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1、第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波,2.1 引言 2.2 离散维纳滤波器的时域解 2.3 离散维纳滤波器的z域解 2.4 维纳预测 2.5 卡尔曼(Kalman)滤波,2.1 引 言,最优滤波维纳滤波和卡尔曼滤波简介本章讨论的主要内容,1、最优滤波,信号处理的目的是从噪声中提取信号，得到不受干扰影响的真正信号。采用的处理系统称为滤波器。滤波器的分类：线性滤波器、非线性滤波器；FIR滤波器、IIR滤波器；时域滤波器、频域滤波器；,图 2.1.1 信号处理的一般模型,x(n)=s(n)+v(n),最优准则：最大输出信噪比准则匹配滤波器最小均方误差准则误差绝对值的期望值最小 误差绝对值的三次或高次幂的期望
2、值最小,x(n)=s(n)+v(n),Wiener滤波器的一般结构,2、维纳滤波和卡尔曼滤波简介,维纳(Wiener)滤波与卡尔曼(Kalman)滤波以估计的结果与信号真值之间的误差的均方值最小作为最优准则。,假设信号的真值与估计值间的误差为：,均方误差最小即误差的平方的统计平均值最小：,最小,3、本章讨论的主要内容,主要内容：维纳滤波器（FIR维纳滤波器和IIR维纳滤波器）、维纳预测器、卡尔曼滤波。分析思路：在均方误差最小的前提下，求得系统的单位脉冲响应h(n)或传递函数H(z)，进而计算滤波器的最小均方误差,2.2 离散维纳滤波器的时域解,本节要解决的主要问题及方法正交性原理维纳霍夫方程F
3、IR维纳滤波器的时域解,1、本节要解决的主要问题及方法,要解决的问题：寻求在均方误差最小情况下的单位脉冲响应h(n)或传递函数H(z)的表达式，这一过程称为设计维纳滤波器的过程。解决方法：实质是求解维纳霍夫(Wiener-Hopf)方程，即,本节讨论维纳滤波器的时域求解方法，即在时域求最小均方误差下的。,2、维纳滤波器时域求解的方法,因果维纳滤波器的输出y(n)：,n=0,1,2,设期望信号为d(n)，误差信号e(n)及其均方值E|e(n)|2分别为,e(n)=d(n)-y(n)=s(n)-y(n),k=0,1,2,记梯度算子为,k=0,1,2,要使均方误差为最小，须满足,上式展开为,又,将上
4、述4式代入得,分析：上式说明，若使滤波器的均方误差达到最小，则误差信号与输入信号正交，这就是通常所说的正交性原理。,正交性原理：,正交性原理的重要意义：提供了一个数学方法，用以判断线性滤波系统是否工作于最佳状态。,正交性原理的引理：最佳状态时，由滤波器输出定义的期望响应的估计yopt(n)与估计误差eopt(n)正交：,3、维纳霍夫方程,将输入信号分配进去，得到,k=0,1,2,维纳-霍夫（WienerHopf）方程：,k=0,1,2,4、FIR维纳滤波器的时域解,FIR维纳滤波器的维纳-霍夫方程 当h(n)是一个长度为M的因果序列时，FIR维纳滤波器的维纳-霍夫方程表述为,k=0,1,2,M
5、-1,(2.2.21),把k的取值代入(2.2.21)式，得到,(2.2.22),定义,（）式可以写成矩阵形式，即,对上式求逆，得到,这里涉及到计算相关矩阵和逆矩阵，计算量可能较大。,FIR维纳滤波器的估计误差的均方值 假定所研究的信号都是零均值的，滤波器为FIR型，长度等于M，,结论：在所有N阶FIR滤波器中，最优滤波器的均方误差值是最小的，从这个意义上说，它是最优的。其阶数越高，采用的已知信息就越多，它的最小均方误差就越小，但相应的计算量也越大。,例1 假设有一实的广义平稳随机信号s(n)的自相关函数（序列）为,且伴随有实的噪声w(n)，方差为，与s(n)无关。试设计一个M=2的FIR维纳
