杨辉三角及二项式系数的性质.ppt

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1、二项展开式中的二项式系数指的是那些?共有多少个?,下面我们来研究二项式系数有些什么性质?我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时,二项式系数有什么特点?,杨辉三角,九章算术,杨辉,详解九章算法中记载的表,杨辉三角,1“杨辉三角”的来历及规律,杨辉三角,展开式中的二项式系数,当时,如下表所示:,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1,杨辉三角,点击图片可以演示“杨辉三角”课件,杨辉三角,第5行 1 5 5 1,第0行1,杨辉三角,第1行 1 1,第2行 1 2 1,第3行 1 3 3 1,第4行 1 4 1,第6行 1 6

2、15 6 1,第n-1行 1,1,第n行 1,1,15,15=5+10,20,20=10+10,10=6+4,10,10=6+4,10,6,6=3+3,4=1+3,4,1,2,5,第5行 1 5 10 10 5 1,第6行 1 6 15 20 15 6 1,第7行 1 7 21 35 35 21 7 1,第1行 1 1,第0行1,第2行 1 2 1,第3行 1 3 3 1,第4行 1 4 6 4 1,1,3,8,13,21,34,如图,写出斜线上各行数字的和,有什么规律?,第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1,类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书

3、里就已经出现了,这个表称为杨辉三角。在书中,还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和,杨辉指出这个方法出于释锁算书,且我国北宋数学家贾宪(约公元11世纪)已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲,这个表被认为是法国数学家帕斯卡(1623-1662)首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说,杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.,二项式系数的性质,展开式的二项式系数依次是:,从函数角度看,可看成是以r为自变量的函数,其定义域是:,当 时,其图象是右图中的7个孤立点,二项式系数的性质,2二项式系数的性质,(1)对

4、称性,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,这一性质可直接由公式 得到,图象的对称轴:,二项式系数的性质,(2)增减性与最大值,由于:,所以 相对于 的增减情况由 决定,二项式系数的性质,(2)增减性与最大值,由:,二项式系数是逐渐增大的,由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取得最大值。,可知,当 时,,二项式系数的性质,(2)增减性与最大值,(3)各二项式系数的和,二项式系数的性质,在二项式定理中,令,则:,这就是说,的展开式的各二项式系数的和等于:,同时由于,上式还可以写成:,这是组合总数公式,一般地,展开式的二项式系数 有如下性质:,(1),(2),(3)当 时,,(4),

5、当 时,,例题分析:,例1证明:(1)(a+b)n 的展开式中,各二项式系数 的和,启示:在二项式定理中a,b可以取任意实数,因此我们可以通过对a,b赋予一些特定的值,是解决二项式有关问题的一种重要方法赋值法。,令a=b=1,则,1答案,2答案,继续思考1:(2)试证明在(a+b)n的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.,即证:,证明:在展开式 中 令a=1,b=1得,总结:赋值法在二项式定理中,常对a,b赋予一些特定的值1,-1等来整体得到所求。,例1、赋值法,例2:赋值法,总结:求奇次项系数之和与偶次项系数的和 可以先赋值,然后解方程组整体求解.,思考:,1.当n10时常用杨辉三角处理二项式系数问题;2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式系数的性质:对称性、增减性和最大值;3.常用赋值法解决二项式系数问题.,课外思考:1.求证:,2.(1x)13 的展开式中系数最小的项是()(A)第六项(B)第七项(C)第八项(D)第九项,C,驶向成功的彼岸,

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