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1、主要内容：电力系统的稳态可用一组代 数方程组来描述，怎样建立并求解这样的方程组?,4-1 节点导纳矩阵 电力系统等值电路的计算一般采 用节点方程法，即以母线电压为待求量。,第四章 电力网络的数学模型,一、节点方程,n个独立节点的节点方程一般写成矩阵形式,简写为,二、节点导纳矩阵的物理意义,在i点注入电流，除i点外的其余各点均接地，测i点电压,在i点注入电流，除k点外的其余各点均接地，测k点电压,导纳矩阵的特点：1 直观易得；2 非对角元素很多是0,例4-1(P72)注意非标变比变压器的等值电路（参阅P32图2-12）,三、节点导纳矩阵的修改,3）(3)从网络节点i与节点j之间切除一条支路yij
2、，由于未增节点，则矩阵行列不变，只是与i、j有关的元素改变 Yii=-yij Yij=yij Yji=yij Yjj=-yij,(1)从网络i节点引出一条支路yik到新增节点k，则矩阵新增一行一列 Ykk=yik，Yik=Yki=-yik，原来的Yii要增加 Yii=yik,(2)从网络i节点引出一条支路yij到节j，由于 未增节点，则矩阵行列不变，只是与i、j有 关的元素改变 Yii=yij Yij=-yij Yji=-yij Yjj=yij,例4-2（P75）注意为什么Y55=0？,四、支路间存在互感时的节点导纳 矩阵,常用方法：解耦等值电路,在解耦后的等值电路中,节点方程为,注意：双端口
3、四节点的独立方程个数只有 2个,4-2 网络方程的解法一、用高斯消去法求解网络方程,方法表达式,上式数学意义很简单：行列式的行变 其物理意义也不复杂：带电流移置的星 网变换。（下面以星三角变换为例）,等值电路变换公式,例4-3（P78）注意由3节点的三角形网络变为2节点的支路（基本上只需移动电流源）,二、用高斯消去法简化网络,n节点网络的节点方程,写成分块矩阵,展开成表达式,消去1m节点（VA）得,简化后的n-m个节点的网络方程为,例4-4（P81）一个6节点网络被简化为3节点的网络（方法一）用星-网变换逐个消去1、2、3节点（方法二）用（4-18）式一次消去1、2、3三个节点,4-3 节点阻
4、抗矩阵,一、节点阻抗矩阵元素的物理意义 首先应注意：这里讲的是节点阻抗矩阵，依然针对网络节点方程，而不是回路方程。节点方程为 ZI=V 其中，Z=Y-1 I为节点注入电流源而不是回路电流。节点方程的矩阵展开式为,阻抗矩阵元素：,对角元素,称为自阻抗或输入阻抗（在i点注入电流，其它节点注入电流为0，测Vi）,二、用支路追加法形成节点阻抗矩 阵（略）原因：节点方程是以节点电压为求解对象，所以方程（4-20）实际上是一个答案方程，形成Z的过程实际是人工求解的过程，较为烦琐，不如借助于计算机求Y-1。三、用线性方程直接解法对导纳矩 阵求逆（略）原因：矩阵求逆的数学方法很多，计算机数值辅助程序也很多，没
5、必要针对某一种方法来分析。,第十一章 电力系统的潮流计算 11-3 复杂电力系统潮流计算的数学 模型,一、潮流计算的定解条件,网络的节点方程是潮流计算的基础方程，n个节点的方程形式可写成功率形式,写成更直观的形式,分析（11-25）式的特征：这是一组非线性复数方程（功率是电 压的二次函数）；每个节点有4个变量P、Q、V、，n 个节点有4n个变量；方程组按实部和虚部分别平衡共计有 2n个独立方程，因此（11-25）为不 定方程，需要将4n个变量中的2n个变 量设为定量，使方程成为定解方程。,基本方法：每个节点的4个变量中的2个 设为确定量（已知量），另2个为待 求量。依确定量的不同，节点分成三种
6、类型：1、PQ节点 P、Q为确定量，V、为待求量。电力系统绝大部分节点被当作PQ节点。2、PV节点 P、V为确定量，Q、为待求量。发电厂出口母线、担当调压任务的枢纽变电站（无功可调）一般被当作PV节点。3、平衡节点 V、为确定量，P、Q为待求量。整个系统中只有一个这种节点，起平衡P的作用，一般选择主调频电厂为平衡节点。,二、潮流计算的约束条件,11-4 牛顿-拉夫逊法潮流计算一、牛顿-拉夫逊法的基本原理,单变量非线性方程 f(x)=0(11-29)先给出一个预估的近似值x(0)，它与真值的误差设为x(0)，则x=x(0)+x(0)满足方程(11-29)：f(x(0)+x(0)=0 将上式展开成
