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1、第三讲 有限元分析的数学求解原理,一般说来，求解方程的途径有两大类：1）直接针对原始方程进行求解 2）间接针对原始方程进行求解,直接解法解析法：,解析法从力平衡关系、几何关系以及物理关系出发，推导出一个或一组关于应力或者关于应变、有时是同时含有应力、应变的微分方程或偏微分方程，通过求解微分方程，解出应力、应变和变形量。工程中，常采用的解析方法有材料力学中对杆件的分析，弹性力学中平面问题的求解，板壳理论等。解析法的很多基本理论是建立在一些简化的假设基础之上的，经过大量的工程实践，被证明能很好的符合构件实际工作情况，已成为成熟的理论。解析法得到的结果是未知量（应力、应变等）的函数解，可直接得到结构
2、中任意点的精确解。解析法在分析理论问题以及一些工程问题时起着重要作用。但是解析法在应用到一些形状复杂或应力分布复杂的结构时，往往由于数学上的问题而显得无能为力，因而使解析法在应力分析中的应用受到限制。,根据问题的性质，确定基本未知量和相应的基本方程，并且假设一组满足全部基本方程的应力函数或位移函数。然后在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形状的物体，其表面将受什么样的面力作用或者将有什么样的位移。,直接解法逆解法：,对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状，受力特征和变形特点，或已知简单结论，如材料力学解，假设部分应力分量或者部分位移分量的函数形式为已知，由基本方程确定其他的未知量，
3、然后根据边界条件确定未知函数中的待定系数。,直接解法半逆解法：,逆解法和半逆解法的应用将在以后的章节中介绍，其求解过程带有“试算”的性质。,直接解法有限差分法：,有限差分法：微分方程和积分微分方程数值解的方法。其基本思想是：有限差分方法(finite difference method)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，
4、数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。,有限差分格式,格式精度：一阶格式、二阶格式和高阶格式。差分的空间形式：中心格式时间因子：显格式、隐格式、显隐交替格式等。构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。,间接解法加权残值法：,是一种应用广泛的求解微分方程的方法.该方法先假定一族带有待定参数的定义在全域上的近似函数,该近似解不能精确满足微分方程
5、和边界条件,即存在残差.在加权平均的意义下消除残差,就得到加权残值法的方程.由于试函数定义在全域上,所得方程的系数矩阵一般为满阵.选取不同的权函数,可得到不同的加权参量法.,虚功原理定义：弹性体处于平衡状态，对于满足变形连续条件的虚位移及其虚应变，外力在虚位移上所做的虚功，等于真实应力分量在对应的虚应变上所做的虚功，即虚应变能。,最小势能原理要求,最后得,间接解法虚功原理：,应变能,应变余能,应变能,应变余能,间接解法最小势能原理：,有限元上的应用（位移法）：假设单元位移模式 单元刚度方程,把一个物理学问题用变分法化为求泛函极值（或驻值）的问题，后者就称为该物理问题的变分原理。如果建立了一个新
6、的变分原理，它解除了原有的某问题变分原理的某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理；如果解除了所有的约束条件，就称为无条件广义变分原理，或称为完全的广义变分原理。在当代，变分原理已成为有限元法的理论基础，而广义变分原理已成为混合和杂交有限元的理论基础。在实际应用中，通常很少能求出精确的解析解，因此大多采用近似计算方法。,间接解法变分原理：,1）假定2）将上式代入泛函，计算变分。3）由极值条件，算出待定常数，使之满足基本微分方程。4）把得到的常数代回，得到所求问题的解。,与有限元方法比较：相同点：都是求解极值问题的方法，方法类似。不同点：求解问题区域不同：局部和整体 关系。,对于泛函,工程问题无
