现代测试理论波形与频谱分析第一章.ppt

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1、12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,现代测试理论,自动化学院仪器科学与技术系,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,第一章 波形、频谱与随机过程分析,信息产业的三大支柱：1.信息获取（传感器、仪器：量值信息）2.信息传递（通讯设备）3.信息处理（计算机）本课程主要是研究“信息处理”问题。波形、频谱与随机信号处理是现代信息处理技术的主要内容之一,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,1.1.1 观测数据的波形与频谱 1.波形：时间 横坐标、物理观测量（幅值）纵坐标，得到一种变化的图形，称之为时域波形；,1.1 波形与频谱的基本概念,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,

2、2.频谱：频率 横坐标、经数学变换后的物理观测量（如：幅值、相位、功率）纵坐标，得到一种变化的图形或谱线，称之为频谱。3.波形分析：一般是指对观测信号在时间域和幅值域里进行分析，以得到描述观测信号的各种特征或关系。例如：波形的起始时间与持续时间 波形的时间滞后 波形的畸变 波形与波形之间的相似程度 4.频谱分析：是对观测信号在频率域内进行分析，得到：幅值谱/相位谱，功率谱，互谱密度等分析结果。,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,5.波形与频谱的关系：波形分析 频谱分析，即式中，X()是 x(t)的傅立叶变换，x(t)是 X()的傅立叶逆变换。图1-1直观地表示了时间域和在频率域观测信

3、号之间的有机联系。,谱分析的数学工具,傅立叶级数,傅立叶积分,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,绝大多数观测中是看不到真实波形的；实际观测到的波形无法与真实波形进行比较。这样就可能把已“扭曲”的测试数据当作结果加以应用！因此，未经分析处理、修正反演而简单地根据测试波形直接求得的结果，往往会产生很大的误差，有时甚至会得出错误的结果。波形的分析与处理的目的之一就是要避免出现这种情况。,观测波形,失真,畸变,哈哈镜,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,观测数据的类型与描述,观测波形,在容差内可重复,在容差内不可重复,确定性数据,随机性数据

4、,观测波形,周期性数据,非周期性数据,简谐周期数据,复杂周期数据,准周期数据,瞬变数据,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,1.简谐周期数据:可用下列形式的函数来描述：（）式中：A 振幅；f0=1/T 频率，表示波在单位时间内的循环数；T 周期，表示正弦波完成一次循环所需的时间；0=2f0 角频率；相对时间原点的初始相位（弧度）。例如:交流发电机的电压输出，偏心转子的振动 从数据分析的角度出发，简谐数据是观测数据中最简单的形式。,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,2.复杂周期数据:可用周期时变函数表示：（）与简谐周期波形一样，一个波经历的时间称为周期 T，单位时间内的循环数称

5、为基频 f1。显然，简谐周期波是复杂周期波的一个特例。复杂周期波可以展成傅立叶级数：（）,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,式中：复杂周期数据还可以用傅立叶级数的另一种表达形式:（）其中,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,如果只考虑复杂周期数据的幅值谱，则可用图1-2所示的离散谱线来表示式（）的幅频特性。3.准周期数据:准周期数据是一种非周期数据，可用下式表示为,图1-2 复杂周期数据的频谱（幅值谱）,X3,X2,X1,X0,幅值,f,f0,f1,f2,f3,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,（）式中，fn/fm（nm）在任何情况下都不等于有理数。当两个或多个无关

6、联的周期性现象混合作用时，常常会出现准周期数据。例如：多机组内燃机车在发动机不同步时的振动响应就是准周期数据。准周期数据也可用图1-2所示的离散谱线来表示它的幅值谱，其差别仅仅是各个分量的频率不再是有理数的关系。4.瞬变非周期数据:除了准周期以外的所有非周期信号都属于瞬变数据。瞬变数据与周期数据不同的一个重要特征，就是它不能用离散谱来表示（连续谱）。,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,在多数情况下，瞬变数据可用傅立叶积分表示（）式中，|X()|幅频特性，()相频特性。二者均为连续谱。1.2 随机过程及其数学特征,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,1.2.1 随机过程的基本数

