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1、第4章 控制系统稳定性分析 4.1 稳定性定义与稳定性条件,当系统受到扰动后，其状态偏离平衡状态，在随后所有时间内，系统的响应可能出现下列情况：1)系统的自由响应是有界的；2)系统的自由响应是无界的；3)系统的自由响应不但是有界的，而且最终回到原先的平衡状态。李雅普诺夫把上述三种情况分别定义为稳定的、不稳定的和渐进稳定的。显然，如果系统不稳定，则系统的响应是无界的，系统的输出将逐渐增加直到损坏系统，或者进入振荡状态。因此，系统稳定是保证系统能正常工作的首要条件。稳定性是控制系统最基本的性质。李雅普诺夫用范数作为状态空间“尺度”的度量。,4.1.1 范数的概念,1.向量的范数 定义：n维向量空间
2、 的范数定义为:(4.1)2.矩阵的范数 定义：mxn矩阵A的范数定义为:(4.2),(4.3)4.1.2 平衡状态 系统没有输入作用时，处于自由运动状态。当系统到达某状态，并且维持在此状态而不再发生变化的，这样的状态称为系统的平衡状态。根据平衡状态的定义可知,连续系统 的平衡状态 是满足平衡方程 即 的系统状态。离散系统 的平衡状态，是对所有的k，都满足平衡方程 的系统状态。,首先讨论线性系统 的平衡状态。由于平衡状态为，因此，当A为非奇异矩阵时，系统只有一个平衡状态；当A为奇异矩阵时，系统有无穷多个平衡状态。对于非线性系统，可能有一个平衡状态，也可能有多个平衡状态。这些平衡状态都可以由平衡
3、方程解得。下面举例说明。,例4.1 求下列非线性系统的平衡状态 解 由平衡状态定义，平衡状态 应满足:得非线性系统有三个平衡状态：,.,4.1.3 李雅普诺夫稳定性定义,1.稳定 定义:如果对于任意给定的每个实数,都对应存在着另一实数,使得从满足不等式 的任意初态 出发的系统响应,在所有的时间内都满足 则称系统的平衡状态 是稳定的.若 与 的选取无关,则称平衡状态 是一致稳定的.,2.渐近稳定 定义：若平衡状态 是李雅普诺夫意义下稳定的，并且当 时，,即，则称平衡状态是渐进稳定的。3.大范围（渐近）稳定 定义：如果对任意大的，系统总是稳定的，则称系统是大范围（渐进）稳定的。如果系统总是渐进稳定
4、的，则称系统是大范围渐进稳定的。,4.不稳定 定义：如果对于某一实数，不论 取多小，由 内出发的轨迹，至少有一条轨迹越出，则称平衡状态为不稳定.上述定义对于离散系统也是适用的，只是将连续时间t理解为离散时间k。注意:稳定性讨论的是系统没有输入（包括参考输入和扰动）作用或者输入作用消失以后的自由运动状态。所以，通常通过分析系统的零输入响应，或者脉冲响应来分析系统的稳定性。,4.1.4 线性定常连续系统的稳定性条件,1.SISO线性定常连续系统稳定的条件 设描述SISO线性定常连续系统的微分方程为:(4.4)则系统的特征方程为:(4.5),设特征方程(4.5)有k个实根，r对共轭复根，则系统的脉冲
5、响应为:(4.6)从上式可以看出：1）若，均为负实部，则有，因此，当所有特征根的实部都为负时，系统是稳定的；2）若，中有一个或者几个为正，则有，因此，当特征根中有一个或者几个为正实部时，系统是不稳定的；,3）若 中有一个或者几个为零,而其它，均为负，则有 为常数。若 中有一个或者几个为零，而其它、均为负，则y(t)的稳态分量则为正弦函数。因此，当特征根中有一个或者几个为零，而其它极点均为负实部时，系统是一种临界情况，称为临界稳定的。临界稳定在李氏稳定性意义下是稳定的，但在工程上是不允许系统工作在临界稳定状态的，所以，临界稳定在工程上是不稳定的。结论：线性定常连续系统稳定的充分必要条件是，系统的
6、全部特征根或闭环极点都具有负实部，或者说都位于复平面左半部。,2.MIMO线性定常连续系统稳定的条件 描述MIMO线性定常连续系统的状态方程为：（4.7）设A有相异特征值，则存在非奇异线性变换，使 为对角矩阵，即:非奇异线性变换后的状态方程的零输入解为:,由于，所以，原状态方程的零输入解为:(4.8)可见(4.9)将上式展开,的每个元素都是 的线性组合，所以可写成矩阵多项式:,所以(4.10)从上式可见，当A的所有特征值位于复平面左半平面，即，则对任意x(0)，有，系统渐进稳定。只要有一个特征值的实部大于零，对于，系统不稳定。当有特征值的实部等于零，而其它特征值的实部小于零，则随着时间的增加，
7、x(t)趋于常值或者为正弦波，系统是李雅普诺夫意义下稳定的，或者称为临界稳定的。,当A具有重特征值时,x(t)含有 诸项，稳定性结论同上。结论：MIMO线性定常连续系统稳定的充分必要条件是，系统矩阵A的全部特征值具有负实部，或者说都位于复平面左半部。,4.1.5 线性定常离散系统的稳定性,1.SISO线性定常离散系统稳定性条件 设线性定常离散系统的脉冲传递函数为，则系统输出的Z变换为：(4.11)现在讨论系统在单位脉冲序列离散信(R(z)=1)作用下的输出响应序列。,（1）有个互异的单极点，。Y(z)可以展成:相应的脉冲响应序列为:(4.12)如果所有的极点在单位圆内,即，则，所以，系统是渐近
8、稳定的。,如果其中有一个极点在单位圆上，设，而其余极点均在单位圆内，则，所以，系统是李雅普诺夫意义下稳定的，又称临界稳定。如果有一个或一个以上的极点在单位圆外,则，所以，系统是不稳定的。,（2）有一对共轭复数极点 对应这一对复数极点的脉冲响应序列是:由于特征方程是实系数，所以，必定是共轭的。设,代入上式得:(4.13)由此可见，该对复数极点若在单位圆内（），系统是渐近稳定的；若在单位圆外（），系统是不稳定的；在单位圆上（），系统是临界稳定的。,（3）含有重极点 不失一般性，设含有两重极点，则Y(z)可展开为:对应的脉冲响应序列为:(4.14),显然，若重极点在单位圆内，即，系统是渐近稳定的；重
9、极点在单位圆外,即，系统是不稳定的；重极点在单位圆上,即，由式（4.14）可得:系统是不稳定的。结论：线性定常离散系统稳定的充分必要条件是，闭环脉冲传递函数的所有极点都位于平面的单位圆内。,2.MIMO线性定常离散系统稳定性条件 设线性定常离散系统的状态方程为:(4.15)做非奇异线性变换,式(4.15)变换为:(4.16),（1）A有n个互异的特征值，总可以找到一个非奇异阵P，使矩阵 化为对角型，即 于是(4.17)根据状态转移矩阵的定义，方程(4.17)的解为(4.18),变换回原来的变量，有(4.19)由式(4.19)看出：当 时，的充分必要条件是，。（2）特征值是特征方程的重根 不失一般性，设为两重根。经非奇异线性变换可以化为下面的约当型：(4.20),状态方程(4.20)的状态转移矩阵为:齐次方程(4.20)的解为:(4.21)显然，当 时，都趋于零的充分必要条件是。,结论：线性定常离散系统稳定的充分必要条件是:所有特征值全部在复平面的单位圆内。,