7、论是几何形状、受力方式还是材料特性都是前变万化的，因此一种求解方法是否有优势，其判断标准应该是具有良好的规范性（不需要太多的经验和个人技巧）具有良好的适应性（可以处理任何复杂的工程实际）具有良好的可靠性（计算结果收敛稳定，精度高）具有良好的求解可行性（计算工作量）,本章主要内容,3.1简明问题的解析求解3.2弹性力学问题近似求解的加权残值法3.3弹性力学近似求解的虚功原理、最小势能原理及其变分原理3.4各种求解方法的特点及比较,3.1简明问题的解析求解一维拉压杆问题,基本变量：ux(x),x(x),x(x),基本方程：,几何方程,物理方程,平衡方程,边界条件,对三大方程直接进行求解得,几何方程
8、,物理方程,平衡方程,根据边界条件可得，c=P/A,c1=0,讨论1 若用材料力学的经验方法求解，则需先作平面假设，即假设应力为均匀分布 x=P/A 由广义胡克定律得 x=P/EA 右端的伸长量为 u=xl=Pl/EA,讨论2 应变能 动能 势能,有限元分析步骤-单元分析,由于杆单元只有两个节点位移，故可以设杆单元的位移模式为之包含两个待定常数的形式,u(x)=a1+a2x,根据有限元法的基本思路，将弹性体离散成有限个单元体的组合，以结点的位移作为未知量。弹性体内实际的位移分布可以用单元内的位移分布函数来分块近似地表示。在单元内的位移变化可以假定一个函数来表示，这个函数称为单元位移函数、或单元
9、位移模式。,回代得 写成矩阵形式为,其中Ni，Nj是形函数。,根据位移条件有u(0)=u0，u(l)=ul，从而得,根据几何方程得根据物理方程得从而，根据单元分析结果，进行整体分析，求解整体方程组，进行结果分析。,由虚功原理可以推得,3.1简明问题的解析求解平面梁问题,基本方程1）一般的建模及分析方法，取微单元体2）特征建模法，采用工程宏观特征量来进行问题描述,简支梁的特征：梁为细长梁，因此可以只用x坐标来刻画；主要变形是垂直于x的挠度，可以只用挠度来描述位移场。针对这两个特征，可以做出以下两个假定：直法线假定小变形和平面假设,直法线假定：一垂直中面的直线(称为法线)，变形时不伸缩，并且仍为弹
10、性曲面的法线。平截面假定：平截面假定是材料力学中最基本的假定之一。这个假定认为所有与杆轴线垂直的截面在杆件变形后仍保持为平面。这样截面上每一个点的变形趋势就可以确定，如果知道了中性轴的位置和任意一点的应变（变形），整个断面的应变就可以知道，这是建立该假设的基础。实验也证明匀质弹性体根据此项假定所得的计算结果是准确的。,基于以上假定，该问题的三类基本变量为 位移：中性层的挠度v（x=y=0）应力：x方向的正应力x，其他应力分量很小忽略不 计，该变量对应于梁截面上的弯矩M 应变：采用x，满足直法线假定,平衡方程：x方向 y方向,几何方程：ab的变形为：因此正应变为：,其中为曲率半径,。,物理方程：
11、由广义虎克定律有 整理得边界条件,。,弯矩,x方向平衡 y方向平衡,。,求解方程 得,其中c1,c2,c3是待定系数。最后可得,讨论 应变能 外力功 势能,由于单元有四个位移分量，可设梁单元的位移模式v(x)为包含4个待定常数的三次多项式：,有限元分析步骤-单元分析,根据边界条件可以确定待定系数，将其进一步回代，可以得到用节点位移表示的梁单元位移。,式中,根据梁的平面假定可知梁单元的轴向应变为：,这里利用平面假设（变形后横截面仍保持平面，与纵线正交）如图：,从而可以由单向虎克定律得出单元的轴向应力：,由虚功原理可以推得,3.2弹性力学问题近似求解的加权残值法,直接针对原始三大类方程边界条件下求
12、解三大类变量往往是非常困难的，尤其是当几何形状和边界条件比较复杂时，一般求不出相应的解析解。如果事先假定满足一定边界条件的试函数，再在此基础上进行近似求解，则可以大大降低求解难度。这种试函数方法可以使得求解过程比较规范和简单，并有一定的适应性，但是求解的精度有所降低。,试函数方法的基本原理：先假定满足一定边界条件的试函数，然后将其带入需要求解的方程中（控制方程），通过使与原来的方程的误差残值最小来确定试函数中的待定系数。为了提高解或逼近精度，可以采用较多项数的试函数来进行计算，这种方法叫做加权残值法。加权残值法WRM:Galerkin加权残值 残值最小二乘法,梁弯曲问题近似求解的Galerki
