自动控制原理第四章根轨迹法.ppt

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1、第四章 根轨迹法,第一节 根轨迹与根轨迹方程一、根轨迹当系统的某个参数（如开环增益K）由0到变化时，闭环特征根在S平面上运动的轨迹。,根轨迹举例,例：GK(S)=K/S(0.5S+1)=2K/S(S+2)GB(S)=2K/(S2+2S+2K)特征方程：S2+2S+2K=0,根轨迹举例,由此关系逐点描绘出K由0到变化时，闭环特征根在S平面上运动的轨迹-根轨迹。根轨迹图直观地表示了参数K变化时，闭环特征根S1，S2所发生的变化。,根轨迹举例,由上述根轨迹图可知：1当开环增益由0到变化时，根轨迹均在S平面的左半部，因此系统对所有K值都是稳定的。2当0K0.5时，闭环特征根为实根，系统呈过阻尼状 态，

2、阶跃响应为非周期过程。,根轨迹举例,3当K=0.5时，闭环特征根为重根，系统呈临界阻尼状态,阶跃响应为非周期过程。4当K0.5时，闭环特征根为共轭复根，系统呈欠阻尼状态，阶跃响应为衰减振荡。5因为根轨迹的一个起点（开环传递函数的极点）位于坐标原 点，所以系统为I型系统。,二、根轨迹方程,GB(S)=G(S)/1+G(S)H(S)绘制根轨迹实质上还是寻求闭环特征方程的根。特征方程:1+G(S)H(S)=0 根轨迹方程:Gk(S)=G(S)H(S)=-1（矢量方程）幅值条件:G(S)H(S)=1 幅角条件:G(S)H(S)=(2K+1),开环传递函数的标准形式,绘制根轨迹时开环传递函数的标准形式：

3、K*(S-Z1)(S-Z2)(S-Zm)G(S)H(S)=(S-P1)(S-P2)(S-Pn)其中：K*根迹增益 Zm开环零点 Pn开环极点,开环传递函数的标准形式举例,例：将下面的开环传递函数化成标准形式 10(5S+1)10*5S+(1/5)25/3(S+1/5)G(S)H(S)=-(2S+1)(3S+1)2*3(S+1/2)(S+1/3)(S+1/2)(S+1/3)K=10 开环增益 K*=25/3 根迹增益 K*=K(P1 P2 Pn)/(Z1 Z2 Zm),第二节 绘制根轨迹的基本法则,一、根轨迹的分支数根轨迹在S平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数。证明：n阶特征对应有n个特征根。

4、当开环增益K由0到变化时，这n个特征根随K变化必然会描绘出n条根轨迹。,绘制根轨迹的基本法则,二、根轨迹对称于实轴。证明：闭环特征根若为实数，则必位于实轴上；闭环特征根若为复数，则一定是以共轭形式成对出现。所以根轨迹必对称于实轴。,绘制根轨迹的基本法则,三、根轨迹的起点和终点 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。如果开环极点数n大于开环零点数m，则有（n-m）条根轨迹终止于无穷远.证明：由根迹方程：K*(S-Z1)(S-Z2)(S-Zm)G(S)H(S)=-1(S-P1)(S-P2)(S-Pn),绘制根轨迹的基本法则,(S-Z1)(S-Z2)(S-Zm)-=-1/K*=-1/AK(S-P1)

5、(S-P2)(S-Pn)其中：A=P1P2 Pn/Z1Z2 Zm起点：K=0，1/AK=，上式中只有SPi时，等号才成立。起点开环极点（SPi）终点：K=，1/AK=0，上式中只有SZi时，等号才成立。终点开环零点（SZi）,绘制根轨迹的基本法则,当nm时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？nm，S，有:(S-Z1)(S-Z2)(S-Zm)-1-1-=(S-P1)(S-P2)(S-Pn)K*AK 可写成：左边=1/Sn-m=0当K=时，右边=0 K=（终点）对应于S（趋向无穷远）.即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。,绘制根轨迹的基本法则,四、实轴上的根轨迹实轴上根轨迹区段的右

