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1、杨辉三角的奥秘及应用,1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1,这个表就称为杨辉三角,（a+b)1=（a+b)2=（a+b)3=（a+b)4=（a+b)5=（a+b)6=,1a+1b,1a2+2ab+1b2,1a3+3a2b+3ab2+1b3,1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4,1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5,1a6+6a5b+15
2、a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+1b6,1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1,与二项式展开系数的关系,（a+b)n 展开式的系数就是杨辉三角的第n行,杨辉三角,这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的详解九章算法一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似下面的表：,杨辉,中国南宋末年数学家、数学教育家。大约在13世纪 中叶至后半叶活动于苏、杭一带。字谦光，钱塘（今杭州）人。其生卒年及生平无从详考。杨辉的数学著作甚多有日用算法 杨辉算法等,“杨辉三角”出现在杨辉编著的详解九章算法一
3、书中，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三角杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右.,杨辉三角基本性质,1.三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加 2.杨辉三角具有对称性（对称美），与首末两端“等距离”的两个数相等 3.每一行的第二个数就是这行的行数4.所有行的第二个数构成等差数列5.第n行包含n+1个数,1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21
4、35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1,与数字11的幂的关系,与数字2的幂的关系,+,+,+,杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂。,斜行和水平行之间的关系,n行中的第i个数是斜行i-1中前n-1个数之和,1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1,斐波那契数列,1,1,2,3,5,8,换一角度“斜”向看：斜线的和依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，a1=1,a2=1,a3 2，有：an=an-1+an-2(
5、n3),斐波那契数与植物花瓣3百合和蝴蝶花,5蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花,8翠雀花,13金盏和玫瑰,21紫宛,34、55、89雏菊,第2k行的数字特征,所有数的和是偶数,第 行的数字特征,行数整除所有的数,第5行,第7行,第3行,第 2行,都是质数,行数为质数的数都能被行数整除,在弹球游戏中的应用,弹球游戏，小球向容器内跌落，碰到第一层挡物后向两侧跌落碰到第二层阻挡物，再向两侧跌落第三层阻挡物，如此一直下跌最终小球落入底层。根据具体地区获的相应的奖品（AG区奖品最好，BF区奖品次之，CE区奖品第三，D 区奖品最差）。,A B C D E F G,在弹球游戏中的应用,杨辉三角的实际应用,“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题图1是某城市的部分街道图，纵横各有三条路，如果从A处走到B处(只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？,A,图1,B,我们把图顺时针转45度，使A在正上方，B在正下方，然后在交叉点标上相应的杨辉三角数B处的杨辉三角数与A到B的走法有什么关系?,结论：有趣的是，B处所对应的数6，正好是答案(6)一般地,每个交点上的杨辉三角数，就是从A到达该点的方法数由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系,A,B,1,1,1,1,1,2,3,3,6,A,B,D,C,A,B,
