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1、机构投资者内生流动性风险及其控制策略报告人：刘海龙,主要内容,一、概念与背景二、度量方法三、管理方法四、数值算例分析,一、概念与背景,1、什么是流动性人们对流动性一词的理解和解释不完全相同，但有一种较为流行的解释，就是将“流动性”定义为“资产在不发生损失的情况下迅速变现的能力。,2、流动性风险,金融机构的流动性风险是指无法在不增加成本或资产价值不发生损失的条件下及时满足客户流动性需求的可能性。若为了满足客户的需求，因流动性不足而产生的损失，就是流动性风险。,3、内生流动性风险,内生流动性风险是指机构投资者在调整仓位时，因自身交易的速度和头寸规模等原因，使接下来的交易不能按照事前期望的价格成交的
2、风险，该风险在一定程度上可以度量与控制。对于机构投资者而言，提交指令形式、交易策略选择和交易进程控制对交易成本的影响巨大，而这些正是内生流动性风险。,4、LrVaR,考虑内生流动性风险的VaR是指给定置信水平和持有期，投资者采用某种交易策略对一定头寸规模的资产进行变现时的最大变现损失，称为LrVaR。,从以上定义可以看出，影响VaR的因素，如资产波动性、相关性等，都会对考虑内生流动性风险的VaR这一指标产生影响；另外，该指标还与投资者所采用的交易策略和头寸规模密切相关；并且下面的分析还将表明，资产的流动性也将对指标值产生重要影响，而这几个因素在传统的VaR中都是被忽略的。,对于一名投资者而言，
3、如果他被迫在较短时间内变现其资产，那么其资产价值在变现前后的差值，即执行成本，也将受到波动性风险和流动性风险两方面因素的影响，而实质上是在一定置信水平下的最大变现损失。,这样,的计算可以归结为投资者资产价值在变现前后差值的计算，因此在给出 之前将首先计算执行成本；另外，为直观起见，将从组合中只包括单种股票的特殊情况出发，计算执行成本，而后推广至多种股票的情况。,离散时间 几何布朗运动算术布朗运动,5、算术布朗运动与几何布朗运动,连续时间几何布朗运动算术布朗运动,6、实际背景,投资流程作为机构投资者应严格按照投资流程进行投资。科学的投资流程是一个重要的研究课题。,选择业绩标准,在股票库中选股,确
4、定股票库,交易员交易,下面给出最简单的投资流程,表示基金的实际收益 表示选择股票的收益 表示基准收益,二 度量方法,1.基本认识 证券市场流动性是刻划证券市场特性的重要指标之一，流动性是指金融资产持有者按该资产的价值或接近其价值出售的难易程度。有许多衡量市场流动性的方法。托宾（Tobin）曾提出一种考核流动性的方法，即如果卖方希望立即将其所持有的金融资产出售的话，用卖方可能损失的程度作为该资产流动性好坏的衡量标准。,Bagehot(1971)认为流动性是一笔交易的影响力以及由于做市商的价格政策而导致的交易成本的比例。Black(1971)指出流动的市场是这样一个市场：“买卖价差总是存在，同时价
5、差相当的小，小额交易可以被立即执行而对价格产生较小的影响”。,凯尔(Kyle)（1985）假设做市商认为知情交易者的交易策略是市场深度的线性函数，并用表示市场深度，反映了市场价格变化一个单位所需要交易量的大小。Back(1998)定义市场深度就是价格对交易量的一阶偏导数，即,(1)其中，表示在 t 时刻交易量为 y 时的市场深度，是关于 t,y 的连续可微函数，表示在 t 时刻交易量为 y 时的市场价格。,证券市场流动性通常包括:静态指标（宽度，深度)动态指标（弹性，影响力)。,宽度（Width）是指做市商报价价差，一般认为宽度越大流动性越差，反之流动性越好。深度（Depth）是价格每变化一个
6、单位需要的交易量，可以认为深度的真正含义是保持价格不变的最大交易量，显然，深度越大流动性越好。,弹性(Resiliency)是指由于交易引起的价格波动消失的速度，弹性越大流动性越好，同时也说明市场的效率越高。,市场影响力(Impact)是指当交易发生以后，市场价格发生变化的程度，也反映了当一笔交易发生以后买卖价差扩大的程度，影响力越大市场流动性越差。,由于指令驱动机制与报价驱动机制是两种根本不同的机制，因此所使用的方法有所不同，但其基本含义是不变的。根据流动性的宽度、深度、弹性和影响力四个指标的含义，提出如下计算方法：,2、指令驱动机制流动性度量方法,设p1()表示期间为 的最高成交价格，P2