7、字特征,随机过程的分布函数族能完善地刻画随机过程的统计特性，但在实际观测中，往往只能得到部分样本，用这些样本来确定分布函数是困难的，甚至是不可能的，因而有必要引入基本数字特征来描述随机过程的统计特性。1.一阶矩或期望值 给定实或复随机过程 x(t)，固定t，则 x(t)是一随机变量，其一阶矩一般与 t 有关，记为（）称 mx(t)为随机过程 x(t)的均值函数或数学期望。,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,2.二阶矩与相关函数 将实或复随机变量x(t)的二阶原点矩记作（）称它为随机过程 x(t)的均方值函数；而将随机过程 x(t)的二阶中心矩分别记作（）称它为随机过程 x(t)的方差

8、函数；其中，x 称为均方差或标准差，它表示随机变量 x(t)在 t 时刻相对于均值的平均偏离程度。,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,对于任意t1，t2，定义随机变量x(t1)和x(t2)的二阶原点混合矩（即自相关函数，或简称相关函数）为（）式中，x*(t2)是 x(t2)的复共轭。类似地，还可定义随机变量x(t1)和 x(t2)的二阶中心混合矩：（）通常，称它为随机过程 x(t)的自协方差函数，简称协方差函数。自相关函数和自协方差函数是刻画随机过程自身在两个不同时刻的状态变量之间的统计依赖关系。,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,自相关函数和协方差函数之间具有如下关系：当

9、 t1=t2=t 时，上式变为 类似地，两个随机过程 x(t)和 y(t)的互相关函数定义为（）而它们的互协方差函数为（）,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,其中my(t)是随机过程 y(t)的均值函数。若两个随机过程 x(t)和 y(t)分别是为n 1和m 1的列向量，用上标 H 表示共轭转置，则它们的自相关函数和互相关函数可表示为式中，Rx(t1，t2)为n n矩阵，Rxy(t1，t2)为n m 矩阵。相应的协方差函数和互协方差函数也是矩阵函数。3.不相关，正交，独立过程 考虑两个随机过程 x(t)和y(t)：如果x(t)和y(t)是不相关的，则互协方差函数为0，即：（）,12/

10、30/13,波形、频谱与随机信号分析,如果 x(t)和 y(t)正交，则相关函数为0，即（）如果两个随机变量 x(t)和 y(t)独立，则有（）其中，p(x),p(y)和 p(x，y)分别表示随机变量 x(t)，y(t)的概率密度函数及二者的联合概率密度函数。对于零均值随机过程不相关和正交是等价的。上述关系很容易推广到 n 个随机过程，不赘述。,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,1.2.2 平稳过程的基本数字特征,如果随机过程的统计特性不随时间的推移而变化。严格地说，对于某一实数域（通常是指时间域），如果对任意的t1，t2，tn 和任意实数h，当 t1+h，t2+h，tn+h 时，n

11、 维随机变量x(t1)，x(t2)，x(tn)和 x(t1+h)，x(t2+h)，x(tn+h)具有相同的分布函数，则称随机过程 x(t)，t 具有平稳性，并称此过程为平稳随机过程，简称平稳过程。,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,由平稳过程的定义，对于任意 t，t+T，一维随机变量 x(t)和 x(t+)同分布。取=-t，则有（）同样，x(t)的均方值函数x2 和方差函数x2 亦均为常数。在式（）和（）中，令t2=t 和 t1 t2=，就有（）这表明平稳过程的相关函数和协方差函数仅是时间差=t1 t2 的函数。当x(t)为零均值平稳过程，就有,12/30/13,波形、频谱与随机信号

12、分析,满足式（）和（）的随机过程称为弱平稳过程或广义平稳过程；反之，则为非平稳过程。相对地，按分布函数定义的平稳过程称为严格平稳过程。类似地，如果 Rxy(t1，t2)只是时间差 t1 t2=的单变量函数，记为Rxy()，则称 x(t)和 y(t)是平稳相关的。平稳相关过程 x(t)和 y(t)的互协方差函数可写成 由上式可见，当 x(t)和 y(t)中有一个是零均值的，则互相关函数和互协方差函数相等。前面讨论的平稳和非平稳性概念，是指随机过程总体平均特性而言的。如果可用总体中的某个样本函数的时间平均,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,来代替总体平均,即对于任意T，平稳过程 x(t)

