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1、为更好地揭示随机现象的规律性并利用数学工具描述其规律,有必要引入随机变量来描述随机试验的不同结果.,例 电脑寿命可用一个连续变量 T 来描述.,例 检测一件产品可能出现的两个结果,也可以用一个离散 变量来描述,第二章 离散型随机变量,第一节 随机变量,设 是试验E的样本空间,若,则称 X()为 上的 随机变量,r.v.一般用大写字母 X,Y,Z,或小写希腊字母,表示.,定义,简记 r.v.X.,此映射具有如下特点,表示“某天9:00 10:00 接到电话次数超过100次”这一事件,为事件A 的示性变量,=儿童的发育情况,X()身高,Y()体重,Z()头围.,各 r.v.之间可能有一定的关系,也
2、可能没有关系 即 相互独立,离散型,非离散型,r.v.分类,引入 r.v.重要意义,任何随机现象可 被 r.v.描述,借助微积分方法 将讨论进行到底,2.2离散型随机变量及其概率分布,定义,若随机变量 X 的可能取值是有限个或可列个,则称 X 为离散型随机变量,描述X 的概率特性常用概率分布或分布律,或,即,分布律的性质,X,或,F(x)是分段阶梯函数,在 X 的可能取值 xk 处发生间断,间断点为第一类跳跃间断点,在间断点处有跃度 pk.,其中.,解,例1 设汽车在开往甲地途中需经 过 4 盏信号灯,每盏信号灯独立地 以概率 p 允许汽车通过.,首次停下时已通过的信号灯盏数,求 X 的概率分
3、布与 p=0.4 时的分布函数.,令 X 表示,0.6,0.24,0.096,0.0384,0.0256,代入,1,用分布律或分布函数来计算事件的概率,例2 在上例中,分别用分布律与分布函数计 算,解,或,此式应理解为极限,一、0 1 分布,是否超标等等.,凡试验只有两个结果,常用0 1,分布描述,如产品是否合格、人,口性别统计、系统是否正常、电力消耗,0 p 1,或,2.3 二项分布,二、二项分布,n 重Bernoulli 试验中,X 是事件A 在 n 次试验中发生的次数,P(A)=p,若,则称 X 服从参数为n,p 的二项分布，记作,01 分布是 n=1 的二项分布,二项分布的取值情况,设
4、,由图表可见,当 时，,分布取得最大值,此时的 称为最可能成功次数,设,由图表可见,当 时，,分布取得最大值,二项分布中最可能出现次数的定义与推导,则称 为最可能出现的次数,当(n+1)p 整数时,在 k=(n+1)p 处的概率取得最大值,例4 独立射击5000次,命中率为0.001,解(1)k=(n+1)p,=(5000+1)0.001=5,求(1)最可能命中次数及相应的概率；,(2)命中次数不少于1 次的概率.,(2)令X 表示命中次数,则 X B(5000,0.001),本例启示,由此可见日常生活中“提高警惕,防火,由于时间无限,自然界发生地震、海,啸、空难、泥石流等都是必然的，早晚的,
5、同样,人生中发生车祸、失恋、患绝,症、考试不及格、炒股大亏损等都是正常,现象,大可不必怨天尤人,更不要想不开而,防盗”的重要性.,事，不用奇怪，不用惊慌.,跳楼自杀.,则对固定的 k,设,一、Possion定理,Poisson定理说明若X B(n,p),则当n 较大，p 较小,而 适中,则可以用近似公式,问题 如何计算？,2.4 泊松定理和泊松分布,由题意,多少个产品？,得 n+1=6,n=5,故每箱至少应装105个产品,才能符合要求.,应用Poisson定理,在实际计算中,当 n 20,p 0.05时,可用上述公式近似计算;而当 n 100,np 10 时,精度更好,0 0.349 0.35
6、8 0.369 0.366 0.368,1 0.305 0.377 0.372 0.370 0.368,2 0.194 0.189 0.186 0.185 0.184,3 0.057 0.060 0.060 0.061 0.061,4 0.011 0.013 0.014 0.015 0.015,在Poisson 定理中，,由此产生了一种离散型随机变量的概率分布 Poisson 分布,二、Poisson 分布,若,的Poisson 分布.,在某个时段内：,大卖场的顾客数；,某地区拨错号的电话呼唤次数；,市级医院急诊病人数；,某地区发生的交通事故的次数.,一个容器中的细菌数；,一本书一页中的印刷错
7、误数；,一匹布上的疵点个数；,放射性物质发出的 粒子数；,都可以看作是源源不断出现的随机质点流,若它们满足一定的条件,则称为 Poisson 流,在 长为 t 的时间内出现的质点数 Xt P(t),例2 设一只昆虫所生虫卵数为随机变量 X,设各个虫卵是否能发育成幼虫是相互独立的.,已知X P()，且每个虫卵发育,成幼虫的概率为 p.,求一昆虫所生的虫卵发育成幼虫数 Y 的概率分布.,解,昆虫,X 个虫卵,Y 个幼虫,已知,由全概率公式,故,若离散型随机变量 的分布律为其中 NM，n N-M，s=minM，N，则称 服从超几何分布。,定理 在超几何分布中，设n固定不变，M依赖于N的变化，且极限
8、存在，则有,2.5 超几何分布,定义 满足一下条件的称为负二项分布（1）.实验包含一系列独立的实验；（2）.每个实验都有成功、失败两种结果；（3）.成功的概率是恒定的；（4）.实验持续到r次成功，r为正整数.当r是整数时，负二项分布又称帕斯卡分布，其概率函数为它表示，在一连串伯努利试验中，第r次成功正好出现在第k次试验，前k-1次试验中有r-1次成功.取r=1，负二项分布等于几何分布。其概率函数为 P39例,2.6 负二项分布（帕斯卡分布）,定义 若已知，且函数 的一切可能值两两不等，则(i=1,2,)就是Y的概率分布，否则将各相等的 值对应的概率相加，即可得到的概率分布P40 例,2.7 函数分布,
