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1、一、隐函数的导数,二、由参数方程所确定的函数的导数,2.4 由方程所确定的函数的导数,三、相关变化率,一、隐函数的导数,显函数与隐函数 形如yf(x)的函数称为显函数 例如 ysin x yln xex 都是显函数 由方程F(x y)0所确的函数称为隐函数,把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化,例如 方程xy310确定的隐函数为,.,提示:,例1 求由方程y22x y90所确定的隐函数y的导数,2y y2y2x y 0,即(yx)yy,隐函数的求导法 把方程两边分别对x求导数 然后从所得的新的方程中把隐函数的导数解出.,一、隐函数的导数,方程中每一项对x求导得,解,(xy)y+xy.,(y
2、2)2yy,从而,例2 求由方程y52yx3x70所确定的隐函数yf(x)在x0处的导数y|x0,因为当x0时 从原方程得y0 所以,5y4y2y121x60,把方程两边分别对x求导数得,解法一,5y4y2y121x60 根据原方程 当x0时 y0 将其代入上述方程得 2y10 从而 y|x005,把方程两边分别对x求导数得,解法二,例2 求由方程y52yx3x70所确定的隐函数yf(x)在x0处的导数y|x0,解,例3,求曲线 在点 处的切线方程和法线方程,方程两边求导数得,于是,在点 处y1,解,上式两边再对x求导 得,方程两边对x求导 得,ye yxe yy,y f(x)ln f(x)对
3、数求导法适用于求幂指函数yu(x)v(x)的导数及多因子之积和商的导数,此方法是先在yf(x)的两边取对数 然后用隐函数求导法求出y的导数,设yf(x)两边取对数 得ln yln f(x)两边对x 求导 得,对数求导法,例5 求yx sin x(x0)的导数,解法二,这种幂指函数的导数也可按下面的方法求.,解法一,上式两边对x 求导 得,两边取对数 得,ln ysin xln x,yx sin xe sin xln x,上式两边对x求导 得,说明 严格来说 本题应分x4 x1 2x3三种情况讨论 但结果都是一样的,先在两边取对数 得,解,二、由参数方程所确定的函数的导数,设xj(t)具有反函数
4、tj-1(x)且tj-1(x)与yy(t)构成复合函数yyj-1(x)若xj(t)和yy(t)都可导 则,解,切线方程为,切点的坐标为,即,再求速度的方向 设a是切线的倾角 则轨道的切线方向为,于是抛射体在时刻 t 的运动速度的大小为,x(t)=v1,y(t)=v2-gt,求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向,速度的水平分量与铅直分量分别为,先求速度的大小,解,例8 抛射体运动轨迹的参数方程为,提示:,讨论:已知xj(t),yy(t)如何求y对x的二阶导数y?,的函数yf(x)的二阶导数,例9,解,(t2np n为整数),三、相关变化率,设xx(t)及yy(t)都是可导函数 而变量x与y间存
5、在某种关系 从而变化率与间也存在一定关系 这两个相互依赖的变化率称为相关变化率 相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系 以便从其中一个变化率求出另一个变化率,例10 一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升 其速度为140m/min(分)当气球高度为500m时 观察员视线的仰角增加率是多少？,解 设气球上升t(秒)后 其高度为h 观察员视线的仰角为 则,又当h500(米)时 sec22,例10 一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升 其速度为140m/min(分)当气球高度为500m时 观察员视线的仰角增加率是多少？,解 设气球上升t(秒)后 其高度为h 观察员视线的仰角为 则,.,上式两边对t求导 得,已,知,(,米,/,秒,),.,又当h500(米)时 sec22,将已知数据代入上式得,即观察员视线的仰角增加率是每秒0 14弧度,所以,总结,任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出.,关键:正确分解初等函数的复合结构.,
