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1、第二节用数学归纳法证明不等式,【课标要求】1会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式，特别是绝对值不等式、平均值不等式和柯西不等式2了解贝努利不等式，学会贝努利不等式的简单应用3会用数学归纳法证明贝努利不等式,【核心扫描】1利用数学归纳法证明不等式是本节考查的重点2本节常与不等式的性质、放缩法等综合考查.,1贝努利不等式：设x1，且x0，n为大于1的自然数，则.2贝努利不等式的更一般形式：当为实数，并且满足1或者0时，有(1x)1x(x1)；当为实数，并且满足01时，有(1x)1x(x1),自学导引,(1x)n1nx,1用数学归纳法证明3nn3(n3，nN)第一步应验证()An1 Bn2Cn3
2、Dn4解析由题意知n3，应验证n3.故选C.答案C,基础自测,2对于正整数n，下列说法不正确的是()A3212n B0.9n10.1nC0.9n10.1n D0.1n10.9n,解析由贝努利不等式(1x)n1nx，(nN，x1)，当x2时，(12)n12n，故A正确当x0.1时，(10.1)n10.1n，B正确，C不正确,答案C,解析分母是底数为2的幂，且幂指数是连续自然增加，故选A.答案A,题型一用数学归纳法证明绝对值不等式,【例1】设x1，x2，xn为实数，证明：|x1x2xn|x1|x2|xn|.思维启迪 在nk成立证明nk1也成立时，注意应用绝对值不等式性质,证明(1)|x1x2|x1
3、|x2|，n2时命题成立(2)设命题nk(k2)时成立，即|x1x2xk|x1|x2|xk|，于是，当nk1时，|x1x2xk1|(x1x2xk)xk1|x1x2xk|xk1|x1|x2|xk|xk1|.即当nk1时，命题也成立由(1)(2)知，对于任意nN*命题都成立,规律方法 使用数学归纳法要完成两步第一步要验证“基础”；第二步要证明“递推”，二者缺一不可关键在于使用归纳假设进行递推，这也是数学归纳法的灵活和魅力所在，要根据不同问题加强练习，逐步掌握,【变式1】证明不等式|sin n|n|sin|(nN),证明(1)当n1时，上式左边|sin|右边，不等式成立(2)假设当nk(k1)时，命
4、题成立，即有|sin k|k|sin|.当nk1时，|sin(k1)|sin(k)|sin kcos cos ksin|sin kcos|cos ksin|sin k|sin|k|sin|sin|(k1)|sin|.即当nk1时不等式成立由(1)(2)可知，不等式对一切正整数n均成立,题型二用数学归纳法证明不等式,【例2】在数列an中，a12，an1an2n1(nN*)(1)求证an2n为等差数列；(2)设数列bn满足bn2log2(an1n),思维启迪 由条件第一问可通过数列的有关知识来证明进而求出an通项公式，然后求bn的通项公式，最后用数学归纳法证明要证的结论即可,解(1)由an1an2
5、n1得(an12n1)(an2n)1，因此an2n成等差数列(2)an2n(a12)(n1)n1，即an2nn1，bn2log2(an1n)2n.,规律方法 同用数学归纳法证明等式一样，这类题型也通常与数列的递推公式或通项公式有关，待证的不等式的条件可能直接给出，也可能需根据条件归纳猜想出后再证明,题型三数学归纳法与数列的综合问题,思维启迪 由题意可得如下信息：an，bn，an1成等差数对任意n都成立n1、2时也成立即可解得第一问，并归纳出通项公式，然后用数学归纳法证明之第二问列出式子发现用裂相法与放缩法即可证明比用数字归纳法简便,规律方法 这类题型通常与数列的递推公式、通项公式有关，有时要证明的等式是直接给出，有时是根据条件从前n项入手，通过观察、猜想，归纳出一个等式，然后再用数学归纳法证明,方法技巧数学归纳法在不等式中的应用,思路分析(1)问关键利用anSnSn1(n2)解决；(2)问先求出bn的通项，再结合数学归纳法证明,方法点评 本题考查数列的基本问题、等比数列的基础知识；考查数学归纳法证明不等式；考查分析问题、解决问题的能力.,
