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1、第二章 模糊集的基本运算,一.模糊集的表示方法,模糊集合是论域X 到0,1的映射,因此用隶属函数来表示模糊集合是最基本的方法。除此以外,还有以下的表示方法：1)序偶表示法 A=(x,A(x)|xX.例如:用集合X=x1,x2,x3,x4表示某学生宿舍中的四位男同学,“帅哥”是一个模糊的概念。经某种方法对这四位学生属于帅哥的程度(“帅度”)做的评价依次为:0.55,0.78,0.91,0.56,则以此评价构成的模糊集合A记为:A=(x1,0.55),(x2,0.78),(x3,0.91),(x4,0.56).,2)向量表示法 当论域X=x1,x2,xn时,X上的模糊集A可表示为向量 A=(A(x
2、1),A(x2),A(xn).模糊集“帅哥”A可记为:A=(0.55,0.78,0.91,0.56).向量的每个分量都在0与1之间,称之为模糊向量。3）Zadeh表示法 当论域为有限集x1,x2,xn时,模糊集合可表示为 A=A(x1)/x1+A(x2)/x2+A(xn)/xn.注意,这里仅仅是借用了算术符号+和/,并不表示分数和运算,而只是描述A中有哪些元素,以及各个元素的隶属度值。对于任意论域X中的模糊集合A可记为:,模糊集“年轻”A可表示为,注意：当论域明确的情况下,在序偶和Zadeh表示法中,隶属度为0的项可以不写出。而在向量表示法中,应该写出全部分量。例如,论域X为1到10的所有正整
3、数,模糊集“近似于5”A可表示为：,或,或,二.典型的隶属函数,构造恰当的隶属函数是模糊集理论应用的基础。一种基本的构造隶属函数的方法是“参考函数法”,即参考一些典型的隶属函数,通过选择适当的参数,或通过拟合、整合、实验等手段得到需要的隶属函数。下面介绍典型隶属函数。1.偏小型 降半矩形分布,降半形分布,降半正态分布,降半柯西分布,降半梯形分布,降岭形分布。,2.偏大型 升半矩形分布，升半形分布，升半正态分布，升半柯西分布，升半梯形分布，升岭形分布。,“年轻”模糊集合的隶属函数为降半柯西分布,其中取a=1/5,b=25,c=2.“年老”模糊集合的隶属函数为升半柯西分布,其中取a=1/5,b=5
4、0,c=2.3.中间型(对称型)矩形分布,尖形分布,正态分布,柯西分布,梯形分布,岭形分布。,三.模糊集上的运算,几点说明 经典集合可用特征函数完全刻画,因而经典集合可看成模糊集的特例(即隶属函数只取0,1两个值的模糊集)。设X为非空论域,X上的全体模糊集记作F(X).于是,P(X)F(X),这里P(X)为X的幂集(即X的全体子集构成的集合).特别地,空集的隶属函数恒为0,全集X的隶属函数恒为1,即、X都是X上的模糊集。,2.模糊集的包含关系 设X为非空论域,A,B为X上的两个经典集合。AB当且仅当属于A的元素都属于B.易证AB当且仅当对任意xX有CA(x)CB(x).,定义 设X为非空论域,
5、A,B为X上的两个模糊集合。称A包含于B(记作AB),如果对任意xX有A(x)B(x).这时也称A为B的子集。,例 论域X=x1,x2,x3,x4时,X上的模糊集A为:A=(0.55,0.78,0.91,0.56).X上的模糊集B为:B=(0.35,0.52,0.65,0.37).则根据定义有BA.,帅哥,超男,定义 论域X上的模糊集A与B称为是相等的,如果AB 且BA,即对任意xX有A(x)=B(x).,3.模糊集的并 设X为非空论域,A,B为X上的两个经典集合。AB=xX|xA或xB.易证 CAB(x)=maxCA(x),CB(x)=CA(x)CB(x).,定义 设X为非空论域,A,B为X