7、泰勒级数并略去x(0)的二次以上高阶项,这是一个以修正量x(0)为待求量的线性方程，称为修正方程，解修正量得,修正后的近似解为,x(1)仍有误差，按同样步骤反复迭代，迭代公式为,迭代过程收敛判据,牛顿迭代的几何意义,将牛顿迭代法用于n变量的非线性方程组,F（X）=0 得,迭代过程收敛判据,二、节点电压用直角坐标表示时的 牛顿-拉夫逊法潮流计算,节点电压表示为,导纳矩阵元素表示为,将上面两个表示式代入（11-25）式，并分别使实部和虚部左右平衡，得,假定系统中1m号节点为PQ节点，第i个节点的设定功率为Pis和Qis，则由（11-45）式构造非线性方程：,假定系统中m+1n-1号节点为PV节点，
8、则可构造非线性方程：,上面（11-46）、（11-47）共有2(n-1)个方程，由于平衡节点的电压是给定的，不参与迭代，故共有2(n-1)个ei、fi变量，不难写出此非线性定解方程的修正方程为,潮流计算流程：,（1）由上一步迭代算出的e(k)和f(k)计算出P(k)、Q(k)、V2(k)（2）检验 max|P(k)，Q(k)，V2(k)|？如满足，则停止迭代，转入各支路功率计算和平衡节点功率计算；否则继续（3）用e(k)和f(k)计算雅可比矩阵中的各个元素（4）用高斯消去法求解修正方程，得出修正量e(k)、f(k)（5）修正各节点电压e(k+1)=e(k)+e(k)，f(k+1)=f(k)+f
9、(k)（6）返回第（1）步进入下一轮迭代,三、节点电压用极坐标表示时的牛 顿-拉夫逊法潮流计算,节点电压表示为 导纳矩阵元素仍然表示为 将上面两个表示式代入（11-25）式，并分别使实部和虚部左右平衡，得,依然假定 1m号节点为PQ节点，m+1n-1号节点为PV节点，n号节点为平衡节点。,根据（11-57）第一式对所有PQ、PV节点构造非线性方程,根据（11-57）第二式对所有PQ节点构造非线性方程,两式中包含n-1+m个方程，与待求量个数相同。这两式的修正方程为,式中,雅可比矩阵分为四个子阵 H为(n-1)(n-1)阶，N为(n-1)m阶，K为m(n-1)阶，L为mm阶。各子阵中的元素表达式
10、为,注意仔细观察：雅可比矩阵中的元素量纲均为功率，而最右边修正量为无量纲列向量。,牛顿迭代的算法和步骤与直角坐标类似。,11-5 P-Q分解法潮流计算,算法本质：根据电力系统实际特点，对 极坐标牛顿法数学模型进行 简化。实际特点：输电线路（支路）电抗比电 阻大得多，母线（节点）有 功功率P变化主要受电压相 位的影响，无功功率Q变 化主要受电压幅值影响。,对极坐标牛顿法数学模型的简化步骤：,（1）(1)根据输电线路实际特点，结合分析雅可比各子阵Hij、Nij、Kij、Lij表达式，可认为 Nij0，Kij0 因此修正方程简化为,（2）实际输电线路两端电压相角差 ij 一般不大（10o20o），故
11、有,实际节点上无功负荷的等效导纳在节点自导纳中只占很小比例，即,由（11-62）、（11-63）得H、L元素的常数简化式为 Hij=ViVjBij(11-66)(i,j=1,2,n-1)Lij=ViVjBij(11-67)(i,j=1,2,m),矩阵H、L分别写成,修正方程（11-64）、（11-65）可写成,整理并写成展开式,式（11-72）、（11-73）就是P-Q分解法潮流计算模型，与极坐标牛顿法（11-60）比较：,系数矩阵由一个(n-1+m)(n-1+m)阶大矩阵简化为(n-1)(n-1)阶、mm阶两个小矩阵,系数矩阵元素由变量变为常数，对计算机编程计算而言，无须每步迭代都对系数矩阵元素进行更新，大大降低计算时间,虽然模型不如牛顿法全面（计算精度相同），但满足一般工程要求，故P-Q分解法更具有实用性,
