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1、第5章随机分析,5.1 二阶矩随机变量空间的基本性质,5.2 随机过程的均方极限与均方连续,5.3 随机过程的均方导数,5.4 随机过程的均方积分,课后作业,的统计特征.,5.1 二阶矩随机变量空间的基本性质,泛的应用.,二阶矩过程是一类重要的随机过程，在物理、生,物、通讯与控制、系统工程与管理科学等方面，有广,许多实际问题通过对二阶矩的讨论就足以了解过程,二阶矩的随机变量的全体组成的集合,为二阶矩随机变量空间.,若,则称 X 与 Y 相等，,定理1 H 是一个线性空间,即设 X,YH,则对任意,证明 由许瓦兹不等式,引理1,可知,证明 由许瓦兹不等式易证(1),在(1)中取 Y=1 得(2)
2、.,引理2 如上定义的是范数,即有,证明(1)和(2)显然.下面证(3).,(3)|X+Y|2=E|X+Y|2,E|X|2+2 E|XY|+E|Y|2,非负性,齐次性,三角不等式,定理2 对任意 X,Y H,令,则 d(X,Y)是 H 中的距离.即对任意 X,Y,Z H,有,非负性,对称性,三角不等式,综上可知，H 构成一个线性赋范空间.,由此可知，H 构成一个距离空间.,由引理2 易知下面的定理成立.,定义 设 Xn,XH，n=1,2,如果,称 Xn 均方收敛于X,定理3(柯西均方收敛准则)H 中随机变量序列 Xn,二重极限,证明 仅证必要性.,均方收敛的充要条件为,这个定理说明 H 是完备
3、的线性赋范空间.,均方收敛基本列 或 柯西列,柯西均方收敛准则亦称为二阶矩随机变量空间 H 的,完备性定理.,例1 考察下面的相互独立随机变量序列的均方收敛性.,解,为，方差为1，定义,证明,例2 设 是相互独立同分布随机变量序列，均值,定理4(均方极限的线性性质),随机变量序列的均方极限性质,证明,定理5(均方极限的数字特征),证明 1）仅证实随机变量的情形.,在1）中令Yn1，得 2).,在1）中令YnX n，得 3).,由1）与 2)可证 4).,数列，方差数列及特征函数列也收敛.,小结 随机变量序列 Xn 均方收敛,其相应的数学期望,定理6(洛易夫均方收敛判别准则),将随机变量序列的均
4、方收敛性转化为自相关函数的,证明 必要性.由定理5 之1)即得.,由柯西均方收敛准则知Xn均方收敛.,收敛性问题.,由均方收敛准则知,例3,解,例4,的均方极限服从泊松分布.,证明,由定理5 之 2）可知，,亦即 X 服从泊松分布.,又由定理 5 之 5）可知,本节将随机变量序列的均方收敛定义及前述各定理,5.2 随机过程的均方极限与均方连续,推广到连续参数集的情形，并引进均方连续的概念.,定义,洛易夫均方收敛准则的推论,柯西收敛准则的推论,定义,定理1(均方连续准则),证明,由均方连续的定义和洛易夫均方收敛准则可得,角线上连续,则它在 上连续.,均方连续准则的意义及两个重要结论,二阶矩过程
5、在 上均方连续等价于其相关函,二阶矩过程 的相关函数 在 的对,数 在 的对角线上连续.,由均方极限的乘积性质可得,证明,反之显然真.,o,t,s,两个重要结论的几何说明,二阶矩过程的均方连续可由其相关函数的普通意义下的连续性来确定.,例 5,为参数为的泊松过程,则,N(t),t,o,泊松过程的每一条样本函数都是跃度为1的阶梯函数.,均方连续过程的样本函数可能不连续.,样本函数？,例 6,为参数为 2 的维纳过程,则,其自相关函数,显然其对任意 t 0 在(t,t)处连续，维纳过程均方连续.,均值函数,自相关函数,定理2 若二阶矩随机过程 X(t),tT 均方连续，则其,均值函数、方差函数也在
6、T上连续.,证明留作作业.,则称 X(t)在 t 处 均方可微(可导)，称 Y 为 X(t)在 t 处的,5.3 随机过程的均方导数,定义,均方导数,记为,其均方导数过程 仍是二阶矩过程.,类似地,可定义 的均方导数过程,将随机过程的均方导数转移到实数域进行讨论分析,引进广义二阶导数概念.,定义 函数 f(s,t)称为在(s,t)处广义二阶可微,若极限,存在,称此极限为 f(s,t)在(s,t)处的广义二阶导数.,广义二阶导数是二重极限,而二阶混合偏导是二次,极限,一般情况下二者不相等.,命题 若二元函数 f(s,t)关于s,t 的一阶偏导存在,二阶,定理1(均方可微准则),广义二阶导数为,混
