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1、3-3 能观测性及其判据,一：能观测性的概念,定义：设n维线性定常系统的动态方程为,如果在有限的时间间隔内，根据给定的输入值u(t)和输出值y(t)，能够确定系统的初始状态x(t0)的每一个分量,则称此系统是状态完全能观测的，简称能观测的。若系统中至少由一个状态变量不能观测，则称此系统是不完全能观测的，简称不能观测。,该系统是不能观测的,由于,可见系统的状态x(t)的能观测性与x(t0)的能观测性是等价的,定义：设n维系统的动态方程为,若对状态空间中的任一状态x(t0)，存在一有限时间t1-t0，使得由控制输入u(t0,t1)和输出y(t0,t1)的信息足以确定x(t0)，则称系统在t0时刻是
2、完全能观测的。,二：能观测性判据,1 线性时变系统,定理一：系统在t0时刻能观测的充要条件是下列格兰姆矩阵：,为非奇异矩阵,证明:充分性,设,二：能观测性判据,1 线性时变系统,定理一：系统在t0时刻能观测的充要条件是下列格兰姆矩阵：,为非奇异矩阵,证明:必要性,设系统能观测,但,是奇异的,即存在非零初态,使,二：能观测性判据,1 线性时变系统,定理一：系统在t0时刻能观测的充要条件是下列格兰姆矩阵：,为非奇异矩阵,定理二：系统在t0时刻能观测的充要条件是存在一个有限时刻t1t0，使得mn型矩阵C(t)(t,t0)的n个列在t0，t1上线性无关。,定理三：如果线性时变系统的A(t)和C(t)是
3、(n-1)阶连续可微的，若存在一个有限的t1t0，使得,则系统在t0时刻能观测的，其中,（充分条件）,2：线性定常系统,定理一:对于线性定常系统，其能观测的充要条件是,满秩,或,定理二：线性定常连续系统能观测的充分必要条件是能观测性矩阵QO满秩，即,的列线性无关.,定理三：线性定常连续系统能观测的充分必要条件是(n+m)n型矩阵,对A的每一个特征值i之秩为n。（PBH判别法）,定理三：线性定常连续系统，若A的特征值互异，经非奇异变换后为,系统能观测的充分必要条件是,阵中不包含全为零的列,定理四：线性定常连续系统，若A阵具有重特征值，且对应每一个重特征值只存在一个独立的特征向量，经非奇异变换后为
4、：,系统能观测的充分必要条件是,阵中与每一个约当块Ji第一列对应的列不全为零。,非奇异变换不改变系统的能观测性,3-4 离散系统的能控性和能观测性,线性定常离散系统方程为,一：能控性定义,对于任意给定的一个初始状态x(0)，存在k0，在有限时间区间0，k内，存在容许控制序列u(k)，使得x(k)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的,二：能控性判据,线性定常离散系统能控的充分必要条件是nnr型矩阵Qc满秩，即,rank Qc=rankH，GH，G2H，Gn-1H=n,证明,令,对于任意的x(0),上述方程有解的充要条件是：krn且系数矩阵满秩,若系统能控，对于任意的初始状态，在第k步
5、可以使x(k)=0，（kn/r）,例,设单输入线性离散系统的状态方程为,试判断系统的能控性，若初始状态x(0)=2,1,0T，确定使x(3)=0的控制序列u(0),u(1),u(2)；研究x(2)=0的可能性,解,系统是能控的,系统是能控的,令,若令,无解。即不存在控制序列u（0），u（1）能够使系统从初始状态x(0)=2,1,0T转移到x(2)=0。,例,双输入线性定常离散系统的状态方程为：,试判断其能控性，并研究使x(1)=0的可能性,解,系统是能控的,令x(1)=0,若,若,则可以求出u(0)，使x(1)=0,则不存在u(0)，使x(1)=0,三：能观测性定义,对于离散系统，其定义为：已
6、知输入向量序列u(0)、u(1)、u(n-1)及有限采样周期内测量到的输出向量序列y(0)、y(1)、y(n-1),能唯一确定任意初始状态向量x(0),则称系统是完全能观测的，简称系统是能观测的,四：能观测性判据,设n维离散系统的动态方程为,其解为,在讨论能观测性时，假定u(k)=0,(k=0、1、n-1),定义,为离散系统的能观测性矩阵。上述方程要唯一确定x(0)的充要条件是rankQo=n,因此线性定常离散系统能观测的充要条件为rankQo=n,五：连续系统离散化后的能控性与能观测性,定理一：如果连续系统（A、B、C）不能控（不能观测），则对任意采样周期T离散化后的系统（G、H、C）也是不