6、侧，开环零极点数目之和应为奇数。证明：由幅角条件：G(S)H(S)=(2K+1)(S-Z1)(S-Z2)(S-Zm)/(S-P1)(S-P2)(S-Pn)=(2K+1),绘制根轨迹的基本法则,一对共轭的开环复数极点（或零点）对S1(在实轴上的试验点)的相角等值反号，相互抵消；而开环复数极点(或零点)又一定成对出现，所以实轴上的根轨迹与复数零(极)点无关。位于S1左边的开环实数零(极)点引向S1的相角为0。位于S1右边的开环实数零(极)点引向S1的相角为。只有实轴上某一区段右侧的开环零(极)点数目之和为奇数，才能满足幅角条件。,绘制根轨迹的基本法则,五、根轨迹的渐近线 如nm，则有n-m条根轨迹

7、趋向于无穷远，其方位可由渐近线决定。渐近线与实轴交点的坐标：a=(Pi-Zi)/(n-m)渐近线与实轴正方向的夹角：a=(2K+1)/(n-m),绘制根轨迹的基本法则,证明：实验点在无穷远处(Sn既在根轨迹上，也在渐近线上)。可以认为开环零点和极点到达Sn的矢量的长度是相等的。对无穷远处的试验点Sn而言，所有的零极点都汇集到实轴上的一点a。a=Zi=Pi Pi-Zi=(n-m)a a=(Pi-Zi)/(n-m),绘制根轨迹的基本法则,又：K*(S-Z1)(S-Z2)(S-Zm)=-1(S-P1)(S-P2)(S-Pn)当S时(试验点设在无穷远处):(n-m)S=(2K+1)S=a=(2K+1)

8、/(n-m)无穷远处闭环极点的方向角，就是渐近线的方向角.,绘制根轨迹的基本法则,六、根轨迹的起始角与终止角 起始角：根轨迹起点处的切线与 水平线正方向的夹角。m n P1=(2K+1)+(P1Zj)-(P1-Pi)i=1 i=1,绘制根轨迹的基本法则,六、根轨迹的起始角与终止角 终止角：根轨迹终点处的切线与 水平线正方向的夹角。n m Z1=(2K+1)+(Z1Pi)-(Z1Zi)i=1 i=1,绘制根轨迹的基本法则,证明：由幅角条件，在试验点S1(S1-Z1)-(S1-P1)-(S1-P2)-(S1-P3)=(2K+1)S1P1时：(S1-P1)=P1且：各零极点引向S1的向量=各零极点引

9、向P1的向量可用P1代替S1P1=(2K+1)+(P1-Z1)-(P1-P2)-(P1-P3),P3,Z1,P1,P2,(P1-P2),(P1-Z1),P1,绘制根轨迹的基本法则,推广之：m n P1=(2K+1)+(P1Zj)-(P1Pi)i=1 i=1同理可证：m n Z1=(2K+1)+(Z1Pi)-(Z1Zi)i=1 i=1,绘制根轨迹的基本法则,七、（实轴上的）分离点和会合点 根轨迹离开实轴的点实轴上的分离点。根轨迹回到实轴的点实轴上的会合点。分离（会合）点应该是特征方程的重根，分离（会合）点对应实轴上的最大（最小）K值。分离（会合）点的求法：令dK/dS=0，解出的S值即为分离（会

10、合）点的坐标。,绘制根轨迹的基本法则,八、根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴相交，意味着有闭环极点位于虚轴上，即特征方程有纯虚根jw。将S=jw代入特征方程：1+G（jw）H（jw）=0可分解为：Re1+G（jw）H（jw）=0 Im1+G（jw）H（jw）=0可解出：w 与虚轴交点的坐标 K 交点处对应的K值（临界稳定开环增益）,绘制根轨迹举例,例：GK(S)=K/S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)试绘制根轨迹。解：化成标准形式：GK(S)=400K/S(S+20)(S2+4S+20)=K*/S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)K*=400K根迹增益P1=0，P2=-2

