自动控制原理第九章非线性控制系统.ppt

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1、第九章 非线性控制系统,非线性系统一般由三部分组成:被控对象，执行机构，测量装置,第一节 概述,一般数学数学描述 分类：定常、时变；连续、离散,放大元件由于受电源电压或输出功率的限制，在输入电压超过放大器的线性工作范围时，呈现饱和现象(a).执行元件的电动机，由于轴上存在着摩擦力矩和负载力矩，只有在电枢电压达到一定数值后，电枢才会转动,存在着死区;而当电枢电压达到定数值时，电机转速将不再增加呈现饱和现象，如（b）传动机构受加工和装备精度限制，换向时存在着间隙特性，如（c）。,（a）,非线性环节举例：,（b）,（c）,线性系统与非线性系统的区别,对于线性系统而言，一旦给定某个线性系统，那么在此系

2、统中，只有一种运动形式，而且所有的状态变量都与其初值成比例。而非线性系统则不同，随着初始状态的不同，系统可能出现不同类型的运动。,首先讨论线性系统：，此系统的解可以表示为：如研究另一个初始状态，它是x0的k倍，则由此初始状态出发的系统运动为：可以看出，从不同初始状态出发的线性系统运动属于同一类型，而且成比例,举例说明,线性系统在不同初始条件下的运动,以具体的二阶系统范德波尔方程(非线性系统）为例:对于范德波尔方程来讲，系统存在三种不同的运动形式：周期运动，收敛运动和发散运动，而且完全由初始状态决定。,范德波尔方程不同初始条件下的运动,轨线C收敛振荡，收敛到轨线A的周期运动。,系统能够克服扰动对

3、状态的影响，保持固定振幅和频率的稳定周期运动A，称之为自振。,轨线A等幅周期振荡；,轨线B发散振荡，趋向于轨线A的周期运动；,自振是非线性系统中非常重要的一种运动形式，分析自振的产生原因，确定自振的频率和幅值，研究自振的抑制方法是非线性系统分析的重要内容。事实上，非线性系统的内容十分丰富，运动类型很多，除自振以外，还会出现一些线性系统中不可能出现的特性，如跳跃、多平衡状态、混沌、甚至是更复杂的过渡过程等。而且对于每一运动现象，也呈现出丰富的多样性，如自振，系统就可以有不同类型、数目、特点的自振。系统处于长时间大幅度的振荡作用下，会造成机械磨损、控制误差增大等，因此多数情况下不希望系统有自振发生

4、。但某些时候通过在控制中引入高频小幅值的颤振，可克服间歇、死区等非线性因素的不良影响。,注意：,模型线性化,严格的讲，几乎所有的控制系统都是非线性的，因为系统本身构成系统的各个环节无法用线性关系来描述，那么在线性系统中广泛应用的叠加原理就不再适用了。许多用来分析线性系统的方法和技术就不能用来分析非线性系统。为了继续使用较为成熟的线性系统分析设计方法，通常是把非线性系统近似线性化。这种线性化只适用于非线性程度不严重的情况，如死区较小，输入信号幅值较小，传动机构空隙不大时，都可忽略非线性特征的影响，将其视为线性环节，另外系统工作在某个数值附近的较小范围内，也可以近似看作线性的。最常见的线性化方法就

5、是在工作点进行泰勒展开，然后忽略高阶导数项。,举例1:,举例2:,对于非线性程度比较严重，且系统工作范围较大的非线性系统，建立在线性化基础上的分析和设计方法已经难以得到较为正确的结论，只有采用非线性系统的分析和设计方法才能解决高质量的控制问题。为此，必须针对非线性系统的数学模型，采用非线性控制理论进行研究。,研究非线性控制理论的意义,典型非线性环节及其影响,死区特性；饱和特性,连续非线性特性,死区可由各种原因引起，如静摩擦、电气触点的气隙、触点压力、各种电路中的不灵敏值等等；对系统性能的影响也各不相同，有时可能导致系统不稳定或自激振荡，但有另外一些场合，却有利于系统的稳定性或是消除自振。在随动