13、n加权残值法,设满足以下方程和边界条件的位移场为公式中的L为微分算子。由于平面弯曲梁的平衡方程为故,假设能找到事先满足式中的边界条件的一个试函数，将其带入到控制方程，则一定存在残差，记为对于更一般的情形，设有一组满足所有边界条件的试函数，将其线性组合为新的试函数其中c1,c2,c3cn为待定系数。,将试函数代入原始方程组，则必有残差，真实的c1,c2,c3cn使得残值的积分为零，即 其中w1,w2,w3wn为权函数。以上为关于c1,c2,c3cn的方程组，由上式可以求出他们，最后由线性组合形式的试函数得到真实。如果将权函数w1,w2,w3wn取为1,2,3 n，则该方法称作伽辽金法。,受均布外
14、载荷简支梁的Galerkin加权残值法求解,代入控制方程得残差,由Galerkin加权残值方程分析可得，,试函数取为,求解上式可得,受均布外载荷简支梁的Galerkin加权残值法求解,代入控制方程得残差,由Galerkin加权残值方程分析可得,取另一个试函数为,求解上式可得,受均布外载荷简支梁的Galerkin加权残值法求解,同时满足面力边界条件，根据Galerkin法分析可得,几种函数结果比较 1、仅仅取1项试函数时，由伽辽金加权残数法得到的结果与精确解得相对误差为0.3861%。2、仅仅取2项试函数时，由伽辽金加权残数法得到的结果与精确解得相对误差为-0.027%。由以上比较可以看出，此解
15、法精度还是比较高的。,梁弯曲问题近似求解的最小二乘法,同样，设有满足所有边界条件的试函数，若将试函数代入原始方程中，则必有残差值，真实地待定常数使得残差值平方的加权积分取极小值，即,其中w为权函数，一般可以取1。将上式进一步具体化，即对上式取极值，有,这是一组关于c1,c2,c3cn的方程组，由上式可以求出它们，从而得到真实的试函数。,受均布外载荷简支梁的残值最小二乘法求解,将其带入到控制方程，则一定存在残差，取权函数为1，则残差平方的积分为,由最小二乘法有,由上式可以解出与用伽辽金加权残值法相同的结果。,试函数取为,一般弹性问题近似求解的加权残值法,平面问题有：三大应力分量，三个应变分量，以
16、及两个位移分量。三个物理方程，三个几何方程，两个平衡方程，三类边界条件 基于三大物理量之间的关系（见三大方程），可以得到基于位移表达的平衡方程（控制方程）如下：加上边界条件，就构成了基于位移求解的平面应力问题的所有方程。,设有位移的试函数为式中的cui和cvi是待定常数，ui和vi是满足所有边界条件的基底函数。将试函数代入控制方程，使得其残值在加权积分下为零，即可得到Garlerkin加权残值方程，得到一组关于待定系数的方程组。,同样，也可以得到空间问题的加权残值法，包括伽辽金加权残值法和最小二乘法。可以看出，弹性问题的加权残值法的特点为：1、试函数要满足所有边界条件，即位移边界条件和力边界条
17、件2、积分中试函数的最高阶导数较高（对梁的弯曲问题，导数为4阶，而对于其他一般弹性问题为2阶），因此试函数对连续性要求较高3、整个方法为计算一个全场的积分4、有求取积分问题的最小值，将原方程得求解化为线性方程组的求解5、整个方法的处理流程比较规范6、难点在于如何在全场范围内寻找同时满足所有边界条件的具有较高连续性的试函数？,3.3弹性问题近似求解最小势能原理及其变分原理,最小势能原理 设有满足位移边界条件的许可位移场，真实的位移使得物体的总势能取最小值。当以试函数取为许可的基底函数的线性组合时，该原理所描述的方法也叫做Rayleigh-Ritz（瑞利里兹）原理。Rayleigh-Ritz（瑞利
18、里兹）原理：通过泛函驻值条件求未知（位移）函数的近似方法。令所求函数为n个已知函数的线性组合，通过泛函的驻值条件，得到n个关于未知待定系数的代数方程组，从而可以确定假定函数的具体形式。,受均布外载荷简支梁的Rayleigh-Ritz法求解,解：用瑞利里茨法。位移试函数,满足梁的位移边界条件在x=0，l处，w=0 总势能,根据则,所以,回代,故,受均布外载荷简支梁的最小势能原理求解,解：按照最小势能原理方法求解，设有位移的试函数为式中的cui和cvi是待定常数，ui和vi是满足所有边界条件的基底函数。计算应变能为,相应的外力功为则总的势能为U-W,为了使得其取极小值，则有,解出待定常数后又试函数