11、0，P3=-2+j4，P4=-2-j4n=4，m=0,绘制根轨迹举例,1 闭环有4个特征根根轨迹有4条分支。2 画开环零极点分布图。3 确定实轴上的根轨迹（0，-20）,P1,P2,P3,P4,-20,0,绘制根轨迹举例,4 渐近线a=(Pi-Zi)/(n-m)=(0-20-2+j4-2+j4)/(4-0)=-6 a=(2K+1)/(n-m)K=0 a=45 K=1 a=135K=2 a=225 K=3 a=315,-6,绘制根轨迹举例,5 起始角p3=(2K+1)+(P3-Zi)-(P3-Pi)=(2K+1)-(P3-P1)-(P3-P2)-(P3-P4)=(2K+1)-116.5-12.5

12、-90=-39P4=+39,绘制根轨迹举例,6.分离点 由根迹方程：GK(S)=400K/S(S+20)(S2+4S+20)=-1K=-S(S+20)(S2+4S+20)/400=-(S4+24S3+100S2+400S)/400 dK/dS=-(4S3+72S2+200S+400)/400 令:dK/dS=0 解得：S-15,即为分离点的坐标。,绘制根轨迹举例,7根轨迹与虚轴的交点 特征方程：S(S+20)(S2+4S+20)+K*=0 S4+24S3+100S2+400S+K*=0 将S=jw代入：(jw)4+24(jw)3+100(jw)2+400(jw)+K*=0 实部：w4-100w

13、2+K*=0 虚部：-24w3+400w=0 解得：w1=0，w2，3=4.1,K*=1391,K=3.47,绘制根轨迹举例,0,-6,-15,4.1,-4.1,第三节 特殊根轨迹,一、参数根轨迹开环增益K为参变量绘出的根轨迹常规根轨迹。以系统其它参数为参变量绘出的根轨迹参数根轨迹。用参数根轨迹可以分析系统中的各种参数，如开环零极点的位置、时间常数、反馈系数等对系统性能的影响。,参数根轨迹,在绘制以K为参变量的常规根轨迹时是以系统的特征方程为依据：即:1+G(S)H(S)=0 也可写成:1+K(S-Zi)/(S-Pi)=0 或:1+K N(S)/M(S)=0 如果选择系统的其它参数为参变量，则

14、只要把特征方程改变一 下形式，用所选的参数a代替K的位置:1+a P(S)/Q(S)=0则绘制规则仍然适用，可绘制出参数根轨迹。,参数根轨迹举例,例:GK(S)=K/S(S+a)试绘制以a为参变量的根轨迹（K=1）解：特征方程：1+K/S(S+a)=0 进行代数变换：K=-S2-aS S2+K=-aS aS/(S2+K)=-1 1+aS/(S2+K)=0 给定K值，就可画出以a为参变量的根轨迹。,参数根轨迹举例,K=1，GK(S)=aS/(S2+1)开环零点：Z1=0 开环极点：P1=+j，P2=-j 分支数：2实轴上的根轨迹：整个负实轴。渐近线：a=(Pi-Zi)/(n-m)=(jj0)/(

15、2-1)=0 a=(2K+1)/(2-1)=180(K=0),参数根轨迹举例,会合点：aS/(S2+1)=-1a=-S-1/Sda/dS=-1+1/S2=0S=1 会合点一定在根轨迹上，S=1舍。会合点：S=-1,参数根轨迹举例,与虚轴交点：特征方程：S2+aS+1=0 代入S=jw实部：-w2+1=0虚部：aw=0解得：w1=0 w2,3=1与虚轴交点,二、正反馈回路的根轨迹,在某些系统中，内环是一个正反馈回路。GB(S)=G(S)/1 G(S)H(S)特征方程：1-G(S)H(S)=0根迹方程：G(S)H(S)=1比较负反馈回路根轨迹的根迹方程：幅值条件不变，幅角条件变为:G(S)H(S)