6、控制系统中，死区的存在将会增大系统的稳态误差。许多执行元件也都具有饱和特性，例如伺服电机。通常进入饱和区后，系统放大系数下降，从而导致稳态精度降低。实际上，执行元件一般都兼有死区和饱和两种特性。,不连续非线性特性,继电型非线性,继电特性具有各种形态，除理想的继电特性之外，还有带死区、带滞环等环节的继电特性。继电器是控制系统与保护装置中常见的一种器件，继电特性常常使系统产生振荡，如果选择合适的继电特性可以构成正弦信号发生器。,非单值区特性,滞后；间隙,间隙特性一般常见于机械传动装置，例如传动齿轮，由于加工精度的限制和装配缺陷，主动齿轮与从动齿轮之间会产生间隙特性。控制系统中间隙特性的存在，往往促

7、使系统产生自振，稳定性变差，稳态误差增加。,以理想继电器和带有空间滞后的继电器特性为例，说明分段线性化后的数学表达式,非线性系统的研究方法及特点,相平面方法,李亚普诺夫稳定性理论,描述函数法,研究对象是二阶系统，利用系统微分方程在相平面上建立系统解的几何形象，从而获得二阶系统的运动性质。特点：无需求解非线性微分方程，直接给出能够显示系统运动特征的相图，从而获得系统全部运动性质的定性知识。独特优越性：系统存在无限多的轨线运动，只需画出其中几条就可以获得系统全部轨线的概貌。,相平面方法,例：二阶系统（谐振子）,相轨迹方程为 相轨迹是一组椭圆族，系统只发生一种类型的运动相轨迹所表示的周期解，且与初始

8、状态有关。,描述函数法（谐波线性化法）：,非线性处理的近似方法，控制工程中较为普及的一种实用方法。优点：比较简单，解决问题全面，且适用于高阶系统和各种非线性特性。缺点：数学理论基础不完善，得到的结果既不是充分的，也不是必要的，而且在近似过程中会丧失部分非线性信息，从而无法从谐波线性化方程中取得关于非线性系统的某些更复杂现象的本质与特性,系统结构非线性环节的描述函数近似于一个复数增益的比例环节，从而可以利用线性系统的频域分析方法来讨论稳定性。,非线性元件的描述函数就等价于线性系统的频率特性，所以线性系统理论中的频域结果，如奈氏判据，波特图，霍尔维茨判据及根轨迹方法等，几乎可以推广到非线性系统中来

9、研究非线性元件的稳定性、周期解等。,Lypunov稳定性理论：,在非线性系统控制中，它是研究系统稳定性的主要方法Lypunov第一方法：用级数形式的解来研究系统稳定性，即将系统在原点展开成泰勒级数的形式，得到一阶线性近似方程，它的稳定性就决定了非线性系统的稳定性，为一般线性化方法奠定了基础，同时也给出了线性化方法成立的条件Lypunov第二方法：无需求解方程而直接判断解的稳定性。此方法关键是找到一个正定且有界的V(x,t)函数，且保证V函数沿时间t的导数为负定的，那么系统就是稳定的。其中V(x,t)函数可以看作是能量系统的能量函数，从物理学角度来讲，如果一个系统的能量是有限的，且能量随时间的变

10、化率为负时，那么这个系统的所有运动都是有界的，而且最终在能量为零时，所有运动都会返回到平衡位置，即系统达到稳定。,研究方法的特点,目前通常用到的（不是全部）非线性方法有一个基本特点，就是总以某种方式通过线性化而建立起来的。换句话说就是以线性方法为基础加以修补使之能够适应解决非线性问题的需要。,相平面方法：实质是分区线性化方法描述函数方法：谐波线性化方法Lyapunov第一稳定方法：一阶线性化近似化方法Lyapunov第二稳定方法：本质是真正的非线性方法，但一般V函数构造为线性二次型附加修正项的形式，真正的非线性方法也是在线性为基础的情况下才得以实现的,前面介绍的三种方法对非线性系统的分析与控制