7、合偏导存在并连续,则 f(s,t)一定是广义二阶可微的且,证明留作作业.,证明 由均方收敛定义及准则可知,X(t),t T 在 t0 处,均方可微,证明,证明,证明,提示,相关函数的其广义二阶导数为,例 7,证明,解 X(t)的自相关函数为,例 8,证明,均方可导必均方连续.,性质1,其逆不真.,性质2,证明 由均方极限的惟一性可得.,均方导数在概率为1 的意义下惟一.,均方导数具有线性性.,a X(t)+bY(t),t T,a,b C,证明 记,性质3,若 X(t),Y(t)均方可微，则,也均方可微,且,性质5,是均方可微过程,则,也是可微过程,且,性质4,具有相等均方导数的两个随机过程，它
8、们最多仅相差,一个随机变量.,亦即,性质4和性质5的证明留作作业.,例9 参数为2 的 Wiener过程 W(t),t0是均方连续,解 Wiener过程的均方连续已证.因为,Wiener过程均方不可微.,的,但不是均方可微的.,5.4 随机过程的均方积分,定义,函数,任意取分点,分成 n 个小区间,做和,若均方极限,存在,且与区间a,b的分法及t*的取法无关,则称其为二阶,矩过程 f(t)X(t)在a,b上的均方积分,记为,称为随机过程 X(t)在 a,b上的均方积分.,定理1,证明（充分性）,的二重积分存在,且,对a,ba,b的任意分割,及任意,存在,其中,由均方收敛准则知,f(t)X(t)
9、在a,b上均方可积.,（必要性）,由洛易夫判别准则，若均方积分,存在，则下列极限存在,且,存在，即,重要公式,推论 若X(t)在a,b上均方连续,则X(t)在a,b上均方可积.,证明 根据均方连续性准则，,若 X(t)均方连续，则 X(t),的自相关函数 R(s,t)在 a,ba,b 上连续，进而 R(s,t)在,a,ba,b上可积，,所以X(t)在a,b上均方可积.,定义（广义均方积分）,存在的充分必要条件是广义二重积分,推论 广义均方积分,存在且有限.,定理2 均方积分具有以下性质,均方积分是惟一的,即若,均方积分具有线性性质,若 X(t),Y(t)在a,b上,均方可积,则,特别有,许瓦兹
10、不等式,均方积分具有对积分区间的可加性,以上各条性质类似于普通黎曼积分.,设 X(t)在 a,b 均方连续,则,证明留作作业.,证明 由定理1之推论重要公式,若 f(t)X(t)在a,b上均方可积,则有,定理3 均方积分的矩,证明（1）,（2）见定理1之必要性的证明.,例1 设 X(t)=Acosat+Bsinat,t0,a为常数 a0,A与B,RX(s,t)=EX(s)X(t),=E A2cosas cosat+B2sinas sinat,解,=2 cosa(t-s),在0,+0,+上连续.,所以 X(t)对所有 t0 均方连续,从而均方可积.,相互独立,均服从 N(0,2),判断 X(t)
11、是否均方可积.,例2 设 A,B 独立同分布于N(0,2),X(t)=At+B,t 0,1,解,试求下列随机过程的数学期望.,定义 设X(t)在a,b在上均方连续,称为X(t)在a,b上的均方不定积分.,设X(t)在a,b上均方连续,则其在a,b上的均,定理4,方不定积分 Y(t)在a,b上均方可导,且,证明留作作业.,定理5(牛顿-莱布尼兹公式)设 X(t)在a,b上均方可导,证明,定理4之,例3 设,其中,Y(t)是一个已知的均方连续二阶矩过程，求X(t)，,解 直接积分并代入初始条件,得,并求其数字特征.,例4 设W(t),t0为参数为2的维纳过程,求积分过程,的均值函数和相关函数.,解
12、,u=v,由 s 与 t 的对称性,小结 维纳过程是均方连续,均方不可导,均方可积的,二阶矩过程.,均方可导,均方连续,均方可积,小结 二阶矩过程的极限、连续、导数、积分，其统计,特征主要由相关函数表征.,求正态过程的导数或积分是常见的问题.,定理6 正态随机变量序列的均方极限仍为正态分布随机,则 X 是正态随机变量.,实值正态过程是重要的二阶矩过程.,变量.,证明,根据均方收敛性质，由,的均方极限仍为 n 维正态随机向量.,定理7 n 维正态随机向量序列,即若,证明留作作业.,仍为 m 维正态随机向量,当,随机向量的线性变换仍为正态随向量，进而,证明 对于任意 m 1，任取,可微,则其导数过程,也是正态过程.,证明,进行分割,是正态随机变量，,且,进而,课后作业,注意前面的“证明留作作业”.,