6、上的两个模糊集合。A与B的并(记作AB)是X上的一个模糊集,其隶属函数为(AB)(x)=maxA(x),B(x)=A(x)B(x),xX.,(AB)(x),4.模糊集的交 定义 非空论域X上的两个模糊集合A与B的交(记作AB)是X上的一个模糊集,其隶属函数为(AB)(x)=minA(x),B(x)=A(x)B(x),xX.,(AB)(x),5.模糊集的补 定义 非空论域X上的一个模糊集合A的补(记作A或AC)X上的一个模糊集,其隶属函数为 A(x)=1A(x),xX.,注：两个模糊集的并、交运算可以推广到一般情形,即对任意指标集I,若Ai是X上的模糊集,iI.则模糊集的(任意)并、(任意)交定
7、义为:,例 设论域X=x1,x2,x3,x4为一个4人集合,X上的模糊集合 A表示“高个子”:A=(x1,0.6),(x2,0.5),(x3,1),(x4,0.4).模糊集合B表示“胖子”:B=(x1,0.5),(x2,0.6),(x3,0.3),(x4,0.4).则模糊集合“高或胖”为:AB=(x1,0.60.5),(x2,0.50.6),(x3,10.3),(x4,0.40.4)=(x1,0.6),(x2,0.6),(x3,1),(x4,0.4).模糊集合“又高又胖”为:AB=(x1,0.5),(x2,0.5),(x3,0.3),(x4,0.4).模糊集合“个子不高”为:A=(x1,0.4
8、),(x2,0.5),(x3,0),(x4,0.6).,四.模糊集的运算性质,1.经典集合的运算性质 经典集合关于并、交、补运算具有以下性质:设X为论域,A,B,C为X上的经典集合,则(1)幂等律:AA=A,AA=A;(2)交换律:AB=BA,AB=BA;(3)结合律:(AB)C=A(BC),(AB)C=A(BC);(4)吸收律:A(AB)=A,A(AB)=A;(5)分配律:A(BC)=(AB)(AC),A(BC)=(AB)(AC);,(6)对合律(复原律):(A)=A;(7)两极律(同一律):AX=A,AX=X,A=,A=A;(8)De Morgan对偶律:(AB)=AB,(AB)=AB;(
9、9)排中律(互补律):AA=X,AA=.注：满足上述前四条规律的代数系统称为格(可诱导出一个序ABAB=AAB=B)。满足以上9条性质的代数系统称为布尔代数(Boolean algebra,即“有补的有界分配格”.,2.模糊集合的运算性质 定理 设X为论域,A,B,C为X上的模糊集合,则(1)幂等律:AA=A,AA=A;(2)交换律:AB=BA,AB=BA;(3)结合律:(AB)C=A(BC),(AB)C=A(BC);(4)吸收律:A(AB)=A,A(AB)=A;(5)分配律:A(BC)=(AB)(AC),A(BC)=(AB)(AC);,(6)对合律(复原律):(A)=A;(7)两极律(同一律
10、):AX=A,AX=X,A=,A=A;(8)De Morgan对偶律:(AB)=AB,(AB)=AB.,证明De Morgan对偶律:对任意xX,由于(AB)(x)=1(AB)(x)=1(A(x)B(x)=(1A(x)(1B(x)=A(x)B(x)=(AB)(x).所以(AB)=AB.同理可证(AB)=AB.,注：模糊集中互补律不成立(参见下面的反例).满足以上8条性质的代数系统称为De Margan代数,也称为软代数(soft algebra).反例 设论域X=a,b上的模糊集A=(a,0.6),(b,0.3).则 A=(a,0.4),(b,0.7).从而 AA=(a,0.6),(b,0.7