11、主要是定性的，与线性系统的研究进展比较起来远远不如，其主要原因就在于没有合适的数学工具。在线性定常系统中，系统的性质仅取决于由系统矩阵表示的各种变换形式，但是对于非线性系统来讲却非常复杂，数学上仅有的可利用结果只是微分几何中局部变换等并不十分完善的工具。微分几何控制理论就是在这种情势下，用微分几何来研究系统的能控性、能观测性等基本特性作为开始发展起来的。非线性系统的微分几何控制理论是近年来非线性控制研究的主流，内容包括基本原理和反馈设计两大部分。,其他非线性研究方法微分几何控制理论：,当然微分几何控制方法在非线性系统的研究中并不是万能的，目前已经发现在涉及到非线性系统的可逆性质以及在动态反馈下

12、的结构性质时呈现病态现象。而且目前对微分几何控制进行介绍的著作中，都是以微分几何，泛函等现代数学知识作为必备基础的，这样在客观上就给一般的工程技术人员或是工科院校的学生造成很大的困难，无法对其实质性成果有一个感性的认识。,“近20年来用微分几何方法研究非线性所取得的成功，就像20世纪50年代用拉氏变换及复变函数理论对单输入单输出系统的研究，或是20世纪60年代用线性代数对多变量线性系统的研究一样，都具有里程碑的性质。”Isidori,为解决微分几何方法中遇到的病态问题，一方面，Fliss成功地把微分代数引入到非线性控制理论中，另一方面，Di Benedetto，Grizzle和Moog从更易于

13、接受的线性代数角度重新考虑了非线性系统的结构性质。基于这方面的理解，从而形成了区别于其他方法的非线性系统的微分代数方法，它已经成为与微分几何方法相辅的工具。,其他非线性研究方法微分代数方法：,系统结构：,注：线性和非线性部分可以分开；绝大多数的线性系统都是低通滤波器，则非线性元件的输出y主要是由低频成分组成，非线性元件 NL就等价于一个线性比例环节；非线性具有奇对称的静态特性。,第二节 描述函数方法,非线性环节：输入为如果输出y(t)在时间段T内是有界可积的（存在最大最小值），则可以展开为Fourier级数：,一 描述函数定义：,当非线性环节具有奇对称特性时，静态分量A0为零,描述函数：在正弦

14、谐波 输入作用下，非线性环节稳态输出中一次谐波分量和输入信号的复数比，即 和 分别为输出一次谐波的幅值、相位,注意：Fourier级数特性：1、y(t)为奇函数:y(t)=-y(-t)，则 2、y(t)为偶函数y(t)=y(-t)，则 3、y(t)为半波对称，则,例1 理想继电非线性,二 描述函数的计算,例2 死区饱和,两个重要的角度：当 时，有当 时，有当 时，有,其中,纯死区,纯饱和,例3 具有滞环的继电特性,例4 继电死区滞环,描述函数的特性,描述函数在数值上等于非线性环节稳态输出的一次谐波与输入函数的复数比，是关于输入幅值X的函数；对于单值的非线性环节，如死区、饱和、继电等环节，其描述

15、函数为实数；对于多值非线性环节，如间隙、带有滞环的继电环节等，其描述函数为复数。从物理意义上来讲，描述函数可以看作是非线性环节的等效复数放大增益。,三 描述函数分析方法,等效方块图NL是非线性环节，Gp（S）是线性环节的传递函数。当系统由多个线性和非线性环节组合而成时，在一些情况下，可以通过等效变换，使系统简化成这种典型结构。,在非线性系统经过简化后，具有典型结构。当系统的线性部分具有较好的低通滤波特性。在非线性环节的输入为正弦信号时，实际输出中必定含有高次谐波分量，经过线性部分传递之后，由于低通滤波作用，高次滤波分量将被大大削弱，因此保证闭环通道内近似地只有一次斜波分量流通，从而保证对非线性