19、（许可位移场）的具体表达,可以看出，该方法与虚功原理求解出来的结果相同，这是因为两种取了相同的试函数。以上求解过程中所用的试函数为许可基底函数的线性组合，因此，上式求解方法也是基于Rayleigh-Ritz原理。,一般弹性问题的最小势能原理,设有许可位移场，它满足位移边界条件，那么真实的一组位移可以使得该系统的势能取极小值，即其中,最小势能原理的变分基础 最小势能原理证明推导的过程实际上就是数学上的变分过程，所采用的方法叫做变分方法。（variational method）。这里还是以受均布载荷作用下简支梁的平面弯曲问题为例来证明，从特殊到一般的推导过程。该问题的原始提法为：假定有位移v（x）
20、，它满足剪支梁的控制方程：,对于该问题的最小势能原理，其数学变分问题为：设有满足位移边界条件的许可位移场函数，其中真实的一组使得以下泛函取极小值，即计算简支梁势能的变分（复合函数的求导）有,考虑到剪力、弯矩和位移之间的关系，以及边界条件等，势能的变分可以变为,可以看出，要使得势能的变分等于0，必须要满足以下几个条件：1、两端的弯矩等于02、力平衡方程 对于能量泛函求二次变分有可以知道，能量泛函的极值为极小值。,一般弹性问题最小势能原理求解的变分基础,其中又有,由变分方法，对泛函取极值，故有,故有,以上的证明说明，总能够找到满足位移边界条件的试函数，即许可位移场，在满足几何条件和物理方程的条件下
21、，当势能取最小值时，其结果精度可以满足剩下的平衡方程以及力边界条件。但是在实际上，由于选择许可位移场的局限性和盲目性，一般很难将真正精确的位移场包含在许可位移场中，这样，就不可能由最小势能原理来求出精确解，只能在所选择的试函数（即许可位移场）范围内，通过最小势能原理求出最好的一组解，它在加权残值最小的意义下，对平衡方程和力边界条件进行最佳逼近。,由以上的情况可以看出，弹性问题的最小势能原理的特点为：1、试函数为许可位移场，即只需要满足位移边界条件，而不用满足力边界条件2、积分中试函数的最高阶导数教低（对梁的弯曲问题导数为2阶，对于一般问题导数为1阶）3、整个计算方法是计算以个全场的积分4、由取
22、积分问题的最小值，可以将原方程的求解化为线性方程组的求解5、整个方法的处理流程比较规范,几种方法之间的关系1、变分方法是从纯数学的角度来描述，只是用方程、泛函、极值等术语来表达和推导，而没有考虑背后的物理意义2、最小势能原理和虚功原理的提法为物理提法，他们有相应的物理表达和物理意义。3、加权残值发是一种数学提法，它基于试函数来求取对原始方程的最佳逼近。在某种意义上，它们可以互相转化：变分法的泛函极值最小势能原理 变分过程加权残值意义下对平衡方程和力边界条件的逼近。实际上都是变分方法的几种变换形式。,从以上图表可以看出，微分形式的求解方法和积分形式的求解方法存在着本质上的不同，正式引入了试函数，
23、使得求解的难度大大降低。由于工程问题非常复杂，要求所采用的方法具有教好的规范性，较低的难度，较低的函数连续性要求，较明确的物理概念，较好的通用性。而基于最小势能原理的求解方法具有比较明显的综合优势，因此，可以在该原理的基础上发展出能广泛适用于工程中任意复杂问题的求解方法，但是必须处理的关键问题包括：复杂物体的几何描述、试函数的确定与选取、全场试函数的表达。,基本方程偏微分方程的边值问题变分原理偏微分方程的边值问题转换为代数方程有限元原理数值分析方法工程应用广泛，理论基础变分原理。为什么变分原理在工程上的应用有限，而有限元原理却应用广泛。,有限元原理与经典变分原理的差别位移试函数,位移边界Su位移试函数构造困难,有限元不是整体选取试函数而是在弹性体内分区（单元）完成的试函数形式简单统一近年来，随着现代科学技术的发展，特别是计算机技术的迅速发展和广泛应用，使得以有限元方法为代表的计算力学的迅速发展，改变了弹性力学理论在工程应用领域的处境。,有限元方法将计算数学与工程分析相结合，极大地扩展和延伸了力学理论与方法，取得了当代力学理论应用的高度成就。大型通用有限元程序的广泛应用，使得有限元成为结构分析工具。以此为基础，CAD,CAE等技术的应用使得计算机不仅成为数值分析的工具，而且成为设计分析的工具。,
