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1、根轨迹概念,常规根轨迹：在负反馈系统，开环系统根轨增益K*由0 变化到，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。根轨迹与系统性能（稳定性）密切相关。,广义根轨迹：除根轨增益K*以外的其他情况下的根轨 迹称广义根轨迹。参数根轨迹：在负反馈系统，以非根轨增益K*为可变参数绘制的根轨迹。零度根轨迹：在正反馈系统，开环系统根轨增益 K*由0变化到，闭环特征根在s平 面上移动的轨迹。,根轨迹方程,特征方程 1+G（s）H(s)=0,1,+,K*,这种形式的特征方程就是根轨迹方程,根轨迹的模值条件与相角条件,-1,绘制根轨迹的基本法则,1,根轨迹的条数,2,根轨迹对称于 轴,实,就是特征根的个数,3,根轨迹起始于
2、,终止于,开环极点,开环零点,4,n-m条渐近线对称于实轴,均起于a 点,方,向由a确定:,k=0,1,2,5,实轴上的根轨迹,6,根轨迹的会合与分离,1 说明什么,2 d的推导,3 分离角定义,实轴上某段右侧零、极点个数之和为奇数，则该段是根轨迹,k=0,1,2,无零点时右边为零,L为来会合的根轨迹条数,7,与虚轴的交点,或,8,起始角与终止角,根轨迹示例1,根轨迹示例2,j,0,n=1;d=conv(1 2 0,1 2 2);rlocus(n,d),n=1 2;d=conv(1 2 5,1 6 10);rlocus(n,d),变化的参数不是开环根轨迹增益K*的根轨迹,解题关键：要将开环传函
3、变形，将非开环增益的参数变换到开环增益的位置。,参数根轨迹,注意：该变形是在等效变换的基础上得来的“等效”仅在闭环极点相同这一点上成立。,零度根轨迹,特征方程为以下形式时，绘制零度根轨迹,零度根轨迹的模值条件与相角条件,零度,绘制零度根轨迹的基本法则,举例说明,利用根轨迹分析系统的性能,例一、设反馈控制系统中,要求：（1）概略绘制系统轨迹图，判断系统的稳定性。（2）如果改变反馈通路传递函数使 H(s)=1+2S 试判断 H(s)改变后系统的稳定性，研究 H(s)改变所产生的效应。,解：（1）系统无开环零点，开环极点 为：P1=P2=0,P3=2,P4=5,实轴上根轨迹区间为：5，2，0，0,根
4、轨迹渐近线条数为：4，且：,由分离点方程：,得：,0,2,5,无论 K*取何值，闭环系统恒不稳定,（2）当H(s)=1+2S 时，系统开环传递函数为：,其中 K1*=2K*.H(s)的改变使系统增加了一个开环零点。,实轴上的根轨迹区间为：，5，2,0.5,0,0,根轨迹渐近线条数为：3 且：,系统闭环特征方程为:,列劳斯表 S4 1 10 K*S3 7 2K*S2 K*S,当 K*=22.75 时，劳斯表 S 行的元素全为零。由辅助方程：,解得根轨迹与虚轴的交点为：S 1,2=j2.55.,0,0.5,2,5,由右图可知，当 0 K*22.75 时，闭环系统稳定,例二、已知系统开环传递函数，试
5、应用根轨迹法 分析系统的稳定性，并计算闭环主导极点 具有阻尼比=0.5 时的性能指标。,解：,1、作根轨迹图有三条根轨迹实轴上（0 1），（2）为 根轨迹段渐近线夹角与坐标：,分离点坐标 d,d1=0.423,d2=1.58 d2 不在根轨 迹段上，故舍去。,求虚轴交点坐标,令 S=jw 得：,0,1,2,d1,1.414,1.414,2、分析系统稳定性,当系统开环增益 K 3 时，根轨迹将有两条分支伸向S平面的右半部，这时系统不稳定，所以系统稳定的开环增益范围为：0 K 3,3、根据对阻尼比的要求，确定闭环主导极点 S1,S2 的位置。,首先，在S平面上画出=0.5 时的阻尼线，使其与实轴负方向的夹角为:=cos 1=cos 1 0.5=600，阻尼线与根轨迹相交点的坐标设为S1，则从根轨迹图上可测得：S1=0.33+j0.58 与 S2=0.33 j0.58,利用根轨迹的模值方程可求得与S1点对应的k*值,下面确定除S1,S2极点以外的第三个极点的位置,已知两个极点 S1,2=0.33 j0.58,用综合除法可求得第三个极点 S3=2.34,S3 离虚轴的距离是 S1,2 的7倍，可认为 S1,2 为 主导极点。这样，可根据闭环主导极点 S1,2 来估算系统的性能指标。系统闭环传递函数近似为二阶系统的形式：,%=16.3%,
