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1、第三章 单元类型及单元刚度矩阵,一、形状函数类型及其特征 1.Langrange型形状函数 2.Hermite型形状函数二、一维单元及其单元刚度阵 1.杆单元 2.三次梁单元三、二维单元及其单元刚度阵 1.三角形单元 2.矩形单元 四、三维单元及其单元刚度阵 1.六面体单元 2.四面体单元 3.曲线等参元,第三章 单元类型及单元刚度矩阵,有限元法的基本原理是将结构划分成单元，在单元内用较简单的函数描述单元位移，即,这是对单元位移u(x)的近似。在前面两章的介绍中，我们讲过，是用单元的节点位移来描述单元内点位移，这里所用的变量qi，是节点位移的一种推广，即一组广义坐标，或称广义节点位移，包括节点
2、位移和节点位移导数。Ni为形状函数。根据单元广义节点位移的不同，形状函数分两类：Langrange和Hermite型。,1.Langrange型形状函数，这时节点广义位移为节点位移，不含节点位移导数，它与单元的几何形状、单元节点分布和节点数有关。所以，该类形状函数在单元几何形状、节点分布和节点数一定时也随之确定。,2.Hermite型形状函数，其节点广义位移包含节点位移和节点位移导数。,一、形状函数类型及其特征,在第二章中，曾经讨论过单元内点位移函数假设适应满足的4项原则。,包含单元的刚体位移包含单元的常应变状态保证不偏惠各坐标轴保证单元内位移连续,体现位移函数完备性,体现位移函数几何不变性,
3、体现位移函数协调性,一、形状函数类型及其特征,要保证位移函数的几何不变性，位移函数多项式的各项应根据帕斯卡三角形来选择。,二维单元的帕斯卡三角形,一、形状函数类型及其特征,三维的帕斯卡三角形,一、形状函数类型及其特征,形状函数应该满足以下条件,1.,2.,3.保证所定义位移函数在相邻单元之间的连续,4.保证所定义位移函数反映常应变状态,一、形状函数类型及其特征,工程实际中有一种结构，特征为：存在一个长维，但相对而言又不像平面应变那样，长短比略小，且载荷可以为任意。比较典型的是井架、塔架等框架结构，这类结构可用有限元中的一维单元来离散，根据问题的不同，一维单元又可分为杆单元和梁单元。,二、一维单
4、元及其单元刚度阵,1.杆单元 杆单元受轴向力，在单元端点处无弯矩和扭矩作用，将此单元独立出来进行受力分析时为二力杆。根据单元形状函数的阶次，又可分为一次杆单元和二次杆单元。,一次杆单元 单元有两个节点，如图所示，编号为i、j,采用局部坐标，记，并取i为x坐标的原点，则有,根据形状函数的定义，我们知道，形状函数是描述或反映单元内点位移与单元节点位移的关系。对于上述问题，已知节点位移为ui,uj,而要求节点间任一内点的位移，显然可以根据线性插值来计算（二点一次拉氏插值），即,1.杆单元 一次杆单元,二、一维单元及其单元刚度阵,代入，有,令,得,所以单元内点位移为,单元应变,1.杆单元 一次杆单元,
5、二、一维单元及其单元刚度阵,所以，几何矩阵为,单元应力为,弹性矩阵,单元刚度矩阵通式为,二、一维单元及其单元刚度阵,代入，得,这是一次杆单元的单刚阵，它对称、对角线元素大于零且奇异！,1.杆单元 一次杆单元,当上述单元用于描述仅受扭转变形的杆件时，其单刚阵类似于一次杆单元的单刚阵，为：,二、一维单元及其单元刚度阵,1.杆单元 一次杆单元,二次杆单元 单元有三个节点，如图所示，端点编号为i、j,三个节点依次为1、3、2。单元位移可以根据抛物线插值（亦称三点两次拉氏插值）获得，即,同样令,二、一维单元及其单元刚度阵,1.杆单元,令,二、一维单元及其单元刚度阵,1.杆单元 二次杆单元,所以单元内点位
6、移为,单元应变,二、一维单元及其单元刚度阵,1.杆单元 二次杆单元,几何矩阵为,单元应力为,单元刚度矩阵,二、一维单元及其单元刚度阵,1.杆单元 二次杆单元,元素的计算,可以直接应用,元素的计算,二、一维单元及其单元刚度阵,1.杆单元 二次杆单元,元素的计算,二、一维单元及其单元刚度阵,1.杆单元 二次杆单元,其余元素利用对称性可求得,2.三次梁单元,梁单元如图所示，仅考虑节点在xoy平面内的位移为v、，这时一个单元有四个自由度，形状函数为三次多项式，即使用三次Hermite插值多项式。,二、一维单元及其单元刚度阵,2.三次梁单元,二、一维单元及其单元刚度阵,Hermite位移插值多项式,2.
