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1、第八节 直角坐标系下二重积分的 计算,一、矩形区域上二重积分的计算,即：矩形区域上的二重积分可以化为任何一种次序的累次积分,此时，选择哪种次序就看被积函数（积分要简单）,二、一般区域上二重积分的计算,1.x-型区域与y-型区域,如果积分区域为：,其中函数、在区间 上连续.,X型 区域,X型区域的特点：穿过区域垂直于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,如果积分区域为：,其中函数、在区间 上连续.,Y型 区域,Y型区域的特点：穿过区域且垂直于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,2.一般区域上二重积分的计算,积分区域为X-型区域,分析：,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法:
2、,已知平行截面面积的立体的体积,先y后x的累次积分,5）若(x,y)0 仍然适用。,1）上式说明:二重积分可化为二次定积分计算;,2）积分次序:X-型域 先Y后X;,3）积分限确定法:域中一线插,内限定上下，域边两线夹，外限依靠它。,4）为方便，上式也常记为：,注意:,积分区域为Y-型区域,先x后y的累次积分,积分区域既非X-型也非Y-型,若区域如图，,则必须分割.,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,积分区域既为X-型又为Y-型,（1）先对 y 积分,y,y,x,o,a,b,y,x,o,a,b,D,D,D,.,.,.,.,(练习)1.将二重积分化成二次积分,.,（2）先对x积分,.,.,.
3、,.,1,1,1,（1）先对 y 积分,.,y=1x,y=x1,.,2.将二重积分化成二次积分,1,1,1,.,（2）先对 x 积分,.,x=1 y,x=y+1,（不分块行吗？）,注,）二重积分化累次积分的步骤,画域，选序，定限,）累次积分中积分的上限不小于下限,）二重积分化累次积分定限是关键，积分限要根据积分区域的形状来确定，这首先要画好区域的草图，画好围成D的几条边界线，,例1 计算，其中D是由直线y=1,x=2,及y=x所围区域。,解法 1 把D看成X型域，则,解法 2 把D看成Y型域，则,解：,X型,Y型,例2,解：（如图）将D作Y型,把D看作X型域,由于在0，1和1，4上下边界的表达
4、式不同，所以要用直线x=1将D分成两个区域 和,它们分别用以下不等式表示：,由以上例子可见，为了使二重积分的计算较为方便，究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的特点来确定，看被积函数对哪一个变量较容易积分。,上例表明，若先 y 后 x 由于D的下边界曲线在 x 的不同范围内有不同的表达式，须分片积分，计算较麻烦。,例3,解：,X-型,例4,解：,先去掉绝对值符号，如图,例5 求 所围成。,分析 若先 后 积分，则 无法积分。,解,例6 交换二次积分的顺序,分析 要将按X（或Y）型域确定积分限改为按Y（或X）型域确定积分限。为此，应根据定限的方法先将题中所给的积分限还原成平面区域D，然后再按Y（
5、或X）型域重新确立积分限，得到二次积分。,三、交换二次积分的次序,例6 交换二次积分的顺序,故D是由 所围成的，于是,解,故D是由 所围成的，于是,例7 交换二次积分的顺序,解 将所给积分限还原成D的图形，由,知D是由y=x，y=2x，y=0三条直线所围成，,于是按Y型域定限,其中,解,积分区域如图,解,原式,证 由等式左边，得,改变积分顺序，得,例10*,解,1.化二重积分为累次积分时选择积分次序的重要性，有些题目两种积分次序在计算上难易程度差别不大，有些题目在计算上差别很大（例2），甚至有些题目对一种次序能积出来，而对另一种次序却积不出来（例5）；,以上各例说明,2.把一个区域是看作X型区
6、域还是Y型区域：(1)首先注意被积函数的特点,一定要避开无法计算的积分出现,如,等,或者说尽可能使积分易“积”出来,(2)在被积函数没有特殊要求时，要尽量避免某侧边界是分段函数，即尽可能避免某侧边界是n条曲线相衔接而成的分段光滑曲线，实在避免不开的，应采用例2所给的“切块法”,(3)求积分区域在坐标轴上的投影，一般往往通过解相邻两边的方程所组成的方程组求区域的顶点来确定,练习 计算,解,D是X型区域,要分部积分，不易计算,若先 x 后 y 则须分片,易见尽管须分片积分，但由于被积函数的特点，积分相对而言也较方便。,思考,思考题解答：,四、利用对称性简化重几分的计算,利用对称性来简化重积分的计算
7、是十分有效的，它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不过重积分的情况比较复杂，在运用对称性时要兼顾被积函数和积分区域两个方面，不可误用,对,1.若D关于 x 轴对称,2.若D关于 y 轴对称,3.当积分区域D关于x轴、y轴均对称，,4.*若D关于原点对称,称为关于积分变量的轮换对称性,是多元积分所独有的性质,奇函数关于对称域的积分等于0，偶函数关于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍，完全类似于 对称区间上奇偶函数的定积分的性质,简述为“你对称，我奇偶”,1、2、3、4简单地说就是,5.*若 D 关于直线 y=x 对称,例12（1）设,：,解,D关于y轴对称，而xy为x的奇函数，故,从而原式,例12（2）设,：,解,因D关于y轴对称，而x为x的奇函数，故,从而原式,因D关于x轴对称，而siny为y的奇函数，,例13*计算，其中D是由 所围成的区域，为连续函数.解 利用曲线 将B与O连接起来，将区域分成两个区域 和。由对称性，有故 原式,练习 计算,解,根据积分区域的特点,应先对 x 后对 y 积分,但由于,对 x 的积分求不出，无法计算，须改变积分次序。,先 y 后 x 有,奇函数,
