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1、现代数字信号处理,齐齐哈尔大学通信学院何鹏,第 二 章 Z变换 2.1 定义,第 二 章 Z变换 2.1 定义 例子,第 二 章 Z变换 2.1 收敛,第 二 章 Z变换 2.1 定义 收敛,第 二 章 Z变换 2.2 定理与性质 线性,第 二 章 Z变换 2.2 定理与性质 移序,第 二 章 Z变换 2.2 定理与性质 移序(单边）,第 二 章 Z变换 2.2 定理与性质 卷级和,第 二 章 Z变换 2.2 定理与性质 卷级和,第 二 章 Z变换 2.2 定理与性质 卷级和,第 二 章 Z变换 2.2 定理与性质,第 二 章 Z变换 2.2 定理与性质,第 二 章 Z变换 2.2 定理与性质
2、,第 二 章 Z变换 2.2 定理与性质,第 二 章 Z变换 2.3 典型序列的Z变换,2.3 典型序列的Z变换,第 二 章 Z变换 2.4 逆Z变换,2.4 逆Z变换,Z变换定义：,，,第 二 章 Z变换 2.4 逆Z变换,2.4.1 求逆Z变换的常用方法,一.留数定理解法：,2.4 逆Z变换,Z变换定义：,逆Z变换：,第 二 章 Z变换 2.4 逆Z变换留数定理,留数,S=1,第 二 章 Z变换 2.5 系统函数,2.5 系统函数,x(n),y(n),h(n),H(z),H(ejw),Y(ejw),X(ejw),X(z),Y(z),第 二 章 Z变换 2.5 系统函数,系统函数差分方程,第
3、 二 章 Z变换 2.5 系统函数 系统特性分析,系统特性分析,稳定性收敛域,收敛,第 二 章 Z变换 2.5 系统函数 零极点,零极点分析,极点,零点,第 二 章 Z变换 2.5 系统函数 零极点,M=N 频率响应,第 二 章 Z变换 2.5 系统函数 零极点,第 二 章 Z变换 2.5 系统函数 零极点,M,N 频率响应,第 二 章 Z变换 2.5 系统函数 零极点,最小相位系统：,最大相位系统：,全通系统：,H(ej)表示系统对特征序列ejn的响应特性,这也是H(ej)的物理意义所在，下面具体阐述。若系统输入信号X(n)=ejn,则系统输出信号为即,上式说明，单频复指数信号ejn通过频率
4、响应函数为H(ej)的系统后，输出仍为单频复指数序列，其幅度放大|H(ej)|倍，相移为()。为了加深读者对H(ej)物理意义的理解，下面以大家熟悉的正弦信号为例进行讨论。当系统输入信号x(n)=cos(n)时，求系统的输出信号y(n):因为,由此可见，线性时不变系统对单频正弦信号cos(n)的响应为同频正弦信号，其幅度放大|H(ej）|倍，相移增加()，这就是其名称“频率响应函数”、“幅频响应”和“相频响应”的物理含义。如果系统输入为一般的序列x(n)，则H(ej)对x(n)的不同的频率成分进行加权处理。对感兴趣的频段，取|H（ej)|=1，其他频段|H(ej)|=0,则Y(ej)=X(ej
5、)H（ej),就实现了对输入信号的滤波处理。,因果（可实现）系统其单位脉冲响应h(n)一定是因果序列，那么其系统函数H(z)的收敛域一定包含点，即点不是极点，极点分布在某个圆内，收敛域在某个圆外。系统稳定要求,这里是 存在的条件,对照Z变换与傅里叶变换的关系可知，系统稳定的条件是H(z)的收敛域包含单位圆。如果系统因果且稳定，收敛域包含点和单位圆，那么收敛域可表示为r|z|0r1,用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性,这样H(z)的极点集中在单位圆的内部。具体系统的因果性和稳定性可由系统函数H(z)的极点分布和收敛域确定。下面通过例题说明。如果系统函数分母多项式阶数较高（如3阶以上），
