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1、数学实验,高等数学（下）,曲线积分与曲面积分,实验目的,学习用软件计算曲线积分、曲面积分,实验内容,、曲线积分,1、对弧长的曲线积分,若L：t，则,若L：t，则,例1计算，为 x2+y2=a2 中的 一段弧。,解 方法：选x 为参数，则,y,x,A,B,0,方法：选y为参数，则,方法：选t为参数，则有参数方程,syms t I=int(x*y*sqrt(diff(x)2+diff(y)2),atan(sqrt(3),pi/2),运行结果：I=1/8*a2*(a2)(1/2)I=simple(I)运行结果：I=1/8*a3,2、对坐标的曲线积分,L是二维有向曲线：t：,是三维有向曲线：,t：,例
2、2计算x3dx+3zy2dy-x2ydz，其中 是从点A（3，2，1）到点B（0，0，0）的直线段。,解直线段 的方程为 化为参数方程 t：10,syms t x=3*t;y=2*t;z=t;I=int(x3*diff(x)+3*z*y2*diff(y)-x2*y*diff(z),t,1,0)运行结果：I=-87/4,3、格林公式,设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P（x,y）及Q（x,y）在D上具有一阶 连续偏导数，则有,其中L是D的取正向的边界曲线。,例3计算曲线积分 L(x2+xy)dx+(x2+y2)dy，其中L是区域0 x1，0y1的边界正向。解令P（x,y）=x2+xy Q（x
3、,y）=x2+y2 由格林公式得,syms x y P=x2+x*y;Q=x2+y2;I=int(int(diff(Q,x)-diff(P,y),y,0,1),x,0,1)运行结果：I=1/2,二、曲面积分,1、对面积的曲面积分,若曲面的方程为:z=z(x,y),则,例4计算曲面积分其中为锥面 被曲面x2+y2=2ax所截得的部分。,解：步骤,(1)由的参数方程作曲面的图形和在xoy平面的投影区域Dxy的图形；,(0t2),(2)建立直角坐标系下的被积函数；,(3)将F(x,y)作极坐标变换x=rcost,y=rsint;(4)将曲面积分化为对r,t的二次积分,(5)化简积分结果,程序：,2、
4、对坐标的曲面积分,化为二次积分,例5计算，其中是上半球面 的上侧。,解步骤：1、作上半球面的图形及其在三个坐标 平面的投影图形；2、计算,II1I2I3,3、高斯公式设空间闭区域是由 分片光滑的闭曲面所围成，函数 p(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在上具有一阶连续导数，则有,例6用高斯分式计算例5,解分析：积分曲面不是封闭曲面，添加平面1:z=0 使构成封闭曲面1。步骤：,(1)计算沿封闭曲面的积分令P=xz2,Q=x2y-z3,r=2xy+y2z,(2)计算1上的曲面积分,(3),syms a x y z s r tP=x*z2;Q=x2*y-z2;R=2*x*y+y2*2
5、;f=diff(P,z)+diff(Q,y)+diff(R,z);f=subs(f,x,y,z,r*sin(s)*cos(t),r*sin(s)*sin(t),r*cos(s);I1=int(int(int(f*r2*sin(s),r,0,a),s,0,pi/2),t,0,2*pi)运行结果：I1=2/15*a5*pi,I2=int(int(2*x*y,y,-sqrt(a2-x2),sqrt(a2-x2),x,-a,a)运行结果：I2=0 I=I1-I2 运行结果：I=2/15*a5*pi,上机实验题,1、计算下列曲线积分,其中L为摆线一x=a(t-sint),y=a(1-cost)(0t2)。,，其中L为圆周x2+y2=a2,直 线y=x及轴在第一象限内所围成的 扇形的整个边界。,其中L是抛 物线y=x2上从点（1,1）到点（1,1）的一段弧。,其中L为圆周(x-1)2+y2=2，逆时针方向。,2、计算下列曲面积分,，其中为平 面2x+2y+z=6在处一卦限中的部分.,(2),其中是球面x2+y2+z2=R2 的下半部分的下侧。,(3)，其中是界于 z=0和z=3之间的圆柱体x2+y29 的整个表面的外侧。,