16、=2K=0正反馈回路的根轨迹零度根轨迹。凡是由幅值条件推出的规则不变。凡是由幅角条件推出的规则有变。,正反馈回路的根轨迹,规则四：实轴上存在根轨迹的条件是：其右边开环零极点数 目之和为偶数.规则五：(n-m)条渐近线的方向角为：a=2K/(n-m)规则六：根轨迹的起始角和终止角分别为：P1=2K+(P1-Zi)-(P1-Pi)Z1=2K+(Z1-Pi)-(Z1-Zi),正反馈回路的根轨迹举例,例：一单位负反馈系统的开环传递函数为：GK(S)=K/(S+1)2(S+4)2试绘制根轨迹。若将负反馈改为正反馈，根轨迹将如何？解：负反馈：P1,2=-1，P3,4=-4，n=4，m=0分支数：4.实轴上

17、无根轨迹。渐近线：a=(Pi-Zi)/(n-m)=-2.5 a=(2K+1)/(n-m)=45,135,225,315,正反馈回路的根轨迹举例,与虚轴交点：(S+1)2(S+4)2+K=0将S=jw代入实部：w4-33w2+16+K=0 虚部：-10w3+40w=0解得：w=2，K=100,正反馈回路的根轨迹举例,正反馈：实轴上：整个实轴。渐近线：a=(Pi-Zi)/(n-m)=-2.5a=2K/(n-m)=0,90,180,270 分离点：特征方程：1-G(S)H(S)=0(S+1)2(S+4)2-K=0 K=S 4+10S3+33S2+40S dK/dS=4S3+30S2+66S+40=0

18、 解出分离点：S=-2.5,正反馈回路的根轨迹举例,与虚轴交点：(S+1)2(S+4)2-K=0 代入S=jw实部：w4-33w2+16-K=0 虚部：-10w3+40w=0解得：w=0，K=16,三.滞后系统的根轨迹,包含有时间滞后环节的系统-滞后系统.闭环传递函数:C(s)/R(s)=e-S G(s)/1+e-S G(s)特征方程:1+e-S G(s)=0 是复变量s的超越函数,有无穷多个特征根.,G(S),e-S,滞后系统的根轨迹,根迹方程:e-S G(s)=-1 e-S=e-(+j)=e-e-j e-j=-(rad)=-57.3 G(S)=K(S-Zi)/(S-Pi)幅值条件:K S-

19、Zie-/(S-Pi)=1幅角条件:(S-Zi)-(S-Pi)=(2K+1)=57.3(2K+1)*180 由于幅值条件和幅角条件的变化,绘制根轨迹的各项规则将会受到影响.,滞后系统的根轨迹,规则一:根轨迹在S平面上的分支数有无穷多条.仍有n条分支组成主根轨迹.规则二:根轨迹仍对称于实轴.规则三:根轨迹的起点为开环极点和=-.根轨迹的终点为开环零点和=.S-Zie-1-=-S-Pi K K=0(起点)时,只有满足S=Pi和=-的条件 K=(终点)时,只有满足S=Zi和=的条件,滞后系统的根轨迹,规则四:实轴上根轨迹区段右侧开环零极点数目之和为奇数.幅角条件虽然多了一项57.3,但对实轴:=0,

20、所以无变化.规则五:渐近线有无穷多条,且都平行于实轴,与虚轴的交点:=180N/57.3 其中N值如表中所示.,滞后系统的根轨迹,规则五的证明:渐进线(根轨迹)上取一点S=,不是起点就是终点.如为起点:=-;如为终点:=.这说明渐进线与有限的实轴无交点.即渐进线平行于实轴,只与虚轴相交.由幅角条件:(S-Zi)-(S-Pi)=57.3+(2K+1)*180 m*180-n*180=57.3+(2K+1)*180 57.3=(n-m)*180+(2K+1)*180 当n-m为奇数时:2K*180 N*180 57.3=2K*180=-=-即为渐进线与虚轴的交点.57.3 57.3 同理可证n-m