16、环节可以用描述函数来表示。描述函数就可以作为一个具有复变增益的比例环节。这样非线性系统经过谐波线性化后就等效为线性系统。应用线性系统的频率稳定判据分析非线性系统的稳定性。,说明,等效变换的原则是在参考输入r(t)=0的条件下，根据非线性特性的串、并联把非线性部分简化成一个等效非线性环节，然后在保持等效非线性环节的输入输出关系不变的基础上来化简线性部分。,根据各线性环节输入输出关系图再求N（X）,非线性并联,非线性串联,等效线性环节：,举例,等效线性环节：,举例,闭环非线性系统等效传函特征方程,描述函数分析法：,稳定判据：由 和 判断系统稳定性：当 包围 系统不稳定;当 不包围 系统稳定;当 穿

17、过 系统临界稳定，周期振荡,不稳定 极限环 稳定,极限环：当 穿过 时对应的等幅周期振荡即为极限环交点的位置确定了极限环的幅值和频率,极限环的稳定性,D:不包围-稳定振荡，振幅衰减，系统向稳定方向发展 C:包围-不稳定，振幅增加，C点向着B点移动 F:包围-不稳定，振幅增加，F点也向着B点移动 E:不包围-稳定，振幅衰减，E点也向着B点移动,A,B:极限环,C,D,E,F:不同振幅的振荡,分析：,结论：A点极限环是不稳定的;B点极限环是稳定的,极限环稳定性判据：在曲线 和曲线 的交点处，如果曲线 沿着振幅X增加的方向，从不稳定区域（曲线 包围的区域）进入稳定区域（曲线 不包围的区域），那么该点

18、的极限环振荡是稳定的；反之，就称该点对应的极限环振荡是不稳定的。,Step1 写出闭环特征方程：Step2 当 是实函数Step3 当 是复函数,极限环的计算,例1 分析极限环：给定线性系统和死区非线性元件,根据给定的非线性元件描述函数，可知：线性部分在K1时对应的曲线G（jw）如图中曲线1所示，其中穿越频率与负实轴的交点为,解：,欲调整增益使其出现极限环，如曲线2，有即当K=3时，系统不稳定，存在极限环，且极限环是不稳定的。,不包围，给定非线性系统是稳定的,例2：试用描述函数方法分析：,（1）k=15时，非线性系统的运动。（2）欲使系统不出现自振荡，确定k的临界值。,例3 分析极限环，给定非

19、线性环节Step 1 画出闭环系统的结构图,Step 2 计算系统的传函与描述函数：,Step 3 稳定性分析,闭环系统是不稳定的，极限环稳定,Step 4 计算极限环周期振荡的频率和幅值,总结,描述函数方法给出了系统稳定性的有关信息，但是无法给出系统的瞬时响应信息。描述函数方法是一种近似方法：线性部分是一个低通滤波器；与 越垂直，结果就越准确。,More accurate Less accurate,采用正弦波作为输入得到的描述函数方法要比以其他函数为输入得到的描述函数方法准确。采用描述函数方法遇到的困难程度和获得结果的准确程度与非线性环节的复杂程度有关。对于多个非线性环节的组合，如下图，,

20、第三节 相平面方法,相轨迹的特点相轨迹的绘制方法奇点与极限环线性系统相平面分析非线性系统相平面分析总结,适应于二阶非线性系统：,1 上半平面：x增加,方向从左到右2 下半平面：x减少,方向从右到左3 所有的轨迹如果穿过x轴，则方向必定是垂直的。4 奇点是平衡点，对所有二阶系统均在x轴上,一 相轨迹的特点,二 相轨迹的绘制方法,解析法：例1：给定二阶系统解：利用积分得：,例2 给定系统解：由方程 可得：由初始条件可知：,图解法等倾线法：等倾线：穿过曲线 上任意一点的所有相轨迹均具有相同的斜率，也就是具有相同的运动方向。,一组不同的斜率值，就定义了一组不同的等倾线。所有这些等倾线给出了相轨迹切线的