13、中的第k个样本函数xk(t)的均值和自相关函数可分别表示成（）（）则称此平稳过程具有各态历经性或遍历性（ergodicity）。在大多数情况下，表示平稳物理现象的随机数据，一般是近似各态历经的。因此，如果能够事先确定某随机过程是各态历经的，则只要验证单个样本记录的平稳性，就可有效地判定该记录所属的随机过程能否满足平稳性和遍历性。,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,1.2.3 相关函数的性质 假设 x(t)和 y(t)是平稳相关过程，Rx()，Ry()和Rxy()分别是它们的自相关函数和互相关函数，则它们具有以下五个性质:Rx(0)=Ex2(t)=x2 0，表示平稳过程 x(t)的“平

14、均功率”。Rx*(-)=Rx()；Rxy*()=Ryx(-)。这些关系可以从它们的定义直接得到。关于相关函数和互相关函数有下列不等式：根据定义和 Cauchy-Chwartz 不等式,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,可证得。相关函数表示同一过程（或波形）相差时刻的相似程度。在相关函数中还可以定义自相关系数（或归一化协方差），即波形 x(t)的协方差函数与均方差之比：（）互相关函数表示两个过程（或波形）相差时刻的相似程度。定义互相关系数为（）,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,显然,|x()|1，|xy()|1。注意，许多教科书将xy()定义相关系数。如果 x(t)和 y(

15、t)不相关，根据定义式（），则有xy()=0。这表明随机变量 x(t)-mx 和 y(t)-my 是正交的，于是即（）Rx()是半正定的，即对于任意数组 t1,tn 和任意实或复值函数 g(t)都有,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,如果Ru是半正定矩阵函数，那么，对于 t1,tk 和C1,Ck Cn,有（）（5）如果平稳过程 x(t)的概率分布函数满足Px(t+T0)=x(t)=1则称它是周期为T0的平稳过程。周期平稳过程的相关函数必是周期为T0的函数。功率谱及其性质 首先给出傅立叶变换对重要定理，然后将确定性函数的功率谱密度的定义推广到随机过程，建立起相关函数与功率谱密度之间的关

16、系。,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,（1）帕塞瓦尔（Parseval）定理 假设确定性函数 x(t)的傅立叶变换存在，即（）式中，X()称为 x(t)的频谱，它一般是角频率的复函数。当 x(t)为实函数时，有 其中，X*()表示 X()的共轭函数。在 x(t)和 X()之间存在如下关系，即（Parseval）定理：（）,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,等式左边表示 x(t)在时域上的总能量，而右边的被积函数|X()|2 称为 x(t)的能谱密度。这样，Parseval定理又可理解为总能量的谱表达式。（2）功率谱密度 很多确定性函数的总能量是无限的，所以式（）是无意义的

17、。为此，选有限时间T，对x(t)构造限时（截尾）函数：（）令T，则由式（）可以写出限时函数 xT(t)在区间-T，T 上的总平均功率：,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,式中，XT()是 XT(t)在区间-T，T 上的傅立叶变换。定义如果（）则称x()为x(t)的功率谱密度函数，简称谱密度；而x()d称为谱分布函数。（3）平稳过程的谱密度 考虑随机过程 x(t)，当然x2(t)也是随机过程。对于随机过程直接使用上式是不方便的，但只要对式（）两边取均值，就可得到适合于平稳过程的平均功率表达式：,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,（）其中，将随机变量 x(t)的谱密度定义为（）

18、对于平稳随机过程x(t)，均方值函数Ex2(t)与时间无关，由式（）可知即平稳过程的平均功率等于该过程的均方值或Rx(0)。,p.47,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,(4）维纳-辛钦（Wiener-Khintchine）公式 谱密度的一个重要性质表现在它与相关函数的关系上。具体地说，对于平稳随机数据，这两者可由傅立叶变换联系起来，即（）（）证明 考虑式（），将x(,T)中的平方项写成二重积分，得到,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,根据相关函数的定义，Ex(t1)x*(t2)=Rx(t1 t2)。故有 令 t1-t2=，t1=t，并将它们代入上式进行变量置换，则在图1-

19、3的阴影区域，有Rx()=常数。容易看出，该区域的面积等于(2T-|)d，而的变化范围为（-2T,2T）。因此于是，由式（），可得显然，上式成立的条件是,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,对所考虑的平稳过程，这个条件必须加以检验,证毕。,图1-3 x()的二重积分示意图,0,2T-|,t2,t1,t1 t2=+d,t1 t2=,d,d,T,-T,-T,T,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,在式（）中，令=0，则有 因而，对于所有的，有x()0。如果随机变量 x(t)是实的，则Rx()是实的偶函数，因此x()也是偶函数，即x()=x(-)。在这种情况下，基本关系式（）和（）变