21、为偶数时渐进线与虚轴的交点.,滞后系统的根轨迹,规则六:起始角和终止角 起始角:P1=(2K+1)180+(P1Zj)-(P1Pi)+57.3 终止角:Z1=(2K+1)180+(Z1Pi)-(Z1Zi)+57.3规则七:实轴上根轨迹的分离(或会合)点可由下面的方程求出 dK/dS=0规则八:主根轨迹与虚轴交点,可用S=j代入根迹方程求解.,滞后系统的根轨迹举例,例:设滞后系统的开环传递函数为 GK(S)=K e-S/(S+1)试绘制系统的根轨迹.解:特征方程:1+K e-S/(S+1)=0 由规则三:起点为P1=-1,=-和起点渐进线.终点趋向终点渐近线.由规则四:实轴上(-1,-)区段存在

22、根轨迹.,滞后系统的根轨迹举例,由规则五:终点渐近线为:180N/57.3,3*180N/57.3,5*180N/57.3,起点渐近线为:2*180N/57.3,4*180N/57.3,6*180N/57.3,滞后系统的根轨迹举例,由规则七:实轴上的分离点 K=-eS(S+1)dK/dS=-eS-SeS eS=0 S=-(1+)/(设=1,分离点为:-2)由规则八:与虚轴交点为j(设=1),代入到幅角条件-(j+1)=57.3180 解得:=2.03 主根轨迹与虚轴交点为 j2.03.,滞后系统的根轨迹举例,终点渐近线,终点渐近线,j,-1,主根轨迹,-2,0,起点渐近线,起点渐近线,终点渐近

23、线,终点渐近线,第四节 系统闭环零极点分布与阶跃响应的关系,系统闭环零极点分布-根轨迹.阶跃响应-性能指标一、用闭环零极点表示的阶跃响应解析式 设n阶系统的闭环传递函数为：K*(S-Zi)Zi-闭环零点 GB(S)=(S-Si)Si-闭环极点 阶跃输入：r(t)=I(t),R(S)=1/S 有:K*(S-Zi)1H(S)=*(S-Si)S,系统闭环零极点分布与阶跃响应的关系,若GB(S)中无重极点，则：H(S)=A0/S+A1/(S-S1)+An/(S-Sn)K*(-Zi)K*(SK-Zi)其中:A0=AK=(-Si)(SK-Si)SK闭环极点；Zi闭环零点；Si闭环极点(不包括SK)单位阶跃

24、响应:h(t)=A0+Ak*eSkt 系统的单位阶跃响应由闭环极点SK及系数AK决定，而系数AK也与闭环零极点的分布有关。,系统闭环零极点分布与阶跃响应的关系,二、闭环零极点分布与阶跃响应的定性关系 1要求系统稳定，所有闭环极点Si均应位于S平面的左 半部。2要求系统快速性好，则应使阶跃响应式中的每个瞬态 分量eSkt衰减得快，闭环极点SK应远离虚轴。,系统闭环零极点分布与阶跃响应的关系,3要求系统平稳性好，则复数极点最好设置在S平面中与负 实轴成45夹角线附近。COS=Wn/Wn=45,=0.707(最佳阻尼比)4.要求动态过程尽快消失，则系数AK要小（对应的瞬态分量 小）AK的分子小闭环零

25、点靠近极点（成对靠近），AK的分母大极点间的间距要大。,三、主导极点和偶极子,离虚轴最近的闭环极点对系统动态性能的影响最大，起着主要的作用，称之为主导极点。主导极点与非主导极点的实部应相差6倍以上。往往只用主导极点（把高阶系统近似看成是一阶或二阶系统）来估算系统的动态性能。,主导极点和偶极子,将一对靠得很近的闭环零极点称为偶极子。当SK与Zi靠得很近时，对应的AK很小，h(t)中的这个分量可以忽略。可以有意识地在系统中加入适当的零点，和某些不利极点构成偶极子，以抵消其对动态过程的不利影响。,四、利用主导极点估算系统的性能指标,例：已知系统的开环传递函数为：GK(S)=K/S(S+1)(0.5S