21、方向场。等倾线法的基本思想是确定相轨迹的等倾线，进而绘出相轨迹的切线方向场，然后从初始条件出发，沿方向场逐步绘制相轨迹。,例3 采用等倾线法画出给定系统的相轨迹：解：系统可以写作令，则有,给定不同的斜率值，就定义了不同的等倾线。,假定：，则有等倾线方程为：,当 时，当 时，当 时，当 时，当 时，,图解法 法A 相轨迹可以看作是一系列的中心在x轴上的小圆弧连接而成B 动力学方程可以写成：其中 是一个连续的单值函数。C 将动力学方程左右两边同时加入一函数，得令,D 为便于绘图，可适当选取 和,E 在 邻域内，取F 新的运动方程为,G 对上述方程求解H 相轨迹为 圆心：半径：,例 用 法绘出给定系

22、统的相轨迹（1）系统运动方程为令 则,（2）对于给定点,线性二阶系统的相轨迹,给定线性二阶系统的微分方程其平衡状态只有一个，即原点。对应的特征根为下面对线性二阶系统在不同参数情况下的相平面图进行分析，并由此划分奇点（平衡状态）的类型，,b0，系统特征根为,b0时线性二阶系统的相平面图,b0，系统特征根为,b0时线性二阶系统的相平面图,奇点（平衡状态）为鞍点,b0,系统方程可写为：,1）当，特征根为一对具有负实部的共轭复数根，奇点为稳定焦点，相轨迹如右图,2）当，特征根为一对具有正实部的共轭复数根，奇点为不稳定焦点，相轨迹如右图,3）当，系统特征根为负实数根，奇点为稳定节点,1 斜率为 和 的直

23、线是相轨迹，也是渐近线2 如果，则当 时，所有的相轨迹均趋向于渐近线,说明,4）当，特征根为正实数根，奇点为不稳定节点:,5）当，特征根为一对纯虚数根，奇点为中点,极限环：孤立的闭环相轨迹,稳定极限环 不稳定极限环,半稳定极限环,线性系统相平面分析,例 绘出给定二阶系统的相轨迹解：列出基本方程,输入为阶跃函数：误差方程为：,奇点为 根据二阶系统 时，稳定焦点 时，稳定节点,非线性系统相平面分析,例 求出给定系统的相轨迹：其中非线性环节为：,解：系统方程为在 平面上，存在两个微分方程，分成三个区域。令,输入为阶跃函数：,奇点：，假设因为，所以,小输入(0,0)为稳定节点大输入(0,0)为稳定焦点

24、,相轨迹如右图对于A，C点，(0,0)是稳定焦点对于B，D点，(0,0)是稳定节点,加入非线性环节后，加速系统调节过程：1 当环路中信号较大时：不完全衰减，误差衰减较快2 当环路中信号较小时：严格衰减，完全避免了振荡出现,说明,例2.具有内部负反馈系统相轨迹的绘制与分析,对于具有死区特性的非线性系统，当死区范围较小且线性部分的时间常数教大时，特别容易产生极限环振荡。在非线性控制系统中采用内部反馈的方法来抑制或消除极限环振荡。温度控制系统,解：首先假设系统无内部反馈，根据系统结构图可知：,考虑负反馈作用，则具有继电特性的非线性环节可以写为：,则非线性系统可以用下面两个线性微分方程来描述：,采用解