20、成（）（）按以上定义的谱密度x()对的正负值都是有定义的，故称为“双边谱密度”。,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,为了适应实际测量，考虑定义在 0，上的平稳过程 x(t)，定义“单边谱密度”如下：（）在此，XT()是 x(t)的单边傅立叶变换。功率谱密度x()是在频域上描述随机过程x(t)的统计规律的最重要数字特征，它的物理意义表示随机变量x(t)的平均功率在频域上的分布。（5）平稳过程的互谱密度 互谱密度函数是在频域上描述两个随机过程之间的相关性的。在实际应用中，常常利用测控系统输入输出的互谱密度来确定系统的传递特性。,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,考虑两个平稳数据

21、x(t)和y(t)，它们的互谱密度定义为（）式中，XT()和YT()分别是 xT(t)和 yT(t)的傅立叶变换。容易证明，互相关函数与互谱密度是一傅立叶变换对，即（）（）令=0，就有 若x(t)是通过一个双端网络的电压，y(t)是产生的输入电流，则Rxy(0)就等于输送到该网络的功率期望值。,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,如果 x(t)和 y(t)正交，则有（）这时就有（）例1-1 如果随机过程x(t)的均值为零，且功率谱密度等于正常数，即则称此过程为白噪声过程，它的功率（或能量）与频率无关，具有与白色光相同的能量分布性质。反之，功率谱不等于常数的噪声称为有色噪声。,12/30

22、/13,波形、频谱与随机信号分析,白噪声的相关函数为 图1-4表示白噪声的相关函数和谱密度。可见，白噪声可定义为均值为零，且相关函数为函数的随机过程x(t)。这个过程在t1 t2时，x(t1)和 x(t2)是不相关的。,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,白噪声是一种理想化的数学模型，它的平均功率Rx(0)是无限的。实用上，如果噪声的频谱在一个比实际系统频带宽得多的范围内具有比较“平坦”的曲线，就可近似地当成白噪声来处理。通常，把这种噪声称为限带白噪声，它的谱密度满足 对上式求傅立叶逆变换，可得 例1-2 二进制伪随机（Pseudo-noise）序列或 PN序列是由 1 和 0 组成的

23、序列，它的相关函数与白噪声很相似，它近似为一个脉冲，但有一个重复周期T。,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,最常用的PN序列就是 M 序列，可用图1-5带有线性反馈的 M 阶线性移位寄存器产生，其长度为N=2M-1比特，周期 T=15t（M=4），其中 t 为时钟脉冲的周期。在每个周期 T 产生 2M-1 个 1，2M-1 个 0，具有良好的平衡性。将由0，1组成的二进制序列变换为一个由-1，1组成的二进制序列。这个由-1，1组成的等价序列 cn 称之为双极性序列。,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,周期T=Nt，幅度A=1的M序列的自相关函数可用下式表示：因为序列cn是周

24、期性函数，故其自相关函数RM()也具有周期性，如图1-6所示。参数 N 和 t 决定了M序列的特性。显然，当N，RM()()。由于RM()是实的偶函数，故可根据式（）来计算它的谱密度，即可见，M序列的功率谱密度函数是离散谱，且有一个sinc 形包络曲线，如图1-7所示。,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,（6）限时限带函数及采样定理 考虑实的周期函数或限时函数 x(t)。若时间函数 x(t)仅在一段有限时间（0，T）内有非零值，则称为限时函数。限时函数 x(t)经周期延拓之后，可化为周期函数，因此可表示为傅立叶级数：（）其中 X(n)称为

25、x(t)在频率为n=2n/T 处的傅立叶系数，且满足X(-n)=X*(n)。如果 X(n)仅仅在以下频率范围内才有非零值，则称 x(t)为限时限带函数。这里，W表示频带宽度（谱宽），TW表示不超过TW的最大整数。,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,为方便起见，下面用TW代替TW。将式（）中的第一式可写成（）式中，X(n)=a(n)+jb(n)，通常X(0)=0。式（）表明：完整地描述一个持续时间为T，谱宽为W的限时限带实值函数，需要也仅需要2TW个实数a(n)和b(n)或TW个复数X(n)。这个结论实际上是采样定理的另一种叙述方式。在工程上，采样频率一般取为信号上限频率的3 5倍。,