7、能控（不能观测）的,证明：用反证法,设连续系统不能控，而对于某采样T离散化后的系统却是能控的。则,rankH、GH、G2H、Gn-1H=n,故,容易验证,为可交换阵，故,由于eAiT可用I、A、A2、An-1线性表示，故,连续系统是能控的，矛盾,本定理也可叙述为：如果离散化后的系统是能控（能观测）的，则离散化前的连续系统一定是能控（能观测）的,定理二：设连续系统（A、B、C）能控（能观测），则离散化后的系统也能控（能观测）的必要条件是,不是A的特征值。其中k为非零整数,证明,设A的特征值为1、2、n则,的特征值为：,如果i=0，则,如果i0，则,可见当,（k为非零整数）为A的特征值时,的特征值
8、中出现0,不可逆,由于,定理三：设系统（A、B、C）能控，采样周期T满足如下条件：对A的任意两个特征值1、2，不存在非零整数k，使,成立，则以T为采样周期的离散化系统也是能控的。本定理为充分条件，对于单输入单输出系统，本定理是充分必要的。,3-5 对偶原理,若系统S1描述为,系统S2描述为,则称S1（S2）为S2（S1）的对偶系统。显然，原系统S1（S2）的能控性（能观测性）矩阵等于对偶系统S2（S1）的能观测性（能控性）矩阵转置，或者说，原系统的能控性（能观测性）等价与其对偶系统的能观测性（能控性）,对偶系统有两个基本特征:1)传递函数阵互为转置2)系统特征值相同,3-6 能控标准形和能观测
9、标准形,一：能控标准形,一个单输入系统，如果其A、b阵具有如下形式：,则系统一定能控。这种形式的A、b阵称为能控标准形,定理：若n维单输入线性定常系统能控，则一定能找到一个线性变换，将其变换成能控标准形,具体做法是：设A的特征多项式为,引入非奇异线性变换,则,为能控标准形,例,已知能控的线性定常系统动态方程,试将其变换成能控标准形,解,系统是能控的,解,系统是能控的,二：能观测标准形,一个单输出系统，如果其A、c阵具有如下形式,则系统一定能观测，此时的A、c阵称为能观测标准形,定理：若n维单输出线性定常系统能观测，则一定能找到一个线性变换，将其变换成能观测标准形,具体做法是：设A的特征多项式为
10、,引入非奇异线性变换,则,为能观测标准形,可利用对偶原理来证明,3-7能控性、能观测性与传递函数的关系,定理一：如果A的特征值互不相同，则系统（A、B、C）为能控且能观测的充分必要条件是：传递矩阵G（s）的分母|sI-A|与分子之间不发生因子相消。,定理二：单输入、单输出系统（A、b、c）是能控且能观测的充分必要条件是：传递函数G（s）的分母|sI-A|与分子之间不发生因子相消,定理三：单输入、单输出系统（A、b、c），如果A的特征值互不相同，若传递函数存在零、极点对消，则系统或是状态不能控或是状态不能观测的；若传递函数不存在零、极点对消，则系统是状态完全能控且完全能观测的。,证明,单输入、单
11、输出系统动态方程为,如果A的特征值互不相同，则可利用非奇异线性变换，使A成为对角阵。即,此式即为传递函数的部分分式,若传递函数存在零、极点对消，传递函数的部分分式中应缺少相应项。如传递函数中相消的零、极点为s-k，则说明fkk=0，k=0，fk 0系统是不能控的；fk=0，k0，系统是不能观测的；k=0，fk=0，系统是既不能控也不能观测的。若传递函数不存在零、极点对消，传递函数的部分分式中，应有fkk0（k=1、2、n）系统是既能控又能观测的,例,设单输入、单输出系统的传递函数,由于存在零、极点对消，系统不可能是既能控又能观测的,例,已知系统的动态方程如下，试求传递函数，判断其能控性、能观测
12、性,三个系统的传递函数均为,系统（1）是能控不能观测的；系统（2）是能观测不能控的；系统（3）是既不能控又不能观测的,定理二、定理三只适用于单输入、单输出系统，对于有相重特征值的多输入、多输出系统，即使有零、极点对消，系统仍可能是既能控又能观测的,定理四：如果多输入、多输出系统的状态向量与输入向量之间的传递矩阵,的各行在复数域上线性无关，则系统是能控的。（充分必要条件）,定理五：如果多输入、多输出系统的输出向量与初始状态向量X（0）之间的传递矩阵,的各列在复数域上线性无关，则系统是能观测的。（充分必要条件）,例,试用传递矩阵判断下列系统的能控性、能观测性,解：（1）,令,说明,的三个行向量线性