6、用手工计算极点分布并判定系统是否稳定，不是一件简单的事情。用MATLAB函数判定则很简单，判定函数程序如下:,function stab(A)%stab:系统稳定性判定函数，A是 H(z)的分母多项式系数向量disp(系统极点为：)P=roots(A)%求H(z)的极点，并显示disp(系统极点模的最大值为：)M=max(abs(P)%求所有极点模的最大值，并显示if M1 disp(系统稳定),else,disp(系统不稳定),end,请注意，这里要求H(z)是正幂有理分式。给H(z)的分母多项式系数向量A赋值，调用该函数，求出并显示系统极点，极点模的最大值M，判断M值，如果M1,则显示“系
7、统稳定”，否则显示“系统不稳定”。如果H(z)的分母多项式系数A=22.980.172.3418 1.5147，则调用该函数输出如下:P=0.90000.7000+0.6000i0.70000.6000i0.9900系统极点模的最大值为：M=0.9900系统稳定。,【例2.6.1】已知，分析其因果性和稳定性。解H(z)的极点为z=a,z=a1，如图2.5.5所示。（1）收敛域为a1|z|:对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应h(n)=(anan)u(n)（参考例2.5.7），这是一个因果序列，但不收敛。（2）收敛域为0|z|a:对应的系统是非因果且不稳
8、定系统。其单位脉冲响应h(n)=(anan)u(n1)（参考例2.5.7），这是一个非因果且不收敛的序列。,图2.6.1例2.6.1图示,（3）收敛域为a|z|a1:对应一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=a|n|，这是一个收敛的双边序列，如图2.6.1(a)所示。下面分析如同例这样的系统的可实现性。H(z)的三种收敛域中，前两种系统不稳定，不能选用；最后一种收敛域，系统稳定但非因果，还是不能具体实现。因此严格地讲，这样的系统是无法具体实现的。,但是我们利用数字系统或者说计算机的存储性质，可以近似实现第三种情况。方法是将图2.6.1(a)从N到N截取
9、一段，再向右移，形成如图2.6.1(b)所示的h(n)序列，将h(n)作为具体实现的系统单位脉冲响应。N愈大，h(n)表示的系统愈接近h(n)系统。具体实现时，预先将h(n)存储起来，备运算时应用。这种非因果但稳定的系统的近似实现性，是数字信号处理技术比模拟信息处理技术优越的地方。说明：对一个实际的物理实现系统，其H(z)的收敛域是唯一的。,2.6.3利用系统的极零点分布分析系统的频率响应特性将(2.6.2)式因式分解，得到：式中，A=b0/a0,cr是H(z)的零点，dr是其极点。A参数影响频率响应函数的幅度大小，影响系统特性的是零点cr和极点dr的分布。下面我们采用几何方法研究系统零极点分
10、布对系统频率特性的影响。,（）,在z平面上，ejcr用一根由零点cr指向单位圆上ej点B的向量表示，同样，ejdr用由极点指向ej点B的向量表示，如图2.6.2所示，即和分别称为零点向量和极点向量，将它们用极坐标表示：将和表示式代入(2.6.7)式，得到：,系统的频响特性由(2.6.8)式和(2.6.9)式确定。当频率从0变化到2时，这些向量的终点B沿单位圆逆时针旋转一周，按照(2.6.8)式和(2.6.9)式，分别估算出系统的幅频特性和相频特性。例如图表示了具有一个零点和两个极点的频率特性。,图2.6.2频响的几何表示法,按照(2.6.8)式，知道零极点的分布后，可以很容易地确定零极点位置对