7、三次梁单元,其中,二、一维单元及其单元刚度阵,2.三次梁单元,根据平面梁弯曲变形公式（忽略剪切变形）,其中,二、一维单元及其单元刚度阵,2.三次梁单元,二、一维单元及其单元刚度阵,同样令,2.三次梁单元,单元应力为,单元刚度矩阵,引入,二、一维单元及其单元刚度阵,2.三次梁单元,单元刚度矩阵,元素的计算,二、一维单元及其单元刚度阵,2.三次梁单元,二、一维单元及其单元刚度阵,元素的计算,2.三次梁单元,二、一维单元及其单元刚度阵,元素的计算,2.三次梁单元,二、一维单元及其单元刚度阵,元素的计算,其余元素利用对称性可求的,二维单元用于分析和解决平面问题和轴对称为题。在第二章中已详细介绍过，而且
8、是在直角坐标中推导的。在下面这一节中，我们将介绍两种平面单元，即三角形单元和四边形单元，包括一次和二次三角形单元以及一次四边形单元。,三、二维单元及其单元刚度阵,1.三角形单元,三角形单元按其位移的阶数分为一、二、三次单元。,一次三角形单元,第二章详细介绍过这种单元，其形状函数是坐标的一次多项式，推导采用直角坐标。对于高次三角形单元，这类坐标不方便，特此引入面积坐标。,1.三角形单元 一次三角形单元,三、二维单元及其单元刚度阵,面积坐标,如图所示，在三角形单元A1A2A3中，有任意一点P(x,y)连接PA1、PA2、PA3,得到三个小三角形：PA2A3、PA3A1、PA1A2,记面积比为：,称
9、1、2、3为P点的面积坐标,三、二维单元及其单元刚度阵,1.三角形单元 一次三角形单元,面积坐标,由于1+2+3=1，因此该三个坐标不独立。其负号的规定为：分子分母对应的三角形顶点编号转向相同时为正，反之为负，由于三角形A1A2A3的顶点编号一般规定为逆时针，因此，子三角形顶点编号为逆时针时面积坐标为正，反之为负。,三、二维单元及其单元刚度阵,1.三角形单元 一次三角形单元,面积坐标,三角形中一些特殊点的面积坐标,顶点,边中点,形心,三、二维单元及其单元刚度阵,1.三角形单元 一次三角形单元,面积坐标与直角坐标的关系,三角形三个顶点在直角坐标系中的坐标为（xi,yi）,则A1A2A3的面积为,
10、类似地三个小三角形的面积依次为,三、二维单元及其单元刚度阵,1.三角形单元 一次三角形单元,面积坐标与直角坐标的关系,三、二维单元及其单元刚度阵,1.三角形单元 一次三角形单元,面积坐标与直角坐标的关系,其中,三、二维单元及其单元刚度阵,1.三角形单元 一次三角形单元,面积坐标与直角坐标的关系,同理,三、二维单元及其单元刚度阵,1.三角形单元 一次三角形单元,面积坐标与直角坐标的关系,其中,令,i=1,2,3;i、j、k按1,2,3轮转,三、二维单元及其单元刚度阵,1.三角形单元 一次三角形单元,面积坐标与直角坐标的关系,则,于是有,三、二维单元及其单元刚度阵,1.三角形单元 一次三角形单元,
11、面积坐标与直角坐标的关系,对于单元的三个角点，应有,A1点,A2点,三、二维单元及其单元刚度阵,1.三角形单元 一次三角形单元,面积坐标与直角坐标的关系,A3点,重写上述三式,三、二维单元及其单元刚度阵,1.三角形单元 一次三角形单元,面积坐标与直角坐标的关系,所以有,于是有,三、二维单元及其单元刚度阵,1.三角形单元 一次三角形单元,形状函数,根据形状函数的定义,i=1时，对于A1、A2、A3点,i=1,2,3,所以,三、二维单元及其单元刚度阵,1.三角形单元 一次三角形单元,形状函数,同理，i=2、3时，对于A1、A2、A3点,所以,于是,单元应变,三、二维单元及其单元刚度阵,1.三角形单