26、12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,（7）周期函数的帕塞瓦尔公式 周期函数或限时限带函数的帕塞瓦尔公式可表示为（）证明 由式（），并利用零均值条件、实函数傅立叶变换的共轭对称性和三角函数的正交性，可得 式中，Re表示取实部。如果x(t)是在（t-T，t）内被观测，则式（）中的积分区间（0，T）可改为（t-T，t）。,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,1.3 线性系统的时频分析,假设施加于图1-8所示系统的输入信号为 x(t)，则系统产生的输出 y(t)为（1.3.1),线性系统,物理可实现,稳定的,频率响应函数 H(j),脉冲响应函数 h(t),傅立叶变换,传递函数 H(s)

27、,s=+j|=0,拉普拉斯变换,y(t),x(t),h(t)H(j),图1-8 线性系统的输入-输出,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,对于物理可实现的因果系统，其脉冲响应函数 h(t)是实数，且对于负的 t 取零值。但在下面的讨论中不一定要作这样的假设。1.3.1 线性系统的相关分析 相关分析和最小二乘法是系统分析和参数估计最常用的两种方法。这此仅介绍相关分析法。（1）均值 假设线性系统的输入信号x(t)是一平稳过程，对式（1.3.1）的两边取均值，则有显然，y(t)的期望值是常数，由下式给出,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,（1.3.2)（2）相关分析 在式（）的两边

28、同乘以 x*(t-)，得到（1.3.3)由于所以，在式（）两边取期望值，就有,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,上式右边积分显然与 t 无关，且等于 Rx()与 h()的卷积。因而上式左边也与 t 无关。于是，根据互相关的定义，得到（）将式（）两边的复共轭乘以 y(t+)，有再取期望值，又有（）上式是令=-的结果。同样的推理，可类似地证明（）,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,合并以上二式，可得（）（3）功率谱 利用卷积定理，式（）可写成（）其中H*(j)是 h*(-)的傅立叶变换。于是有（）上述关系可用图1-9来表示。（4）传递函数 H(j)在平稳输入信号 x(t)作用下

29、，产生的输出 y(t)。当用功率谱表示时，由式（）可得到增益因子的估计：,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,（）上式只含有系统的幅频特性。为了求出系统的相频特性()，还需要互谱分析。由（）的第一式，可知()可用下式估计：（）,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,此外，还定义两个平稳随机过程x(t)和y(t)的相干函数(Coherence function)为（）它表示两个平稳过程在频域上的“互相关”程度，故也称为谱相关函数。显然，0 xy2()1。如果在某些频率点上xy2()=1，则表示 x(t)和 y(t)是完全相干的；如果在某些频率点上xy2()=0，则表示 x(t)和

30、y(t)在这些频率点上不相干（不凝聚），这也是不相关的另一种提法。如果 x(t)和 y(t)是统计独立，则恒有xy2()=0。,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,在上述相干函数计算中，谱密度和互谱密度的估计必须是经过总体平均的，否则，不论两个过程是否相干，直接计算谱密度和互谱密度所得到的相干函数值将恒等于1。在作系统的相关分析时，输入信号 x(t)的谱宽应大于线性系统 H(j)的谱宽，这样才能把线性系统 H(j)的所有振型激励出来，使分析结果能反映系统的动态特性。（5）系统简化 考虑图2-10中的两个系统。设 x1(t)，x2(t)分别是它们的输入，而 y1(t)，y2(t)是对应的

31、输出，即（）,y1(t),x1(t),h1(t)H1(j),y2(t),x2(t),h2(t)H2(j),图2-10 两个单输入-输出系统,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,将第一式乘以 y2*(t-)，第二式的复共轭乘以 x1(t+),则有对这两式取期望值，得到（）上式的傅立叶变换为,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,故有（）这相当于两个系统h2*(-)和h1()串联成一个系统，并用Rx1x2()作为系统的输入。（6）分离系统 若两个系统的幅频特性（或频带）不重叠，如图1-10所示，则有那么，式（）表明，对于任意的x1(t)和x2(t)，通过分离系统得到的输出 y1(t)