11、系统特性的影响。当B点转到极点附近时，极点相量长度最短，因而幅度特性可能出现峰值，且极点愈靠近单位圆，极点相量长度愈短，峰值愈高愈尖锐。如果极点在单位圆上，则幅度特性为，系统不稳定。对于零点，情况相反，当B点转到零点附近时，零点相量长度变短，幅度特性将出现谷值，零点愈靠近单位圆，谷值愈接近零。当零点处在单位圆上时，谷值为零。总结以上结论：极点位置主要影响频响的峰值位置及尖锐程度，零点位置主要影响频响的谷点位置及形状。,这种通过零极点位置分布分析系统频响的几何方法为我们提供了一个直观的概念，对于分析和设计系统是十分有用的。基于这种概念，可以用零极点累试法设计简单滤波器。下面介绍用MATLAB计算
12、零、极点及频率响应曲线。首先介绍MATLAB工具箱中两个函数zplane和freqz的功能和调用格式。zplane绘制H(z)的零、极点图。,zplane(z,p)绘制出列向量z中的零点（以符号“”表示）和列向量p中的极点（以符号“”表示），同时画出参考单位圆，并在多阶零点和极点的右上角标出其阶数。如果z和p为矩阵，则zplane以不同的颜色分别绘出z和p各列中的零点和极点。zplane(B,A)绘制出系统函数H(z)的零极点图。其中B和A为系统函数H(z)=B(z)/A(z)的分子和分母多项式系数向量。假设系统函数H(z)用下式表示:,则B=B(1)B(2)B(3)B(M+1)，A=A(1)
13、A(2)A(3)A(N+1)freqz计算数字滤波器H(z)的频率响应。H=freqz(B,A,w)计算由向量w指定的数字频率点上数字滤波器H(z)的频率响应H(ejw)，结果存于H向量中。B和A仍为H(z)的分子和分母多项式系数向量（同上）。H,w=freqz(B,A,M)计算出M个频率点上的频率响应，存放在H向量中，M个频率存放在向量w中。freqz函数自动将这M个频率点均匀设置在频率范围0,上。,H,w=freqz(B,A,M,whole)自动将M个频率点均匀设置在频率范围0,2上。当然，还可以由频率响应向量H得到各采样频点上的幅频响应函数和相频响应函数；再调用plot绘制其曲线图。|H
14、(ej)|=abs(H)()=angle(H)式中，abs函数的功能是对复数求模，对实数求绝对值；angle函数的功能是求复数的相角。,freqz(B,A)自动选取512个频率点计算。不带输出向量的freqz函数将自动绘出固定格式的幅频响应和相频响应曲线。所谓固定格式,是指频率范围为0,，频率和相位是线性坐标，幅频响应为对数坐标。其他几种调用格式可用命令help查阅。,【例】已知H(z)=z1，分析其频率特性。解由H(z)=z1，可知极点为z=0，幅频特性|H(ej)|=1,相频特性()=，频响特性如图 2.6.3所示。用几何方法也容易确定，当=0转到=2时，极点向量的长度始终为1。由该例可以
15、得到结论：处于原点处的零点或极点，由于零点向量长度或者极点向量长度始终为1，因此原点处的零极点不影响系统的幅频响应特性,但对相频特性有贡献。,图2.6.3H(z)=z1的频响特性,【例】设一阶系统的差分方程为y(n)=by(n1)+x(n)用几何法分析其幅度特性。解由系统差分方程得到系统函数为式中，0b1。系统极点z=b，零点z=0，当B点从=0逆时针旋转时，在=0点，由于极点向量长度最短，形成波峰；在=点形成波谷；z=0处零点不影响幅频响应。极零点分布及幅度特性如图所示。,图2.6.4例2.6.3插图,N个零点等间隔分布在单位圆上，设N=8，极零点分布如图所示。当从0变化到2时，每遇到一个零
16、点，幅度为零，在两个零点的中间幅度最大，形成峰值。幅度谷值点频率为：k=(2/N)k,k=0,1,2,N1。一般将具有如图所示的幅调用zplane和freqz求解本例的程序ep264.m如下:,ep264.m:例求解程序 B=1 0 0 0 0 0 0 0 1;A=1;设置系统函数系数向量B和A subplot(2,2,1);zplane(B,A);绘制零极点图 H,w=freqz(B,A);计算频率响应 subplot(2,2,2);plot(w/pi,abs(H):绘制幅频响应曲线 xlabel(omegapi);ylabel(|H(ejomega)|);axis(0,1,0,2.5)su