12、元 一次三角形单元,位移函数,三、二维单元及其单元刚度阵,1.三角形单元 一次三角形单元,其中 为几何矩阵,单元应变,利用复合函数求偏导数的公式,三、二维单元及其单元刚度阵,1.三角形单元 一次三角形单元,几何矩阵,三、二维单元及其单元刚度阵,1.三角形单元 一次三角形单元,可得,平面应力问题的应力为,单元刚度矩阵,几何矩阵,三、二维单元及其单元刚度阵,1.三角形单元 一次三角形单元,单元刚阵,二次三角形单元,二次三角形单元，如图所示，单元共六个节点，12个自由度，三个角节点，三个边中点。,三、二维单元及其单刚阵,1.三角形单元 二次三角形单元,形状函数,i=1,2，6,节点面积坐标,对于A1
13、、A2、A3、A4、A5、A6点,三、二维单元及其单元刚度阵,1.三角形单元 二次三角形单元,形状函数,形状函数分量,三、二维单元及其单元刚度阵,1.三角形单元 二次三角形单元,形状函数,形状函数分量,同样，对于A1、A2、A3、A4、A5、A6点,三、二维单元及其单元刚度阵,1.三角形单元 二次三角形单元,形状函数,形状函数分量,同样，对于A1、A2、A3、A4、A5、A6点,三、二维单元及其单元刚度阵,1.三角形单元 二次三角形单元,形状函数,形状函数分量,同样，对于A1、A2、A3、A4、A5、A6点,三、二维单元及其单元刚度阵,1.三角形单元 二次三角形单元,形状函数,形状函数分量,同
14、样，对于A1、A2、A3、A4、A5、A6点,三、二维单元及其单元刚度阵,1.三角形单元 二次三角形单元,形状函数,形状函数分量,同样，对于A1、A2、A3、A4、A5、A6点,三、二维单元及其单元刚度阵,1.三角形单元 二次三角形单元,位移函数,其中 为几何矩阵,单元应变,三、二维单元及其单元刚度阵,几何矩阵,1.三角形单元 二次三角形单元,三、二维单元及其单元刚度阵,几何矩阵,平面应力问题的应力为,1.三角形单元 二次三角形单元,j、k根据i=4、5、6依次按1,2,3轮转,三、二维单元及其单元刚度阵,1.三角形单元 二次三角形单元,注意使用积分公式,单元刚度矩阵,2.矩形单元,三、二维单
15、元及其单元刚度阵,矩形单元如图所示，共四个节点，每个节点两个自由度，单元共8个节点位移。为计算方便，引入新的变量：,令,一次矩形单元,2.矩形单元 一次矩形单元,三、二维单元及其单元刚度阵,其中,四个角点新坐标,三、二维单元及其单元刚度阵,形状函数,利用形状函数的性质，可得,验证,2.矩形单元 一次矩形单元,三、二维单元及其单元刚度阵,位移函数,其中 为几何矩阵,单元应变,2.矩形单元 一次矩形单元,三、二维单元及其单元刚度阵,其中,几何矩阵,2.矩形单元 一次矩形单元,三、二维单元及其单元刚度阵,几何矩阵,2.矩形单元 一次矩形单元,三、二维单元及其单元刚度阵,平面应力问题的应力为,单元刚度
16、矩阵,2.矩形单元 一次矩形单元,三、二维单元及其单元刚度阵,其中,对于平面应变问题,2.矩形单元 一次矩形单元,三、二维单元及其单元刚度阵,2.矩形单元 一次矩形单元,三、二维单元及其单元刚度阵,2.矩形单元,二次矩形单元,令,八个节点新坐标,三、二维单元及其单元刚度阵,2.矩形单元 二次矩形单元,形状函数,利用形状函数的性质，可得,三、二维单元及其单元刚度阵,2.矩形单元 二次矩形单元,三、二维单元及其单元刚度阵,2.矩形单元 二次矩形单元,位移函数,其中 为几何矩阵,单元应变,三、二维单元及其单元刚度阵,2.矩形单元 二次矩形单元,几何矩阵,平面应力问题的应力为,单元刚度矩阵,三、二维单
17、元及其单元刚度阵,2.矩形单元 二次矩形单元,工程中的一切问题都对应着空间三维问题，都可以用三维单元来构成其总体结构。本课程介绍三维单元及其单刚阵，包括六面体、四面体和曲线等参单元。,四、三维单元及其单元刚度阵,1.六面体单元,单元如图所示，共8个节点，每个节点的位移参数是u、v、w，在进行单元分析时，同矩形单元一样，常用局部坐标 表示，其原点位于六面体形心，坐标方向同x、y、z一致，其相互关系为：,四、三维单元及其单元刚度阵,1.六面体单元,令,四、三维单元及其单元刚度阵,1.六面体单元,形状函数,八个角点新坐标,四、三维单元及其单元刚度阵,1.六面体单元,位移函数,验证,四、三维单元及其单