32、和 y2(t)是正交的。,0,|H1(j)|,|H2(j)|,图2-10 分离系统,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,利用该结论，只须把单个过程 x(t)作为两个分离系统的公共输入，就可以产生两个正交过程 y1(t)和 y2(t)。若Ex(t)=0,则两个输出的期望值也是零，且不相关的。1.3.2 线性系统的随机激励 在系统的输入端施加统计特性已知的噪声扰动，然后观测系统的输出。从这些受到随机干扰的局部观测数据出发，应用适当的数学工具可以分析系统的动态特性，或建立数学模型。常用的噪声序列有白噪声和伪随机信号，因为二者都有明确的统计特性，而且易于用仪器或数字计算机产生。（1）输入信号为

33、白噪声 设线性因果系统的脉冲响应函数为h(t)，输入信号 x(t)为白噪声，不妨设 Rx()=()，,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,则由式（）可知系统输出 y(t)与输入 x(t)之间的互相关函数为可见，只须对0，计算出Ryx()，就能知道系统的脉冲响应函数h(t)。该算法可用Matlab/Simulink图示化方块图（见图1-11）进行仿真。,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,如果干扰 n(t)与激励 x(t)互不相关，即 Rnx()=0，则仿真“示波器”显示的曲线就是系统的脉冲响应函数 h(t)。该结论证明如下：如果过程具有遍历性，那么对充分大的 T，积分器的输出

34、z()为 在多数情况下，可以把白噪声信号叠加在正常输入信号上，对测控系统进行在线辨识；白噪声的自相关函数是脉冲函数，因而它与其它噪声几乎都互不相关。因此,用白噪声作为输入信号能够排除其它干扰信号的影响。,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,为了取得精确的估计值，必须延长积分时间T，计算互相关函数就要耗费大量的时间，从而影响在线辨识的实时性。（2）输入信号为伪随机序列 为了保持白噪声作为输入信号时的优点，克服其缺点，可采用伪随机噪声信号（简称伪随机信号）作为激励信号。在例1-2中给出的M序列的相关函数与白噪声信号很相似，可视为脉冲信号，但它有一个重复周期T。如果M序列的幅值是-a,a，且

35、序列的长度N足够大，那么它自相关函数 Rx()在=，-2T,-T,0,T,2T,各点取值为序列的均方值a2，而其余各处均接近于零，故Rx()是一个脉冲序列,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,可将M序列看作出现在每一周期内T的白噪声信号。在选择 M 序列 x(t)的周期 T 时，应事先估计系统的调整时间 ts，使得T ts。这样，在 T 时间内，系统的单位脉冲响应h(t)已经衰减到几乎为零。于是，可在0 T 之间按图1-11来计算Ryx(),从而得到完整的h(t)。要适当选取M序列的时钟脉冲的周期 t 时（参见图1-7），确保它的谱宽（1/3t)大于系统的谱宽。这样，采用伪随机信号作为

36、激励信号进行系统辨识的结果与采用白噪声作为激励信号的结果才能基本相同。由于伪随机信号是物理可实现的，而白噪声是理想化的数学模型，因此，伪随机信号在测控技术领域中的应用更为广泛。,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,1.4 平稳高斯随机过程,高斯（正态）随机过程，简称高斯过程，是非常重要的随机过程，在测控系统中的随机信号大多服从高斯分布。1.4.1 高斯过程的定义和性质 考虑实的随机过程 x(t)，如果它的密度函数的形式为（）则称为高斯随机过程。在本节中各参数符号的意义与1.2节中所定义的相同，以下不再赘述。,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,考虑两个实的随机过程x(t)和y(

37、t)，如果它的密度函数的形式为（）则称为二维高斯随机过程。其中，xy是随机变量 x(t)和 y(t)的互相关系数，即 考虑nx 1和 ny 1向量随机过程 x(t)和 y(t)，如果它们的联合密度函数的形式为,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,（）则称x(t)和y(t)为联合高斯向量随机过程。其中，det()表示矩阵的行列式。C 是 x(t)和 y(t)的联合协方差函数：对于平稳高斯过程，是指过程同时具有平稳过程和高斯过程的所有特性，其均值是常数，协方差函数仅是时间差的函数。高斯过程具有如下性质：,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,性质1:高斯过程完全由均值函数和协方差函数