17、bplot(2,2,4);plot(w/pi,angle(H);绘制相频响应曲线 xlabel(omegapi);ylabel(phi(omega);,运行上面的程序，绘制出8阶梳状滤波器的零极点图和幅频特性、相频特性如图2.6.5所示。,图2.6.5梳状滤波器的极零点分布及幅频、相频特性,2.7 数字滤波器,在许多信息处理过程中，如对信号的过滤、检测、预测等，都要广泛地用到滤波器 数字滤波器是数字信号处理中使用的最广泛的一种线性系统环节，它是数字信号处理的重要基础,数字滤波器的实现,数字滤波器的功能本质上说是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列，因此它本身就是一台完
18、成给定运算的数字计算机。数字滤波器一般可以用两种方法来实现：1、用数字硬件装配成一台专门的设备，成为数字信号处理机。2、直接利用通用计算机的软件来实现。数字滤波网络：数字滤波器的实现结构,5-0 引言,滤波就是对输入序列 进行一定的运算操作。从而得到输出序列 实现滤波从运算上看,只需三种运算：加法、单位延迟、乘常数。因此实现的方法有两种：（1）利用通用计算机或DSP编程，即软件实现;（2）ASIC或FPGA实现，即专用硬件实现。,数字信号处理中有三种基本算法：乘法、加法和单位延迟,网络结构分成两大类,有限长单位脉冲响应网络，简称FIR（Finite Impulse Response）无限长单位
19、脉冲响应网络，简称IIR（Infinite Impulse Response）,无限长单位脉冲响应基本网络结构,无限长单位脉冲响应有以下几个特点（1）系统的单位脉冲响应是无限长（2）系统函数在有限z平面上有极点存在（3）结构上存在着输出到输入的反馈 根据同一系统函数的不同表示方法，IIR基本网络结构有三种：直接型、级联型和并联型。,无限长单位冲激响（IIR）滤波器的 一、IIR滤波器的特点 1、单位冲激响应hn是无限长的。2、系统函数H(z)在有限Z平面（）上有极点存在。3、结构上是递归型的，即存在着输出到输入的反馈。,二、基本结构 1、直接I型（1）差分方程（N阶）,（2）系统函数,(3)结
20、构流图按差分方程可以写出。,直接I型结构,2直接II型（标准型）,h n为一个N点序列，在Z=0处为（N-1）阶极点，,FIR滤波器的基本结构一、特点：1、系统的单位脉冲响应h n 在有限个n值处不为零。2、H(z)在,处收敛，全部极点全部在Z=0处。,3、结构上主要是非递归结构。,有（N-1）阶零点在有限Z平面的任何位置。,设FIR滤波器的单位脉冲响应为:,二、基本结构 横截型（直接型）,它就是线性移不变系统的卷积和公式,直接型/卷积型,转置型,Tapped-delay line（N-1）delays N multipliers 1 adder（N inputs）,较多 zk便于调节,3.线
21、性相位型,(5-12),(1)N为偶数,2.级联型,偶对称：,或奇对称：,对称中心在(N-1)/2 处,(5-13),(2)N为奇数,注：,h(n)奇对称，取“-”，且,h(n)偶对称，取“+”,Tapped-delay line(N-1)delays(N+1)/2 multipliers(N-1)/2 adders(2 inputs)1 adder(N+1)/2 inputs,symmetric FIR,4.频率取样型,(5-15),式中：,调整H(k)就可以有效地调整频响特性（在 频率 k=2k/N 处 的响应即为H(k)若h(n)长度相同，则除了各支路增益H(k)外网络结构完全相同，便于标准化、模块化有限字长效应可能导致零极点不能完全对消(梳状滤波器的零点由延时器形成，并不受量化误差影响)，导致系统不稳定系数多为复数，增加了复数乘法和存储量,
