frequency in Hz);ylabel(Gain in dB);,Ap=1.0000 As=47.8467,3、椭圆滤波器（考尔滤波器）特点：幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的，对于给定的阶数和给定的波纹要求，椭圆滤波器能获得较其它滤波器更窄的过渡带宽，就这点而言，椭圆滤波器是最优的。其振幅平方函数为RN（，L）雅可比椭圆函数L表示波纹性质的参量,N=5，的特性曲线 可见，在归一化通带内（-11），在（0，1）间振荡，而超过L后，在 间振荡。这一特点使滤波器同时在通带和阻带具有任意衰减量。,下图为典型的椭园滤波器振
15、幅平方函数 椭圆滤波器的振幅平方函数 图中和A的定义 同切比雪夫滤波器,r,r,当c、r、和A确定后，阶次N的确定方法为：,式中,为第一类完全椭圆积分,MATLAB设计椭圆低通滤波器,N,Wc=ellipord(Wp,Ws,Ap,As,s)确定椭圆滤波器的阶数N。Wc=Wp。num,den=ellip(N,Ap,As,Wc,s)确定阶数为N，通带参衰减为Ap dB，阻带衰减为As dB的椭圆滤波器的分子和分母多项式。Wc是椭圆滤波器的通带截频。,上面讨论了三种最常用的模拟低通滤波器的特性和设计方法，设计时按照指标要求，合理选用。一般，相同指标下，椭圆滤波器阶次最低，切比雪夫次之，巴特沃兹最高，参数的灵敏度则恰恰相反。以上讨论了由A（2）Ha(s),下面讨论由Ha(s)H(Z)的变换设计法。,