25、析法可以求出上述两个线性微分方程对应的相轨迹方程：,其中A0和A1是由相轨迹初始点确定的两个常数。两个线性方程对应的相轨迹是两个开口完全相反的抛物线.,无内部反馈的温度控制系统的相轨迹就是封闭极限环曲线，无论从任何初始值出发都会产生自振。只是振荡的幅度和周期不同。,下面分析加入内反馈G2对系统的影响。此时反馈作用可以写作：,信号C(s)与Y(s)之间的关系可以下式来表示：,则带有内部反馈的闭环系统微分方程可以写成：,可见加入内部反馈之后，描述系统的微分方程并未发生改变，但开关线由原来的y=0变为,相轨迹:,可见开关线的变化使得相轨迹由原来的封闭曲线转化成内螺旋形，并最终收敛于原点，这时系统运动

26、由极限环的等幅振荡变成了衰减振荡。内部负反馈的作用就是消除自振。,如果能够通过引入内部反馈来改变开关线，使开关线变成一条过原点且收敛到原点的相轨迹，那么无论是从任何一点出发的运动，只要其到达开关线上，就会沿开关线收敛到原点。这种控制肯定是时间最短的最优控制，称做Bang-Bang控制.,总结,第四节 李亚普诺夫稳定性理论,对于一个给定的控制系统，稳定性分析通常是最重要的。如果系统是线性定常的，那么有很多稳定性判据，如劳斯稳定性判据和奈奎斯特稳定性判据等。然而，如果系统是非线性的，或是线性时变的，则上述稳定性判据将不再适用。分析非线性系统稳定性的描述函数方法和相平面方法也有各自的缺陷，如描述函数

27、方法要求线性部分具有良好的滤波性能，相平面方法只适用于一阶、二阶系统。本节介绍的李亚普诺夫稳定性理论是确定非线性系统、时变系统稳定性的最一般方法。当然，这种方法也可适用于线性定常系统的稳定性分析。,在本节中，除非特别申明，将仅讨论扰动方程关于原点(,)处平衡状态的稳定性问题。,李亚普诺夫意义下的稳定性,考虑如下非线性系统如果在该系统中，总存在则称 为系统的平衡状态或平衡点。,平衡状态,注：任意一个孤立的平衡状态（即彼此孤立的平衡状态）都可通过坐标变换，统一化为扰动方程,的坐标原点，即,或,所谓系统运动的稳定性，也就是研究平衡状态的稳定性，也就是当受扰运动偏离平衡状态之后，能不能依靠自身系统的内

28、部结构因素，而返回到平衡状态，或是限制在它的一个有限邻域之内。下面给出几种不同的lyapunov意义下的稳定性定义。,Lyapunov意义下的稳定性,设系统 的平衡状态 的H邻域为,其中H0，为向量的2范数或欧几里德范数，即 类似地，也可以相应定义球域S(）和S(）。,在H邻域内，若对任意给定的0H，均存在一个(,t0)，使得当t 趋于无穷时，始于S()的轨迹不脱离S(），则系统的平衡状态称为在Lyapunov意义下是稳定的。一般地，实数与和t0有关，如果 与t0无关，则此时平衡状态称为一致稳定的平衡状态。,含义：首先选择一个域S()，对应于每一个S()，必存在一个域S()，使得当t 趋于无穷

29、时，始于S()的轨迹总不脱离域S()，反映出状态运动的有界性。注意：此定义仅要求状态轨迹位于S()域内，并不要求它逼近平衡状态，所以它容许在平衡状态附近存在连续振荡，其状态轨迹是一条被称为极限环的闭合回路，极限环反映了振荡频率和振荡幅度。,L稳定平衡状态及典型轨迹,以二维状态空间为例，平衡状态为原点,如果平衡状态原点，在Lyapunov意义下是稳定的，并且始于域S()的任一条轨迹，当时间t 趋于无穷时，都不脱离S()，且收敛于，则称系统的平衡状态为渐近稳定的，其中球域S()被称为平衡状态的吸引域。如果在上述定义中，实数 与t0无关，则此时平衡状态称为一致渐近稳定的。,渐近稳定平衡状态及典型轨迹