13、无关，系统是能控的。,说明,的三个列向量线性无关，系统是能观测的,例,试用传递矩阵判断下列系统的能控性、能观测性,解：（1）,令,（2）,由于,的三个行向量线性相关，系统不能控,令,存在非零解,系统是不能观测的。,3-8 控制系统的结构分解,一：系统按能控性分解,设不能控系统的动态方程为,其能控性矩阵的秩为rn，即 rankQc=r,令,则,其中,选出其中r个线性无关列，再加任意n-r个列，构成非奇异矩阵T,令T-1,经非奇异变换后，系统的动态方程写为,于是可得能控子系统动态方程为,不能控子系统动态方程为,系统传递函数矩阵为,例,已知,试按能控性进行规范分解,解,系统不完全能控，取,则,能控子
14、系统动态方程为,不能控子系统动态方程为,二：系统按能观测性分解,设不能观测系统的动态方程为,其能观测性矩阵的秩为rn，选出其中r个线性无关行，再加任意n-r个行，构成非奇异变换Po,令,则,经非奇异变换后,动态方程写为,可得能观测子系统动态方程为,不能观测子系统动态方程为,系统传递函数矩阵为,例,已知,试按能观测性进行规范分解,解,系统不完全能观测，取,能观测子系统动态方程为,不能观测子系统动态方程为,三：系统按能控性和能观测性的标准分解,设系统（A、B、C）不能控、不能观测，可先对系统按能控性分解，即令,再分别对能控子系统、不能控子系统按能观测性分解，即,最后得到,经变换后，系统的动态方程为
15、,经变换后，系统的动态方程为,能控、能观测子系统动态方程为,能控、不能观测子系统动态方程为,不能控、能观测子系统动态方程为,不能控、不能观测子系统动态方程为,3-9线性定常系统的实现,由系统的传递函数矩阵G(s)，建立与输入输出等价的系统方程,称为实现问题.,真分式传递函数：分子的次数等于或小于分母的次数，称传递函数是正则的。严格真分式传递函数：分子次数小于分母的次数，称传递函数是严格正则的。当传递函数分子多项式和分母多项式无公因式时，该传递函数称为不可约的。,若可以求出系统的动态方程（A、B、C、D），使,则称系统是可实现的,所有可能的实现，不仅实现形式不同,且实现的阶数也不同,其中阶数最小
16、的实现称为最小实现，又称不可约实现.对于不可约传递函数,其所有实现的阶数不会小于传递函数的次数，而最小实现的阶数等于传递函数的次数,此时系统必是能控能观测的。,1：单输入、单输出系统的实现,如果A、b、c、d为G（s）的一个实现，则,取：d=d，应有：,故只需要考虑严格有理真分式的实现问题。即讨论如何用（A、b、c）来实现下式：,能控标准形实现,取,取,写成矩阵形式,写成矩阵形式,能观测标准形实现,根据上式，画出系统的信号流图,上式即为能观测标准形实现，能观测标准形实现要求A、c具有上式标准形式。显然,能观测性实现中,状态变量选择如下,例：,设,试确定能控性、能观测性动态方程，并确定状态变量与
17、输入、输出量的关系,解,1:能控标准形,解得,2:能观测标准形,解得,并联形实现(约当形实现),先熟悉一个基本关系式,设,写成矩阵形式,也可以画出结构图为,例,设,试写出其约当形实现的动态方程,解,1:,2:,串联形实现,设,画出结构图,动态方程为,2：向量真分式有理传递函数的实现,SIMO系统,它的一个实现为,MISO系统,它的一个实现为,第四章 控制系统的稳定性,4-1 引言,一：范数,设,定义x的范数为,mn矩阵A的范数定义为,二：标量函数的正定性、负定性,1：正定性 设有标量函数V（x），对域S中的所有非零状态x，总有V（x）0，且当x=0时，有V（x）=0，则称标量函数V（x）在域S
18、内是正定的,2：负定性 设有标量函数V（x），对域S中的所有非零状态x，总有V（x）0，且当x=0时，有V（x）=0，则称标量函数V（x）在域S内是负定的。此时-V（x）是正定的,3：正半定性和负半定性 设有标量函数V（x），对域S中的某些非零状态x及x=0，有 V（x）=0，而对于S中的其余状态有V（x）0，则称标量函数V（x）在域S内是正半定的。如果-V（x）是正半定的，则V（x）是负半定的,例,设,则,三：二次型函数的正定性,设标量函数V（x）为二次型函数，即V（x）=xTQx，并设Q为对称阵：,3：正半定性和负半定性 设有标量函数V（x），对域S中的某些非零状态x及x=0，有 V（x）