6、滤波器来估计s(n)，并计算最小均方误差。,解：已知,由此，M=2最佳FIR维纳滤波器如下：,或者，利用下式求解,k=0,1,当k=0时，2h0+0.6h11当k=1时，0.6h0+2 h10.6,估计该滤波器的输出误差的最小均方值：,经过此滤波器以前的均方误差为,2.3 离散维纳滤波器的z域解,本节要解决的主要问题及方法白化滤波器非因果IIR维纳滤波器的Z域解因果IIR维纳滤波器的Z域解,1、本节要解决的主要问题及方法,待解决的问题：当h(n)是物理可实现的因果序列时，所得到的Wiener-Hopf方程 将存在k0的约束，不能直接转到Z域求解。这使得在要求满足物理可实现条件下，求解维纳-霍夫
7、方程成为一个十分困难的问题。解决方法：采用将观测序列x(n)白化的方法，求解Wiener-Hopf方程的Z域解。,若不考虑滤波器的因果性，维纳霍夫方程可以改写为,设定d(n)=s(n)，对上式两边做Z变换，得到,Sxs(z)=Hopt(z)Sxx(z),x(n)=s(n)+v(n),假设信号和噪声不相关，即rsv(m)=0，则,Sxs(z)=Sss(z)Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z),对于因果IIR维纳滤波器，其维纳霍夫方程为,k=0,1,2,因为存在k0的约束，使得上式不能直接转到Z域求解。如有可能将其转化为非因果问题，则求解会大大简化。,则因果IIR维纳滤波器的维纳霍夫方程变为：
8、,由此可见，只要将输入信号转化为白噪声，就可以解得因果IIR维纳滤波器的单位脉冲响应。,2、白化滤波器,任何具有有理功率谱密度的随机信号都可以看成是由一白色噪声w(n)激励某个物理网络所形成。,x(n)的时间序列信号模型,一般把信号转化为白噪声的过程称为白化，对应的滤波器称为白化滤波器。,x(n)的白化滤波器,如果B(z)是一个最小相移网络函数，那么1/B(z)显然也是一个物理可实现的最小相移网络，因此可以利用上式白化x(n)。,利用白化x(n)的方法求解维纳-霍夫方程,利用白化x(n)的方法求解维纳-霍夫方程:,于是，在最小均方误差准则下，求最佳Hopt(z)的问题就归结为求最佳G(z)的问
9、题了。G(z)当然也需分因果性或非因果性的约束情况加以讨论。,如果已知信号的Pxx(z)，即可由下式求得B(z)。,计算Hopt(z)：,3、非因果IIR维纳滤波器的求解,(2.3.9),求满足最小均方误差条件下的g(k)：为求得相对于g(k)的最小均方误差值，令,-k,-k,Z变换后,非因果IIR维纳滤波器的最佳解：,s(n)=s(n)*(n)，x(n)=w(n)*b(n),rxs(m)=rws(m)*b(-m),Sxs(z)=Sws(z)B(z-1),非因果IIR维纳滤波器的复频域最佳解的一般表达式,假定信号与噪声不相关，即当Es(n)v(n)=0时可以得到：,Sxs(z)=Sss(z),
10、Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z),信号和噪声不相关时，非因果IIR维纳滤波器的复频域最佳解和频率响应分别为,由上式可知：当噪声为0时，Hopt=1，信号全部通过；当信号为0时，Hopt=0，噪声全部被抑制掉；当既有信号又有噪声时，Hopt1，大小随Pvv的增加而减小，从而达到降低噪声影响的目的。,图 2.3.6 非因果维纳滤波器的传输函数的幅频特性,计算最小均方误差E|e(n)|2min：,第一项根据围线积分法求逆Z变换的公式,rss(m)用下式表示:,得出,第二项由帕塞伐尔定理：,取y(n)=x(n),有,因此,得到,假定信号与噪声不相关，Es(n)v(n)=0，又因为实信号的自相关