11、)X,AA=(a,0.4),(b,0.3).,五.L型模糊集,本节把模糊集合的隶属度取值范围推广到一般格上,并研究这类广义模糊集合及其性质。1.偏序集与格 定义 称(P,)为偏序集,若P上的二元关系满足以下三个条件:(1)自反性:aP,a a;(2)反对称性:a b且b a a=b;(3)传递性:a b且b c a c.对于偏序集(P,),如果对于任意a,bP总有ab或ba成立,则称P为线性序集或全序集。,设(P,)为偏序集,若存在aP使得对任意bP都有ab,则称a为P的最小元。若存在aP使得对任意bP都有ba,则称a为P的最大元。易知,如果偏序集有最小元或最大元,则最小元或最大元是惟一的。为
12、此,记0为最小元素,1为最大元素。设(P,)为偏序集,XP,若存在aP使得对任意xX都有xa,则称a为X的上界。如果X的上界集合有最小元素,则称它为X的最小上界或上确界,记为supX或X.对偶地,可以定义下界、最大下界或下确界(记为infX或X)。,定义 偏序集(L,)称为格,如果a,bP,上确界a b与下确界ab都存在。任意子集都有上、下确界的格称为完备格。上、下确界运算满足分配律的格称为分配格,这里分配律指有限分配律。定理 设(L,)为格,则上、下确界运算满足:(1)幂等律:aa=a,aa=a;(2)交换律:ab=ba,ab=ba;(3)结合律:(ab)c=a(bc),(ab)c=a(bc
13、);(4)吸收律:a(ab)=a,a(ab)=a.,定理 设代数系统(L,)中的二元运算,满足:幂等律:aa=a,aa=a;交换律:ab=ba,ab=ba;结合律:(ab)c=a(bc),(ab)c=a(bc);吸收律:a(ab)=a,a(ab)=a.则:(1)ab=a ab=b;(2)在L中定义二元关系如下a b ab=a.那么(L,)是格,且,是这个格(L,)的上、下确界运算。,2.Boole代数与De Morgan代数 定义 设L是有界分配格,0,1分别是其最大元和最小元。对任意aL,若存在aL使得aa=1,aa=0,则称L为布尔代数。定义 设P是偏序集,h:PP是映射。如果当ab时恒有
14、h(a)h(b),则称h为保序映射。如果当ab时恒有h(b)h(a),则称h为逆序映射。如果逆序映射h满足对合律h(h(a)=a,则h称为逆序对合对应或逆合映射,也称h为伪补。,定义 设L是有界分配格,h:LL是L上的一元运算且满足(1)h(h(a)=a,(2)h(ab)=h(a)h(b),h(ab)=h(a)h(b).则称L为De Morgan代数。,易知De Morgan代数中h是逆合映射。设X为非空集合,则幂集格(P(X),c)为布尔代数,而X上的模糊集全体构成的格(F(X),c)为De Morgan代数。布尔代数是De Morgan代数,反之不真。,3.L型模糊集及其运算 定义 设X为
15、论域(经典集合),L是一个有逆合映射(伪补)h的格。则映射A:XL称为集合X上的L型模糊集合。记FL(X)=A|A:XL为L型模糊集合.设A,BFL(X),若xX有A(x)B(x),则称A含于B,记为AB.易知(FL(X),)为偏序集。可分别定义并、交、补如下:(AB)(x)=A(x)B(x),(AB)(x)=A(x)B(x)。Ac(x)=h(A(x).,容易验证：如果L是分配格(完备格),则FL(X)也是分配格(完备格)。如果L是De Morgan代数,则FL(X)也De Morgan代数。,例 设L=a,b|ab,a,b0,1.a,b,c,dL,规定 a,bc,d ac,bd.则L是完备格,且如下定义的映射 h:LL,h(a,b)=1b,1a 是L上的伪补。于是,A:XL是L型模糊集,这种模糊集在区间分析中是十分有用的。,4.区间值模糊集 许多情况下很难用一个确切的数值来表达一个对象隶属于一个模糊概念的程度。经验告诉我们,用一个数值范围来描述某点对一个模糊概念的相关程度会相对容易一些,这就产生了区间值模糊集。,
