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1、第二节 离散型随机变量的概率分布,离散型随机变量及其分布律,常见的离散型随机变量的概率分布,掷骰子出现的点数X,取值范围为1,2,3,4,5,6,110报警台一天接到的报警次数Y,取值范围为0,1,2.,定义：某些随机变量X的所有可能取值是有限多个或可列无限多个,这种随机变量称为离散型随机变量.,离散型随机变量及其分布律,定义：设 xk(k=1,2,)是离散型随机变量 X 所 取的一切可能值,且,则称 为离散型随机变量 X 的分布律.,用这两条性质判断一个数列是否是分布律,其中 满足：,离散型随机变量表示方法,（1）公式法,（2）列表法,例.袋中有5只乒乓球，编号为1至5，从袋中任取3 只，若
2、以X 表示取到的球的最大号码，试写出X的分布律为.,解,X的所有可能取值为3,4,5.,即,例.设有一批产品20件，其中有3件次品，从中任意抽取2件，如果用X表示取得的次品数，求随机变量X的分布律及事件“至少抽得一件次品”的概率.,解：X 的可能取值为 0，1，2,PX=1,PX=2,PX=0,故X 的分布律为,而“至少抽得一件次品”=X1,=X=1X=2,PX1=PX=1+PX=2,注意：X=1与X=2互斥的！,实际上，这仍是古典概型的计算题，只是表达事件的方式变了,故,设 随机变量 X 的分布律为,例,（1）求 X 的分布函数 F(x).,F(x)=P(X x),解,当 x0 时，X x=
3、，故 F(x)=0,（2）求,F(x)=PX x=P(X=0)=0.3,当 0 X 1 时，,F(x)=PX x=PX=0+PX=1=0.3+0.6=0.9,当 1 X 2 时，,F(x)=PX=0+PX=1+PX=2=1,当 X 2 时，,故,下面我们从图形上来看一下.,的分布函数图,间断点为X的可能取点,跳跃高度为间断点的概率.,（2）,则称X服从参数为 p 的二点分布或(0-1)分布，,背景：样本空间只有两个样本点的情况 都可以用两点分布来 描述。,定义：若随机变量X的分布律为:,常见的离散型分布,1.（0-1）分布：（也称两点分布）,简记为.,例.,如果一次射击击中目标的概率为0.8，
4、求一次射击击中次数X的分布律.,解：,即X 服从两点分布,X,P,0,1,0.2,0.8,X的所有可能取值为0,1.,定义：若随机变量X 满足,(1)X 可能取0,1,2.n.,(2),k=0,1,n.其中0p1,q=1-p,则称 X 服从参数为n,p的二项分布,记为XB(n,p).,2.二项分布,例.某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率.,解:设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数.,X B(3,0.8)，,把观察一个灯泡的使用时数看作一次试验,“使用到1000小时已坏”视为事件A.每次试验,A 出现的概率为0.8,P
5、X 1=PX=0+PX=1,=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2,=0.104,练习：一大批种子发芽率为90%，今从中任取10粒.求播种后,（1）恰有8粒发芽的概率；（2）不小于8粒发芽的概率。,解,XB（10,0.9）,(1)P(X=8)=,P(X=8)+P(X=9)+P(X=10),3.几何分布,定义：设随机变量 X 的所有可能取值为 0,1，,且它的分布律为,其中,则称 X 服从参数为 p 的几何分布，,记为,例 某篮球运动员投中篮圈概率是0.1，各次投篮的结果互相独立，求他首次投中时投篮次数X 的概率分布，以及他在5次内投中的概率.,解：,分布律为：,4.超几何分布,定义：如果X
6、的分布列为,(M,N,n),则称X 服从参数为 的超几何分布.,例如从全班任选n个人，选到女生的人数；从扑克牌中取n张，取到黑桃的张数；买n张彩票，中奖的张数，等等都可以用超几何分布描述。,注：超几何分布的模型是不放回抽样,例：从装有3个红球，2个白球的袋中随机抽出2个球，求取得红球个数 X 的分布律.,解：X 服从超几何分布，其中N=5,M=3,n=2,其中 0,则称X 服从参数为的泊松分布,XP(),5.泊松分布,定义：设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,且概率分布为：,电话呼唤次数,交通事故次数,商场接待的顾客数,地震,火山爆发,特大洪水,在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从泊松分布.,例：,泊松定理,实际应用中：当n较大,p较小，np适中时，即可用泊松公式近似替换二项概率公式,二项分布的泊松近似,例 某人进行射击，设每次的命中率为0.01，独立射击400次.求至少击中两次的概率.,解:设X 为击中的总次数，,所求概率为,查泊松分布表（附表）,则XB(400，0.01).,利用泊松定理，,