18、元刚度阵,1.六面体单元,单元应变,其中 为几何矩阵,四、三维单元及其单元刚度阵,1.六面体单元,几何矩阵,四、三维单元及其单元刚度阵,1.六面体单元,几何矩阵,三维问题的应力为,四、三维单元及其单元刚度阵,1.六面体单元,弹性矩阵,单元刚度矩阵,四、三维单元及其单元刚度阵,1.六面体单元,四、三维单元及其单元刚度阵,1.六面体单元,单元刚度矩阵,为3x3的块方阵，i，j=1，2，8，且,四、三维单元及其单元刚度阵,1.六面体单元,单元刚度矩阵,四、三维单元及其单元刚度阵,1.六面体单元,单元刚度矩阵,四、三维单元及其单元刚度阵,1.六面体单元,单元刚度矩阵,四、三维单元及其单元刚度阵,2.四
19、面体单元,工程实际中的结构往往比较复杂，仅用形状规则的单元难于较好的近似结构的几何边界，下面介绍多用于过度单元的4面体4节点三维单元。,采用体积坐标，单元内任意一点P的位置由4个比值来确定：,2.四面体单元,V是四面体的体积,四、三维单元及其单元刚度阵,四、三维单元及其单元刚度阵,2.四面体单元,其中,四、三维单元及其单元刚度阵,2.四面体单元,其中,四、三维单元及其单元刚度阵,2.四面体单元,形状函数,从而可以推的位移函数、单元应变、几何矩阵、弹性矩阵、刚度矩阵。,积分中用到,四、三维单元及其单元刚度阵,3.曲边等参单元,前面介绍的几种单元几何形状规则，便于进行运算，但难以适应工程实际的需要
20、，工程实际中零部件的外形基本上都比较复杂。曲边等参单元可以解决这个矛盾，这种单元可以用曲边单元划分实际结构，而按直边单元进行计算，中间用坐标变换来转换之，把（x,y,z）转换成（）。,坐标变换,用平面单元来说明。子单元是任意四边形，母单元是正方形。,四、三维单元及其单元刚度阵,3.曲边等参单元,坐标变换,四、三维单元及其单元刚度阵,3.曲边等参单元,坐标变换,用等分四边形的两族直线划分子单元，以子单元形心为新坐标（）的原点，在这个坐标系中，母单元内任意一点的位移为,其中,四、三维单元及其单元刚度阵,3.曲边等参单元,坐标变换,其中的Ni与形状函数中的Ni相同。在上式中令 得,这是直线2-3的方
21、程，同样可以得到直线1-2、3-4、4-1的方程。,四、三维单元及其单元刚度阵,3.曲边等参单元,等参单元的单元分析,单元分析,对n个节点的空间等参单元，可以类似地写出位移函数和坐标变换关系：,四、三维单元及其单元刚度阵,3.曲边等参单元,单元分析,有了位移函数后，就可以的得到几何矩阵，在几何矩阵中要出现形状函数分量对整体坐标的导数，根据复合函数导数规则：,等参单元的单元分析,四、三维单元及其单元刚度阵,四、三维单元及其单元刚度阵,可表示为,式中，为雅克比矩阵,3.曲边等参单元,单元分析,等参单元的单元分析,四、三维单元及其单元刚度阵,可以推得,3.曲边等参单元,单元分析,等参单元的单元分析,四、三维单元及其单元刚度阵,有,求出单元的形状函数后，如,3.曲边等参单元,单元分析,等参单元的单元分析,四、三维单元及其单元刚度阵,3.曲边等参单元,单元分析,等参单元的单元分析,对局部坐标求导数，并和节点坐标一块代入 中并求出 的逆阵，从而可以计算出形状函数对整体坐标的导数，这样就可以获得。,单元刚度矩阵,其分块矩阵为,四、三维单元及其单元刚度阵,3.曲边等参单元,等参单元的单元分析,单元刚度矩阵,上式是在整体坐标中进行，且有,是 的行列式,于是有,高斯积分,
