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1、一、相似矩阵与相似变换的概念,5.2 矩阵的相似对角化,（回忆等价矩阵的概念）,相似等价,等价关系：,二、相似矩阵与相似变换的性质,相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质。,性质：,直接由定义容易推出,相似变换与相似变换矩阵,这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算,相似变换是对方阵进行的一种运算，它把 A变成，而可逆矩阵 称为进行这一变换的相似变换矩阵,证明:,此结论只是,推论 若 阶方阵A与对角阵,证明,三、利用相似变换将方阵对角化,命题
2、得证.,不能对角化的矩阵一定具有多重特征值。,设 是n阶矩阵A的互异特征值，即,称 是特征值 的代数重数；所对应的线性无关特征向量的个数称为 的几何重数。,结论：几何重数 代数重数。,推论2 n阶矩阵A可对角化的充要条件是,例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？,解,解之得基础解系,求得基础解系,解之得基础解系,故 A不能化为对角矩阵.,几何重数 代数重数,A能否对角化？若能对角化，,例2,解,解之得基础解系,所以 可对角化.,注意,即矩阵P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应,可见 P 未必唯一。,例3,三阶方阵A的三个特征值,且对应的特征向量分别是,解：,利用对角矩阵计算矩阵多项式,
3、利用上述结论可以很方便地计算矩阵A 的多项式.,解(1)可对角化的充分条件是有个互异的特征值下面求出的所有特征值,5.3 Jordan 标准形介绍,定理：任意n方阵A都存在n阶可逆矩阵P，使得,-Jordan矩阵。,其中,称为Jordan块矩阵。,为A的特征值,可以是多重的。,例如,称为Jordan块.,称为子Jordan阵。,Jordon标准形相似变换矩阵P的求法,以三阶矩阵为例来分析说明：,设A相似于,由,分别取,解得,这里仅 X1 是 A 对应于 的特征向量。,例3,求可逆阵 P 和Jordan阵，使得,解：令,A有特征值（二重）.,即,对于 求解：,即,先取,（特征向量）。,再取,于是,注意：P，J 不唯一。,亦可取,则,（非特征向量）。,方阵A的Jordan标准形的结构有以下特点：,1.J 中子Jordan阵的个数等于A互异特征值的个数；,2.每个子Jordan阵的阶数等于对应特征值的代数重数；,3.每个子Jordan阵中Jordan块的个数等于对应特征值的几何重数。,例如,称为Jordan块.,称为子Jordan阵。,思考题,思考题解答,