26、+1)试应用根轨迹法分析系统的稳定性，并计算闭环主导极 点具有阻尼比=0.5时的性能指标。,利用主导极点估算系统的性能指标,解：GK(S)=K/S(S+1)(0.5S+1)=2K/S(S+1)(S+2)=K*/S(S+1)(S+2)1作根轨迹图 三条根轨迹。实轴上:(0，-1)，(-2，-)为根轨迹。渐近线：a=(Pi-Zi)/(n-m)=(-1-2)/(3-0)=-1 a=(2K+1)/(n-m)=60，-60，180,利用主导极点估算系统的性能指标,分离点：K=-S(S+1)(S+2)/2=-(S3+3S2+2S)/2 dK/dS=-3S2+6S+2=0解出：S1=-0.423,S2=-1

27、.58(不在根轨迹上，舍)与虚轴交点：特征方程：S3+3S2+2S+K*=0代入S=jw(jw)3+3(jw)2+2(jw)+K*=0,利用主导极点估算系统的性能指标,实部：-3w2+K*=0虚部：-w3+2w=0解得：w1=0,K=0 w2,3=1.414,K*=6，K=32分析系统的稳定性 当开环增益K3时，根轨迹有两条分支伸向S平面的右半部，这时系统不稳定。因此使系统稳定的开环增益范围是：0K3。,-2,-1,0,W=1.414 K=3,利用主导极点估算系统的性能指标,3.根据对阻尼比的要求，确定闭环主导极点S1，S2的位置=0.5，=COS-1=60 阻尼线阻尼线与根轨迹的交点为S1，

28、从图中可得S1=-0.33+j0.58 S2=-0.33-j0.58求与S1对应的开环增益：|GK(S)|=1 代入S=-0.33+j0.58|-0.33+j0.58|-0.33+j0.58+1|-0.33+j0.58+2|=2K解得:K=0.525(根轨迹上某点对应的K值),0.58,-0.33,S1,阻尼线,S2,S3,-2.34,利用主导极点估算系统的性能指标,确定S3的位置(确认主导极点)已知特征方程的两个根S1和S2，求第三个根S3。(S+0.33-j0.58)(S+0.33+j0.58)=S2+0.66S+0.4453特征方程:(S-S1)(S-S2)(S-S3)=S3+3S2+2

29、S+2*0.525=0由综合除法：(S3+3S2+2S+2*0.525)/(S2+0.66S+0.4453)=S+2.34 S3=-2.34 S3=-2.34距虚轴的距离是S1,2=-0.33j0.58的6倍以上.可认为S1，S2是主导极点.,利用主导极点估算系统的性能指标,4.用主导极点估算系统的性能指标 只有两个主导极点起作用，系统被近似看成二阶系统。主导极点的实部=-Wn=-0.33，=0.5（已知）Wn=0.66 超调量：%=16.3%调节时间：tS=9.1(S),第五节 开环零极点的变化对根轨迹的影响,一、开环零点的变化对根轨迹的影响 例1:GK(S)=K/S2(S+a)对任何K值均

30、不稳定.,-a,-a/3,0,开环零点的变化对根轨迹的影响,增加开环零点：GK*(S)=K(S+Z)/S2(S+a)za za 不稳定 稳定,-z,-a,0,(-a-z)/2,-a,-z,0,开环零点的变化对根轨迹的影响,由渐近线方向角公式：a=(2K+1)/(n-m)增加开环零点m变大分母变小a变大根轨迹向左弯曲对稳定性有利.增加开环零点，将使根轨迹产生向左弯曲的倾向，对稳定性产生有利的影响。,二、开环极点的变化对根轨迹的影响,例1：GK(S)=K/S(S+2),0,-1,-2,稳定,开环极点的变化对根轨迹的影响,增加开环极点：GK*(S)=K/S(S+2)(S+P)P=4 P=0,-4,-2,-0.84,0,-2,-2/3,0,不稳定,开环极点的变化对根轨迹的影响,由渐近线方向角公式：a=(2K+1)/(n-m)增加极点n变大分母变大a变小根轨迹向右弯曲对稳定性不利.增加开环极点，将使根轨迹产生向右弯曲的倾向，对稳定性产生不利的影响。,本章小结,1.根轨迹的定义.2.根轨迹绘制法则(8条).3.特殊根轨迹(参数,正反馈,滞后).4.用主导极点估算性能指标.5.开环零极点的变化对根轨迹的影响.,