30、,直观含义：有界性渐近性,从工程应用角度来看，渐近稳定性比纯稳定性更重要。实际上，渐近稳定就是工程意义下的稳定，而laypunov意义下的稳定则是工程意义下的临界不稳定。另外对于时变系统，考虑它的一致渐近稳定性要比渐近稳定性有意义的多。,按指数渐近稳定是一致渐近稳定性中的特例，它明确规定了系统状态趋近于平衡状态原点的方式，即按指数形式或按比指数衰减更快的方式趋近原点。对于线性系统来讲，它的一致渐近稳定性就是按指数渐近稳定。,对所有的状态（状态空间中的所有点），如果由这些状态出发的轨迹都保持渐近稳定性，或者说，如果系统的平衡状态渐近稳定的吸引域为整个状态空间，则称此时系统的平衡状态为大范围渐近稳

31、定的。显然，大范围渐近稳定的必要条件是在整个状态空间中只有一个平衡状态。而且对于线性来讲，根据叠加原理，原点的渐近稳定就等价于它的大范围渐近稳定。在控制工程问题中，总希望系统具有大范围渐近稳定的特性。如果平衡状态不是大范围渐近稳定的，那么问题就转化为确定渐近稳定的最大范围或吸引域，这通常非常困难。通常，对所有的实际问题，如能确定一个足够大的渐近稳定的吸引域，以致扰动不会超过它就可以了。,如果对于某个实数0和任一实数 0，在S（）内总存在一个状态，使得始于这一状态的轨迹最终会脱离开S(），那么平衡状态称为不稳定的。,各种稳定性之间的关系：,非线性时变系统：L稳定 渐近稳定 全局渐近稳定一致稳定

32、一致渐稳 全局一致渐稳 按指数稳定 全局按指数稳定,非线性定常系统：一致性概念消失线性时变系统：全局与局部等价，且按指数稳定就等价于一致渐近稳定 线性定常系统：全局与局部等价，且一致性概念消失，渐近稳定就是按指数稳定。,在经典控制理论中，我们已经学过稳定性概念，它与Lyapunov意义下的稳定性概念是有一定的区别的，例如，在经典控制理论中只有渐近稳定的系统才称为稳定的系统。在Lyapunov意义下是稳定的，但却不是渐近稳定的系统，则叫做不稳定系统。两者的区别与联系如下表所示。,李亚普诺夫稳定性理论,由力学经典理论可知，对于一个振动系统，当系统总能量（正定函数）连续减小（这意味着总能量对时间的导

33、数必然是负定的），直到平衡状态时为止，则振动系统是稳定的。李亚普诺夫稳定性理论是建立在更为普遍的情况之上的，即：如果系统有一个渐近稳定的平衡状态，则当其运动到平衡状态的吸引域内时，系统存储的能量随着时间的增长而衰减，直到平稳状态达到极小值为止。李亚普诺夫引出了一个虚构的能量函数，称为李亚普诺夫函数。当然，这个函数无疑比能量更为一般，并且其应用也更广泛。实际上，任一纯量函数只要满足李亚普诺夫稳定性定理的假设条件，都可作为李亚普诺夫函数，通常采用V(x,t)表示。利用其对时间的导数的符号特征，提供了判断平衡状态的稳定性、渐近稳定性或不稳定性的准则，而不必直接求出方程的解（这种方法既适用于线性系统，

34、也适用于非线性系统）。,考虑如下非线性系统式中 如果存在一个具有连续一阶偏导的标量函数V(x,t)，其中V(0,t)=0,且满足以下条件：1、V(x,t)正定且有界（介于两个连续的非减函数之间）；2、负定且有界；3、若则在原点处的平衡状态是大范围一致渐近稳定的。,大范围一致渐近稳定性判别定理1,说明：,(1)这里仅给出了充分条件，也就是说，如果可以构造出了李亚普诺夫函数，那么系统是渐近稳定的。但如果找不到这样的李亚普诺夫函数，则并不能给出任何结论，例如不能据此说该系统是不稳定的。(2)对于渐近稳定的平衡状态，则李亚普诺夫函数必存在。(3)对于非线性系统，通过构造某个具体的李亚普诺夫函数，可以证