38、所决定。性质2:高斯变量之间的不相关性与独立性是等价的。证明：在式（）令互相关系数xy=0，就有：p(x,y)=p(x)p(y)性质3:一组随机变量若具有联合高斯分布，则它的任何部分集合也是联合高斯的。性质4:对于零均值联合高斯的实随机变量x1，x2，x3和x4，其四阶原点混合矩为（）性质5:高斯向量 x 经过任意线性变换A所得到的随机向量Ax也是高斯的；N个随机变量，若其任意加权和是一高斯变量，则它们是联合高斯的。,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,性质6:高斯过程x(t)通过线性滤波器，其输出也是高斯过程。故x(t)的任意线性泛函，也是高斯过程。性质7:单个和多个限时限带（时间长

39、度为T，频带为W）高斯过程的傅立叶系数构成复高斯向量，并可用复高斯密度函数来表示。证明：考虑单个限时限带、零均值和实的高斯过程x(t)的傅立叶系数a(n)和 b(n)视为随机变量 x(t)的线性泛函，由性质6知，它们是高斯变量。a(n)和 b(n)的任意加权和也是 高斯变量。由性质5知，a(n)和 b(n)具有联合高斯分布。因此，实值高斯变,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,量 x(t)的一组傅立叶系数X(1)，X(2)，X(TW)构成一个TW维的复高斯向量X。下面要证明，只要Xn=an+jbn满足一定条件，其概率密度函数为（）这里用an 代替 a(n)，用 bn 代替 b(n)。首

40、先证明当 T 足够长高斯过程 x(t)的傅立叶系数 an和 bn是不相关（独立等价，性质2）的，即（）,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,式中，mn 是克罗内克（Kronecker delta）符号。当 m=n，mn=1；否则，mn=0。由零均值条件mx=0推知，EXn=Ean=Ebn=0，即傅立叶系数也是零均值。下面计算零均值条件下，随机过程任意两频率m和n上的协方差（1）作变量替换则积分区域的变化如图1-12所示。在上述变量替换下，式（1）可改写为,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,（2）利用余弦函数的和角公式展开 cosn(u+Tv)，注意到nT=2n，mT=2m可得

41、,图1-12 变量替换前后积分区域的变化,t=0,t=T,t,T,T,0,-T,v,u,T,0,1,u=-T v,u=T-T v,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,（3）当观测时间 T 足够长时，式（3）右侧的两个内部积分可作如下近似：上式推导中利用了实值随机过程相关函数Rx(u)为偶函数这一性质。将这个近似结果代入式（3），并利用三角函数的正交性质，得,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,用同样的方法，可以证明式（）中其它结果。这里，复傅立叶系数 Xn 和 Xm的协方差是按下式计算的，即 下面证明式（）。对于高斯分布而言，不相关就意味着独立，故有（4）在零均值条件下，有Er

42、=0。因此，根据式（），二维高斯密度函数p(rn)可表示为,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,（5）其中由式（）可知,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,此外，由于故又有将上述结果带入式（5）和（4），最后可得到傅立叶复系数为自变量的复高斯密度函数:证毕。,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,条件概率密度,假定对所考虑的观测数据y，有p(y)0，并且把假定y=y下x的条件分布密度定义为（1.4.7）将式（）代入上式，经过简单的运算，得到（）上述条件密度也是高斯（正态）的，其条件均值及条件方差为,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,（）当mx=my=0时，有（）

43、将上述关系推广到式（）所表示的联合高斯密度函数，就可以得到条件均值mx|y和条件协方差Cx|y的表达式（）（）这些关系式在参数估计中是经常要用到的。,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,1.5 平稳随机数据的数字处理方法,数字信号处理是建立在离散时间信号的基础上。数字化有两个主要步骤：其一是采样，确定需要观测的数据瞬时点；其二是量化，即把采样点上的数据值转化成数字量。1.5.1 采样与量化 采样的主要问题是确定适当的采样间隔Ts，采样点靠得太近，会产生相关重叠，致使产生虚假波形，并产生大量的多余数据，从而增加不必要的计算和成本；而采样点间距太大，会产生低频和高频分量的混叠。采样间距Ts

44、的选取，一般由连续信号的上限频率 fc 来控制，并使之满足采样定理：,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,（）这里，频率fc称为奈奎斯特频率或折叠频率。通常，fc 应等于被观测系统最高频率的1.5 2倍。对于带通信号，假设带宽为BW，采样间距Ts可由带宽BW来确定，即（）采样后的数据，必须表示为指定位数的数字，这就是所谓的量化，这个功能一般由 A/D 转换器来实现。对于理想转换，量化误差具有均匀概率分布，其标准差0.289x（x为量化增量）。,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,通常，量化误差的峰值为0.5x。下面，我们来估计量化器的性能指标。例如，对于具有255个电平单位的8