11、函数是偶函数，即rss(m)=rss(-m)，则,Sxs(z)=Sss(z)，Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z)；Sss(z)=Sss(z-1),4、因果IIR维纳滤波器的求解 若维纳滤波器是一个因果滤波器，要求,g(n)=0 n0,则滤波器的输出信号,估计误差的均方值,E|e(n)|2=E|s(n)-y(n)|2,类似于（）式的推导，得到,要使均方误差取得最小值，当且仅当,令,因果维纳滤波器的复频域最佳解为,维纳滤波的最小均方误差为,非因果情况时，滤波器的最小均方误差为,对于因果情况，,比较两式，可以看出非因果情况的E|e(n)|2min一定小于等于因果情况E|e(n)|2min。,因
12、果维纳滤波器设计的一般方法：(1)根据观测信号x(n)的功率谱求出它所对应信号模型的传输函数，即采用谱分解的方法得到B(z)，Sxx(z)=2wB(z)B(z-1)。(2)求的Z反变换，取其因果部分再做Z变换，即舍掉单位圆外的极点，得(3)积分曲线取单位圆，计算Hopt(z),E|e(n)|2min。,例 已知,信号和噪声不相关，即rsv(m)=0，噪声v(n)是零均值、单位功率的白噪声（2v=1,mv=0)，求Hopt(z)和E|e(n)|2min。解 根据白噪声的特点得出Svv(z)=1,由噪声和信号不相关，得到rxx(m)=rss(m)+rvv(m)。,考虑到B(z)必须是因果稳定的系统
13、，得到,(1)、首先分析物理可实现情况:,因为,取其因果部分,取单位圆为积分围线，上式等于单位圆内的极点,的留数之和，即,未经滤波器的均方误差,所以通过因果维纳滤波器后均方误差下降8/3(2.7)倍。,(2)、对于非物理可实现情况有,令,单位圆内有两个极点0.8和0.5,应用留数定理，有,结论：比较两种情况下的最小均方误差,可以看出非物理可实现情况的最小均方误差小于物理可实现情况的均方误差。,维纳滤波部分的总结：,主要内容：FIR维纳滤波求解、非因果IIR维纳滤波求解、因果IIR维纳滤波求解；知识点：最小均方误差准则、正交性原理、维纳霍夫方程、白化滤波器；结论：在所有N阶FIR滤波器中，最优滤
14、波器的均方误差值是最小的，从这个意义上说它是最优的；与非最优滤波相比，最优滤波的优势在于能对滤波的质量（逼近的好坏）做出评价；E|e(n)|2min与Sss(z)和Svv(z)重叠部分大小有关；最小均方误差比较：非因果IIR因果IIRFIR维纳滤波的最小均方误差,2.4 维 纳 预 测,本节讨论的主要问题及方法预测的可能性维纳预测的计算纯预测一步线性预测的时域解,1、本节讨论的主要问题及方法,讨论的主要问题：本节将讨论维纳预测器，以观测到的全部过去数据来估计当前或将来的值解决方法：以均方误差最小为估计原则,图2.4.1(b)维纳预测器,图2.4.1(a)维纳滤波器,2、预测的可能性,信号可以预
15、测是由于信号内部存在关联性。数据间关联越密切，预测越准确；完全不关联，则无法预测。,输入：,输出：,x(n)在各不同时间点上的值的相关性是起因于B(z)的惯性。由观测到的x(n)的所有过去值和当前值来估计将来值 时：如果，则 仅由B(z)的惯性决定，如果，则 将由B(z)的惯性和 共同决定；,随机信号预测的特点：以信号的统计特性作为预测的主要依据；不可能作预测误差为零的绝对精确的预测；实际信号通常带有噪声干扰，使得预测和滤波联系在一起，成为带滤波的预测。,3、维纳预测的计算,同理，要使预测误差的均方值为最小，须满足,其中，hk表示h(k)。,即,非因果维纳预测器的最佳解为,因果维纳预测器的最佳解为,维纳预测的最小均方误差为,维纳预测的求解和维纳滤波器的求解方法是一致的。,