19、=0，而对于S中的其余状态有V（x）0，则称标量函数V（x）在域S内是正半定的。如果-V（x）是正半定的，则V（x）是负半定的,赛尔维斯特准则：对于二次型函数V（x）=xTQx，若Q的所有主子式大于零，则Q是正定的，V（x）也是正定的；或者Q的特征值均为正值，则Q是正定的，V（x）也是正定的。,4-2李雅普诺夫意义下的稳定性概念,赛尔维斯特准则：对于二次型函数V（x）=xTQx，若Q的所有主子式大于零，则Q是正定的，V（x）也是正定的；或者Q的特征值均为正值，则Q是正定的，V（x）也是正定的。,1：系统 设所研究的系统为,式中x为n维状态向量，在给定的初始条件下，,方程有唯一解,2：平衡状态
20、满足,的状态即,对于线性定常系统,当A可逆时，有唯一平衡状态,3：稳定性,以S（k）表示平衡状态周围半径为k的球域,设对应于每一个球域S（），都存在球域S（），使得当t t0时，从初始条件S（）出发的轨迹都超出不了S（），则称这一系统的平衡状态在李雅普诺夫意义下是稳定的。如果与t0无关，则称平衡状态为一致稳定的平衡状态,线性定常系统，如果是稳定的，则必是一致稳定的,4：渐近稳定性 如果平衡状态在李雅普诺夫意义下是稳定的，且从球域S（）出发的任意一个解，当t时，收敛于平衡状态，则称此类平衡状态为渐近稳定的，如果与t0无关，则平衡状态为一致渐近稳定的,线性定常系统，如果是渐近稳定的，则必是一致渐近
21、稳定的,5：大范围稳定性 不管初始偏差有都大，系统总是稳定的，则称系统是大范围稳定的。不管初始偏差有都大，系统总是渐近稳定的，则称系统是大范围渐近稳定的。大范围渐近稳定的系统只能有一个平衡状态。为了满足稳定条件，初始偏差有一定限制，则称系统是小范围稳定的。对于线性系统，若在小范围稳定，则必大范围稳定；若在小范围渐近稳定，则必大范围渐近稳定,6：不稳定性 如果对于某个实数0和任一实数0，不管它们有多小，在球域S（）中，总存在一个初始状态x0，使得从这一初始状态出发的轨迹最终会超出球域S（），这时的平衡状态是不稳定的,4-3李雅普诺夫直接法（第二法）,主要理论,1：对于一个系统，若能构造出一个正定
22、的标量函数V（x），并且它对时间的一阶导数是负定的，则系统在状态空间的原点处是渐近稳定的,2：对于一个系统，若V（x）在原点附近的邻域内是正定的，并且它对时间的一阶导数也是正定的，那么系统在原点处是不稳定的,李雅普诺夫第一法-间接法,李雅普诺夫第二法-直接法,例,在讨论稳定性时,设,系统稳定,定理一：设系统的动态方程为,原点为一个平衡状态，即：,如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V（x），满足如下条件,（1）是正定的,（2）是负定的,则系统在原点处的平衡状态是一致渐近稳定的,如果当,时,则系统是一致大范围渐近稳定的。,如果除原点外，在系统的轨迹上再没有任何一点，其,恒为零，则,条件（2）
23、可改为,是负半定的,定理二：设系统的动态方程为：,原点为一个平衡状态，即：,如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V（x），满足如下条件,（1）是正定的,（2）是负半定的,则系统在原点处的平衡状态是一致稳定的,如果当,时,则系统是一致大范围稳定的。,例,设系统状态方程为,坐标原点是系统的一个平衡状态，试确定该系统的稳定性,解：取,为一正定的标量函数,为一负定的标量函数，且,系统是一致大范围渐近稳定的。,例,系统动态方程为,坐标原点是系统的一个平衡状态，试确定该系统的稳定性,解：取,为一正定的标量函数,为负半定的，系统是稳定的,定理三：设系统的动态方程为,原点为一个平衡状态，即：,如果在平衡状