7、()表示期间为 的最低成交价格，h表示最小价格变动单位，这时市场有效流速EL()可以表示为,(2)当极端情况p1()=p2()发生时，令。,这时股票有效流速(3)公式（2）和（3）就是计算股票流动性的指标有效流速。,假设某日股票A由10元最低价开盘上升到了10.50元最高价收盘，换手率为5；股票B由最低价10元开盘上升到了最高价10元收盘，换手率也为5；股票C由最低价10元开盘上升到了最高价10.10元收盘，换手率也为5，如果用换手率计算股票的流动性，必然得出这三只股票流动性相等的结论，而按照下面给出的公式计算三只股票流动性是不相等的。,按照公式（2）计算出股票A的流动性为1，股票B的流动性为
8、50，股票C的流动性为5。,3.流动性风险的度量,将(0,T)期间等分为K个足够小区间，每个区间长度为，定义在 时刻，k=1,，K，该投资者持有的股票头寸为x(k)。则在零时刻，股票头寸为x(0)=X，在T时刻，股票头寸为x(K)=Y。,显然，投资者可以通过选择在 时刻持有的股票头寸来确定交易策略，从而可以将在变现期(0,T)期间随时间变化的股票头寸x(k)等价于投资者的交易策略，同时定义在 期间内头寸变化为，交易速度，则交易速度 同样也可以等价为交易策略。,假定在（0，T）期间股票价格，服从无漂移的算术布朗运动：,（4）,其中 为在 期间内股价的变动。,交易对价格冲击的引入,当投资者对组合中
9、的股票进行持续的卖出交易时，股票价格将承受向下的价格冲击。这种冲击可分解为永久冲击和瞬时冲击两部分：永久冲击使得股票的均衡价格发生改变，在股票价格决定的模型中表现为价格运动的微分方程中增加一负向漂移项。,瞬时冲击使得股票的供给和需求在瞬间出现不平衡，股票成交价格与交易前的市场价格存在一定的差额，而一旦下一笔相反方向的指令到达，股票价格就会回到原来的均衡水平。,记 为永久冲击系数，表示每出售一单位的股票使得股票均衡价格下降的幅度，同时假定永久冲击系数在变现期间为常数，且永久价格冲击为线性的。记 为瞬时冲击系数，表示每出售一单位的股票在瞬间推动股票价格下降的幅度，同样假定该系数在变现期间不发生改变
10、，且瞬时价格冲击为线性的,LrVaR计算。下面，我们将在股票价格服从算术布朗运动的情况下计算投资者的LrVaR。令该投资者执行成本的期望和方差分别为EEC和VEC，由式（11）可得,则在置信水平1-、持有期T下，该投资者采用交易策略，将证券头寸由 降至 时的最大可能损失为：(5)其中 为概率分布的 分位数。,式(12)所的定义 即为在置信水平、持有期T下，考虑内生流动性风险的(6),三、管理方法,1、基于 的最优变现策略基于 的最优策略为使得式(5)最小的交易策略，即：(7),显然，式(7)为一个动态最优问题，寻求函数 使得取极小值，相应的边界条件为，。,带有边界条件的动态优化问题解为其中,(
11、8),2、基于均值方差效用的变现策略,显然，EEC和VEC为交易策略x(t)的泛函。,对于具有均值方差效用的投资者而言，其损失效用泛函 为：,(9),其中，为投资者的风险厌恶系数：,在下文中，我们只将风险厌恶型投资者作为研究对象，即只考虑 的情况。,该投资者的决策目标是使得损失效用泛函最小化，则投资者变现的最优策略 满足：(10),令,则 使得 取得最小值，等价于使得指标泛函 取得最小值。,当 时，利用边界条件，可得方程(10)的通解为：(11),当 时，方程(10)为二阶微分方程，利用边界条件，可得通解为：(12),其中 容易验证，当 时，与 时的通解相同。,四、数值算例分析,考虑投资者在2
12、001年1月8日持有深发展1千万股，当日收盘价14元，其中4百万股是准备长期持有的头寸，即，一旦发生外生冲击，它不得不对股票进行变现时，在持有期末它会保留4百万股的头寸，从而有初始头寸X和目标头寸Y：,利用数值算法求解可以使得95%置信水平下、持有期为5个交易日的最大可能损失，即 最小的交易策略。,利用2000年10月9日2000年12月31日深发展的分时交易数据，计算得到永久冲击系数、瞬时冲击系数、8分钟收益波动率为，调整后的季波动率；置信水平为。利用MATLAB编程计算，最终得到的交易策略如图1所示：,图1 最优变现策略1Figure1 Optimal strategy based on
13、LrVaR(Numerical method),投资者采用该交易策略，得到的 为：从图 1可以看出基于 最优变现策略的大致形状，不过，最优策略究竟具有何种表达式？单纯的数值解法无法给出确切的答案。,式(12)表明，基于 的最优变现策略为时间的双曲正弦和双曲余弦函数的线性组合。该最优策略如图2所示。,图 2 最优变现策略2Figure 2 Optimal strategy based on LrVaR(Analytical method),基于LrVaR最优策略与其他策略的比较,为从直观上说明，这里所求得基于 最优变现策略是所有交易策略中 的最小值，下面以线性、折线和下凸二次函数等三种策略作为例