45、位 A/D 转换器，其峰值信号xmax与峰值误差emax之比为其最大舍入误差为0.5x；最大量化误差（满刻度）在(0.5/255)100%=0.2%之内。当量化误差具有均匀概率分布时，其峰值信号 xmax 与均方差x 之比为其均方根舍入误差为0.289x；最大量化误差（满刻度）在(0.289/255)100%=0.11%之内。显然，量化误差与A/D的转换位数成反比关系。,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,1.5.2 单个样本记录,在以下各种统计特性的估计中均假设 xk(k=1，2，N)是对均值为零的、实的平稳过程 x(t)进行等间隔t 采样所得到的数据。（1）概率密度函数 随机变量x

46、(t)的概率密度函数可由下式估计（）式中，x 是以x为中心的窄区间，Nx 是数据落在x0.5x中的数据个数，N是采样容量。注意，p(x)的估计不是唯一的，它取决于分组区间的选择。,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,（2）均值计算 平稳过程子样 xk(k=1，2，N)的均值，可由下式确定：（）（3）相关函数相关函数的估计有两种方法。一种是直接计算法，另一种是用傅立叶变换计算功率谱密度函数，然后计算它的傅立叶逆变换。下面介绍直接法。子样xk(k=1，2，N)在时间位移m t处的自相关函数，可由下式估计（）式中，m是滞后数，M是最大滞后数，对应的最大时间位移max 是 M t。,12/30

47、/13,波形、频谱与随机信号分析,当N很大时，上式可简化为（）由此得到自相关函数的有偏估计。但因 m 相对于N来说是很小的数，故有偏估计与无偏估计（式）的差别很小。对于协方差函数的估计，可先去均值，再作相关估计。如果用相关函数的傅立叶变换来计算功率谱，则谱密度估计的频率分辨力f 与最大时间位移max的关系是（）（4）功率谱估计 对0 c（或0 f fc）范围内的任意，单边功率谱密度函数Gx()可用下式估计：,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,（）其中，t 为采样间隔，c=/t 为截止频率。通常称上式定义的函数Gx()为周期图。单边功率谱密度函数 Gx()也可用下式估计：（）式中，X(

48、n)与 xk(n，k=0，1，2，N-1)的构成离散傅立叶变换对，即,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,单边谱 Gx()与双边谱 x()的关系可用图 1-12 来表示。二者存在如下的关系：上述推导的结果也适用于互密度函数的值。,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,（5）用DFT做谱分析的参数选择 采样间隔 t 应满足采样定理采样点数 N 与采样间隔 t 及信号持续时间 T 的关系应满足式中，f 为谱分析的频率分辨力。例1-3 用快速傅立叶变换（FFT）进行频谱分析，N 必须是 2 的整次幂。现假设信号的上限频率 fc=1250 Hz,要求谱分析的频率分辨力f 5 Hz。解（1

49、）由频率分辨力确定采集信号的最小持续时间:,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,（2）由上限频率确定最大采样周期:（3）DFT点数应满足选择满足 2 的整次幂的DFT点数，即 如果x(k)是实序列，则有 X(k)=X*(N-k),(k=0,1,N/2)利用该特性可减少 DFT 的计算量。,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,1.5.3 两个样本记录的数字处理 设有两个平稳过程 x(t)和 y(t)的时间历程记录 x(t)和y(t)，若它们只在 t0 t t0+T上存在（t0是任意常数）。假定采样间隔是 t，它对应的截止频率是 fc=1/(2 t)，则 x(t)和 y(t)的采样

50、值分别为下面介绍的内容均按上述假设作为前提。（1）联合概率密度函数 与式（）类似，两个平稳记录x(t)和 y(t)的联合概率密度函数为,（）,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,式中，x 和y是中心分别为 x 和 y 的两个窄区间，Nxy 是x 和 y 同时落在这两个窄区间的数目，N为采样容量。（2）均值 首先需要计算的量是子样均值 然后计算去均值后的数据值（）它们对应于新的不含有直流分量的时间记录为x(t)=x(t)-mx 和 y(t)=y(t)-my（3）互相关函数 有两种估计方法，直接法和间接法。,12/30/13,波形、频谱与随机信号分析,子样的互相关函数在滞后数 m=0,1,