35、明系统在某个稳定域内是渐近稳定的，但这并不意味着稳定域外的运动是不稳定的。对于线性系统，如果存在渐近稳定的平衡状态，则它必定是大范围渐近稳定的。(4)这里给出的稳定性定理，既适合于线性系统、非线性系统，也适合于定常系统、时变系统，具有极其一般的普遍意义。,考虑如下非线性系统式中，如果存在一个具有连续一阶偏导的标量函数V(x,t)，其中V(0,t)=0,且定理1中的条件2由下述条件来代替：2、是负半定的,且 对于任意t0和任意x0，其中 表示在t0时刻从x0出发的轨迹或解则在原点处的平衡状态是大范围一致渐近稳定的。,大范围一致渐近稳定性判别定理2,考虑如下非线性系统式中 如果存在一个具有连续一阶

36、偏导的标量函数V(x)，其中V(0)=0,且满足以下条件：1、V(x)正定；2、负定；3、若则在原点处的平衡状态是大范围一致渐近稳定的。,定常系统大范围一致渐近稳定性判别定理1,考虑如下非线性系统式中，如果存在一个具有连续一阶偏导的标量函数V(x)，其中V(0)=0,且定理1的条件2由下述条件来代替：2、是负半定的,且 对于任意t0和任意x0，其中 表示在t0时刻从x0出发的轨迹或解则在原点处的平衡状态是大范围一致渐近稳定的。,定常系统大范围一致渐近稳定性判别定理2,例1 考虑如下非线性系统：,显然原点是唯一的平衡状态。试确定其稳定性。定义一个正定纯量函数,因为V(x)正定，其导数为负定，且

37、则该系统在原点处是大范围渐近稳定的。,例2 考虑如下非线性系统：,原点是唯一的平衡状态。试确定其稳定性定义一个正定纯量函数,V(x)的导数是半负定的，因为使其为零只有两种情况，那么只要检验这两种情况是否为系统的运动解.,Case 1.x1任意，x20，说明除了0,0点以外，x1,0并不是系统的运动解。,Case 2.x1任意，x2-1，结果矛盾，说明x1,1也不是系统的运动解。另外则该系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。,线性定常系统的李亚普诺夫稳定性分析,定理1：线性定常系统其原点为渐近稳定的充要条件是对任意给定的一个正定对称矩阵Q，如下形式的李亚普诺夫矩阵方程 有唯一的正定对称矩阵解

38、P,选取如下二次型李亚普诺夫函数，即 式中P为正定实对称矩阵。沿任一轨迹的时间导数为由于V(x)正定，若保证平衡状态的渐近稳定性，要求为负定的，即Q是正定实对称矩阵。然而采用先给定P阵，然后检验Q阵是否正定的方法很不方便，容易造成P阵的反复选取。因而在实际中，均按照定理1来判别系统的稳定性，,(1)只要选择的矩阵Q为正定的，满足该条件的Q矩阵有无穷多个，而最终系统渐近稳定的判定结果将与矩阵Q的不同选择无关。(2)在确定是否存在一个正定实对称矩阵P时，为方便起见，通常取Q=I，这里I为单位矩阵。从而，P的各元素可按下式确定 然后再检验P是否正定。,说明：,例3 设二阶线性定常系统的状态方程为,平衡状态是原点。试确定该系统的稳定性。取李亚普诺夫函数为,此时实对称矩阵P可由下式确定将矩阵方程展开，可得联立方程组为,解得：为了检验P的正定性，校核各主子行列式 显然，P是正定的。因此，在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的,