14、子，分别求出它们的，并与已经求得的基于 的最优策略的 做比较，这三种策略的表达式如下：,图3 给出了三种策略的图示。,图3 其他交易策略图示（线性策略、折线策略、下凸二次函数策略）Figure3 Illustration of some trading strategies(Linear strategy,folded line strategy,convex quadratic strategy)注：实线为线性策略，破折线为折线策略，虚线为下凸二次函数策略,假定投资者的风险厌恶系数，则形状参数为：,A.不同形状参数下最优策略的比较,图4 给出了不同形状参数时的最优策略。,注：图中实线、破折线
15、、虚线分别为、，点划线表示 的最优交易策略，即线性策略,图4 形状参数对最优交易策略的影响 Figure 4 Effect of scale parameter on optimal trading strategy,图 4显示，当形状参数较大时，投资者会在变现初期迅速变现，甚至在一段时期内只持有低于目标头寸的股票，以降低所承受的风险，而后在临近变现期末转而买入以弥补与目标头寸的差额。,B.不完全变现与等价的完全变现时最优策略比较,Almgren&Chriss(2000)在研究完全变现的最优策略时提出可以将不完全变现转化为等价的完全变现问题。例如，初始头寸为X、目标头寸为Y的不完全变现问题可以
16、转化为等价的初始头寸为X-Y的完全变现问题。我们的研究认为两个问题之间存在较大的差异。图 5比较了形状参数 时不完全变现和等价完全变现的最优策略。,图 5 不完全变现和等价完全变现的最优策略Figure 5 Optimal trading strategy of incomplete liquidation and equivalent complete liquidation.,注：1.图中实线为不完全变现时的最优策略，虚线为等价完全变现的最优策略2.,在等价的完全变现中，投资者的头寸始终高于目标头寸，直至变现期末达到目标头寸；而在不完全变现中，投资者在变现初期迅速将头寸降至目标头寸以下，在
17、临近变现期末时再行买入以补足与目标头寸的差额。,造成两种情况下最优策略差别的主要原因在于等价的完全变现中不考虑目标头寸那部分股票的波动性对执行成本方差的影响，而不完全变现时将这一因素考虑在内。这样，在不完全变现时，投资者有可能将头寸持有量降至目标头寸以下，以便降低风险，实现预期执行成本和所承受的执行成本不确定性之间的平衡，使得损失效用最小。,C 存在问题 1、怎样预测和度量波动性、瞬时冲击、永久 冲击、短期收益和短期价格中枢。2、怎样估计静态风险、吸筹风险、拉高风险、变现风险和买人卖出交替风险。3、买入冲击和卖出冲击是否有一定关系。,4、冲击系数与波动性是否有一定关系。5、多头头寸的VaR与空
18、头头寸的VaR有什么差异。6、怎样分解证券组合的风险7、怎样度量证券组合中资产的波动性相关、冲击性相关情况下的风险。8、是否能找到更好的运动方式描述股价。,1 Acharya V V,Pedersen L H.Asset pricing with liuquidity risk,London Business School,working paper,2002.2 Cetin U,Jarrow R A,Protter P.Liquidity risk and arbitrage pricing theory,Cornell University,working paper,2003.3 Ber
19、tsimas D，Lo A W.Optimal control of execution costs.Journal of Financial Markets，1998，1(1):1-50.,4 刘海龙，仲黎明，吴冲锋.开放式基金流动性风险的最优控制.控制与决策，2003，18:217-220.5仲黎明，刘海龙，吴冲锋.机构投资者的最优变现策略.管理科学学报，2002，5:18-22.6 Almgren C.Optimal execution with nonlinear impact functions and trading-enhanced risk，Applied Mathematical Finance，2003，10:1-18.7 刘海龙,仲黎明,吴冲锋.股票流动性的度量方法.系统工程理论与实践,2003，1:16-21.8 刘海龙，仲黎明，证券市场流动性风险管理.上海交通大学出版社，2006.,