24、态的某个邻域内，存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V（x），满足如下条件：,（1）是正定的,（2）是正定的,则系统在原点处的平衡状态是不稳定的,类似地，若,除原点外，不恒为零，条件（2）可改为正半定。,例,设有如下系统,试判断系统的稳定性,解：x=0为系统的平衡状态，取,为一正定的标量函数,为正半定的，但除了坐标原点外，在状态轨迹上 不恒为零，系统是不稳定的,4-4 线性连续系统的稳定性分析,一：线性定常系统李雅普诺夫函数的求法,设线性定常系统,若A为n阶非奇异矩阵，则系统有唯一的平衡状态x=0,取一个可能的李氏函数,P为正定实对称矩阵,令,若Q是正定对称矩阵，则系统是渐近稳定的,定理：线性
25、定常系统渐近稳定的充要条件是：给定一个正定实对称矩阵Q，存在正定实对称矩阵P，使ATP+PA=-Q成立。,例,试确定系统平衡状态的稳定性,解：x=0为系统的平衡状态，取Q=I，由：ATP+PA=-Q,设,P为正定矩阵,系统是一致大范围渐近稳定的,推论：如果,沿任意一条轨迹不恒为零，上述定理中的Q可取为正半定矩阵,例,设系统状态方程为：,求系统稳定时K的取值范围,解,令u=0，detA0，故原点是系统的平衡状态。取,由于只有在原点处才有,故Q可取为正半定矩阵。由ATP+PA=-Q，得,二：线性时变系统李雅普诺夫函数的求法,设线性时变系统,系统的平衡状态x=0,取一个可能的李氏函数,P（t）为正定
26、实对称矩阵，,令,若Q（t）是正定对称矩阵，则系统是渐近稳定的,定理：线性时变系统渐近稳定的充要条件是：给定一个正定实对称矩阵Q（t），存在正定实对称矩阵P（t），使黎卡提矩阵微分方程,成立,三：线性系统稳定性的几个结论,设线性系统,系统的平衡状态x=0,状态方程的解为,四：线性定常系统稳定性的特征值判据,定理：线性定常系统,渐近稳定的充分必要条件是状态矩阵A的所有特征值都位于左半复数平面。即,Rei0（i=1、2、n）i为A的特征值,4-5线性定常离散系统的稳定性,取Vx(k)=xT(k)Px(k)，P为正定实对称矩阵。,令,定理：线性定常离散系统渐近稳定的充分必要条件是：给定一个正定实对称
27、矩阵Q，存在一个正定实对称矩阵P使GTPG-P=-Q成立，此时V（X）=xTPx。若V（x）=-xTQx沿任一解序列不恒为零，那么Q可取为正半定矩阵。,设 x(k+1)=G x(k)，x=0为平衡状态。,例,设,试确定系统在平衡点处大范围渐近稳定的条件,解：取Q=I，由GTPG-P=-Q得,根据P为正定实对称矩阵的要求，得,4-6 外部稳定性和内部稳定性,定义：称一个系统外部稳定（BIBO）是指对任何一个有界输入u(t),即：u(t)K1,的任意输入u(t)，对应的输出y(t)均为有界，即,定理：对零初始条件的连续时间线性时变系统，tt0,+）则t0时刻系统BIBO稳定的充分必要条件为，存在一
28、个有限正常数K3，使对一切tt0,+)脉冲响应矩阵H(t,)所有元均满足关系式,证明,考虑SISO情形,充分性,1.有界输入、有界输出稳定(BIBO)外部稳定,必要性 采用反证法，,即系统BIBO稳定，却存在某个t1使,可以取,有,矛盾,推论：对零初始条件r维输入和m维输出连续时间线性时不变系统，令t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：存在一个有限正常数K3，使脉冲响应矩阵H(t)所有元均满足关系式,定理：对零初始条件的连续时间线性时不变系统，系统BIBO稳定的充分必要条件为：真或严真传递函数矩阵G(s)的所有极点均具有负实部。,例,线性定常系统,分析系统是否BIBO稳定,解,传递函数
29、,脉冲响应,系统BIBO稳定的充要条件是,等价于传递函数的极点位于左半复平面,定义：称连续时间线性时不变系统在t0为内部稳定，是指由时刻t0任意非零初始状态引起的零输入响应Xou(t)对tt0,+)有界，并满足渐近属性，即：,定理：对n维连续时间线性时不变自治系统,内部稳定的充分必要条件为,或矩阵A所有特征值均具有负实部，即：Rei(A)0。,2.外部稳定与内部稳定性之间的关系,定理：对连续时间线性时不变系统，内部稳定BIBO稳定，反之不成立。若系统能控且能观测，则内部稳定BIBO稳定。,例,系统方程为,分析系统的内部稳定性与外部稳定性,解,系统位于原点的平衡状态不是渐近稳定的,传递函数,系统是BIBO稳定的,容易判断,系统是能观测、不能控的,
