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1、1,一单位有5个员工，一星期共七天，老板让每位员工独立地挑一天休息，求不出现至少有2人在同一天休息的 概率。解：将5为员工看成5个不同的球，7天看成7个不同的盒子，记A=无2人在同一天休息，则由上例知：,2,例：某厂生产的产品能直接出厂的概率为70%，余下 的30%的产品要调试后再定，已知调试后有80%的产品可以出厂，20%的产品要报废。求该厂产 品的报废率。,利用乘法公式,解：设 A=生产的产品要报废 B=生产的产品要调试 已知P(B)=0.3，P(A|B)=0.2，,3,例：某行业进行专业劳动技能考核，一个月安排一次，每人最多参加3次；某人第一次参加能通过的概率为60%；如果第一次未通过就
2、去参加第二次，这时能通过的概率为80%；如果第二次再未通过，则去参加第三次，此时能通过的概率为90%。求这人能通过考核的概率。,解：设 Ai=这人第i次通过考核，i=1,2,3 A=这人通过考核，,亦可：,4,例：从52张牌中任取2张，采用(1)放回抽样，（2）不放 回抽样，求恰是“一红一黑”的概率。,利用乘法公式,与不相容,（1）若为放回抽样：,（2）若为不放回抽样：,解：设 Ai=第i次取到红牌，i=1,2 B=取2张恰是一红一黑,5,例：一单位有甲、乙两人，已知甲近期出差的概率为80%，若甲出差，则乙出差的概率为20%；若甲不出差，则乙出差的概率为90%。(1)求近期乙出差的概率；(2)
3、若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。,Bayes公式,全概率公式,解：设A=甲出差，B=乙出差,6,例：根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有5%的假阳性及5%的假阴性：若设A=试验反应是阳性，C=被诊断患有癌症 则有：已知某一群体P(C)=0.005，问这种方法能否用于普查？,若P(C)较大，不妨设P(C)=0.8推出P(C|A)=0.987说明这种试验方法可在医院用,解：考察P(C|A)的值,若用于普查，100个阳性病人中被诊断患有癌症的大约有8.7个，所以不宜用于普查。,7,例：甲、乙两人同时向一目标射击，甲击中 率为0.8，乙击中率为0.7，求目标被击中的概率。,解：设 A=甲击
4、中,B=乙击中C=目标被击中,甲、乙同时射击，其结果互不影响，A，B相互独立,8,例：有4个独立元件构成的系统(如图)，设每个元 件能正常运行的概率为p，求系统正常运行的 概率。,注意：这里系统的概念与电路 中的系统概念不同,9,10,下列给出的是不是某个随机变量的分布列？(1)(2)(3)解（1）是（2）不是随机变量的分布列。（3）所以它不是随机变量的分布列。,11,设随机变量的分布列为：求(1)(2)(3),12,解：x=0,1,2,Px=0=0.1*0.1=0.01Px=1=2*0.1*0.9=0.18Px=0=0.9*0.9=0.81概率和为1 X 0 1 2 P 0.01 0.18
5、0.81,1.某篮球运动员投中蓝的概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数x的概率分布。,13,设随机变量的分布列为求C的值。,14,15,16,若p较小，p0,只要n充分大，至少有一次命中的概率很大。即“小概率事件”在大量试验中“至少有一次发生”几乎是必然的。,17,例4：设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能有一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4个人维护，每人负责20台；其二是由3个人共同维护80台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。,18,19,泊松分布(Poisson分布)若随机变量X的概率分布律为
6、称X服从参数为的泊松分布，记,例：设某汽车停靠站候车人数(1)求至少有两人候车的概率；(2)已知至少有两人候车，求恰有两人候车的概率。解：,20,21,某人进行射击,每次命中率为0.02,独立射击400次,试求至少击中两次的概率。,22,23,24,25,26,27,28,函数 在下列范围内取值；它是否可作为一个连续型随机变量的密度函数？解：作为连续型随机变量的密度函数，在定义范围内满足 故可作为密度函数；不可 不可,29,30,31,设连续型随机变量的分布函数为,1.求A；2.求密度；3.求1.2.,32,33,34,35,例：一批钢材(线材)长度(1)若=100，=2，求这批钢材长度小于9
7、7.8cm的概率；(2)若=100，要使这批钢材的长度至少有90%落在区间(97,103)内，问至多取何值？,36,例：设某地区男子身高(1)从该地区随机找一男子测身高，求他的身高大于175cm的概率；(2)若从中随机找5个男子测身高,问至少有一人身高大于175cm的概率是多少？恰有一人身高大于175cm的概率为多少？,37,38,39,例：在区间(-1,2)上随机取一数X，试写出X的概率密度。并求 的值；若在该区间上随机取10个数，求10个数中恰有两个数大于0的概率。,解：X在区间(-1,2)上均匀分布,设10个数中有Y个数大于0，,则：,40,5 随机变量的函数分布问题：已知随机变量X的概
8、率分布，且已知Y=g(X)，求Y的概率分布。,例如，若要测量一个圆的面积，总是测量其半径，半径的测量值可看作随机变量X，若 则Y服从什么分布？,41,即找出(Y=0)的等价事件(X=1)；(Y=4)的等价事件(X=-1)；(Y=1)的等价事件(X=0)或(X=2),42,43,44,45,例：设 Y=2X,Z=X2,求Y,Z的概率分布。,解：Y的可能取值为-2,0,2 Z的可能取值为0,1(Y=-2)的等价事件为(X=-1)(Z=1)的等价事件为(X=1)(X=-1),故得：,46,例：,47,48,解,故当 y 0 或 y 1 时,f Y(y)=0,由图可知,Y 的取值范围为(0,1),例7,例7 设 X 的 p.d.f.为,49,当0 y 1 时,故,
