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1、导数及其应用,导数 Derivative的概念,函数,自变量,函数,导数,其它形式,例题 设，求,解,所以,如果将式中的定点x=2改为任意点x,则有如下结果,其结果表示是x的函数，称之为导函数。,基本导数公式,记熟、记牢、记准,函数的和差积商的求导法则,你记住了吗？,特别,例1 设,解,例2,解,例3 设,解,练一练,求下列函数的导数,复合函数的求导法则,推广,链式法则Chain Rule,也可以不写出中间变量,例6 设,例7 设,解,解 因为,所以,可分解为,所以,由外及里，环环相扣,例8 设,解,练一练,求下列函数的导数,例9,例10,解,解,练一练,求下列函数的导数,高阶导数,导函数的导
2、数,函数,一阶导数,二阶导数,三阶导数,n阶导数,练一练,求下列函数的二阶导数,解,隐函数的导数,隐函数的求导方法将方程两边同时对自变量x求导。,所以,注意：y是x的函数，则y的函数f(y)视为x的复合函数。,解 将方程两边同时对 x 求导，得：,因为当 x=0时，从原方程可以解得 y=0,所以,例 求由方程 所确定的隐函数 的导数,解 将方程两边同时对 x 求导，得：,注意：y是x的函数，siny则是x的复合函数。,例 求由方程 所确定的隐函数 的导数,幂指函数的导数,两边取对数，得,将方程两边同时对 x 求导（注意 y 是 x 的函数）得：,解法2,解法1,转化为初等函数，直接求导法,转化
3、为隐函数，对数求导法,例14,一般地，幂指函数 的求导，可有两种方法，都可得到一般公式：,如,练习 设,解答,对数求导法,两边取对数，得,两边对 x 求导（注意 y 是 x 的函数）得：,对数求导法常用于幂指函数和以乘、除、乘方、开方运算为主的函数的求导。,例15,解,练一练,解,由参数方程所确定的函数的导数,注意一阶导数也是 t 的函数,求由摆线的参数方程所确定的函数的一阶导数。,解,例16,练习,解,练一练,解,单侧导数,左导数,右导数,例5 已知,解 因为,所以,，从而,导数的几何意义,法线是过切点且与切线垂直的直线,的切线方程为,法线方程为,解 根据导数的几何意义，所求切线的斜率为,所
4、以，所求切线方程为,所求法线的斜率为,所求法线方程为,例6 求双曲线 在点 处的切线方程和法线方程。,即,即,例 曲线 在点 处的切线平行于直线,例 曲线 在点 处的切线垂直于直线,例 曲线 在点 处的法线垂直于直线,函数的可导性与连续性的关系,可导,连续,连续是可导的必要非充分条件,故函数在点 x=0 处连续,故函数 f(x)=|x|在点 x=0 不可导,解,函数 f(x)在某点连续，却不一定在该点可导。,例7 讨论函数 在点 的连续性和可导性。,不存在,解 因为函数在x=2点可导，所以函数在该点连续。,所以有,又,所以,代入（1）式得,又,函数的微分,一般形式,复合函数的微分法则和微分形式
5、不变性,例1,解,例2,解,例3,解,解 两边同时微分，得,即,所以，所求微分为,罗尔定理 Rolle Theorem,(1)在闭区间 上连续,(3),罗尔定理的几何意义,连续曲线 y=f(x)的弧AB除端点外处处具有不垂直x轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，则曲线弧上至少存在一点C，使得曲线在该点处的切线是水平的.,例1 验证函数 在区间 上满足罗尔定理，并求出定理中的 值。,解 因为函数在 上连续，在 内可导，且,所以，函数在 上满足罗尔定理,而,令,得,所以，即为所求的点。,拉格朗日中值定理 lagrange Theorem,几何意义:,连续曲线 y=f(x)的弧AB除端点外处处有不垂直
6、x轴的切线，则弧上至少至少存在一点，使得曲线在点 处的切线平行弦AB。,推论：如果函数 f(x)在区间I上的导数恒为零，那末 f(x)在区间I上是一个常数,例 证明,证明 令,则 在 内满足Lagrange中值定理,而,所以,而,所以,由Lagrange中值定理可知,例2,解,因为,所以,即,所以 即为所求。,练习,解答,构造有关的函数,确定应用区间,应用Lagrange定理,计算导数后的等式,转化为不等式,例3,解,所以,即,所以,解题思路：,洛必达法则,若 属 类型的极限问题，则可考虑用洛必达法则，如果 存在或为，则,注意：法则只能解决 存在时，未定式 的定值问题。即如果 不存在，也不是，
7、则法则失效。,例1 求下列极限,型,型,型,解 原式,解 原式,解 原式,例2 求极限,解 这是 型的未定式，且当 时，,所以，原式,适当使用等价无穷小替换，再使用洛必达法则，可简化极限运算。,练习,（1）形如 的未定式,解题方法：将未定式变形,例3 求极限,解 原式,（2）形如 的未定式,其它形式的未定式的定值,解题方法：将未定式变形,例4 求极限,解 原式,（3）形如 的未定式,其它形式的未定式的定值,解题方法：将未定式先取自然对数、变形，再按情形（1）处理,例5 求极限,解 令,则,所以,而,例6 求极限,解 令,则,而,所以,解 令,例7 求极限,则,所以,所以,练习,求下列极限,（提
8、示：利用等价无穷小替换）,函数的单调性,函数单调递增，则,函数单调递减，则,由Lagrange中值定理：,于是有函数单调性的判别定理,函数单调性的判别定理,（1）如果函数 在 内有，则函数在 上是单调递增的。,（2）如果函数 在 内有，则函数在 上是单调递减的。,例1 判别函数 的单调性。,解 因为,所以，函数在 内是单调递增的。,设函数 在 上连续，在 内可导，则,例2 求函数 的单调区间,解 因为,令,得驻点,列表讨论,所以，函数在 及 内单调增加，在 内单调减少。,例3 求函数 的单调区间,解 因为,当 时，不存在,当 时，当 时，,所以，函数在 内单调增加，在 内单调减少。,小结：驻点
9、（使一阶导数为零的点）或一阶导数不存在的点可将单调区间分开。,小结：求函数的单调区间的一般方法：（1）求函数的一阶导数；（2）找出所有的驻点及一阶导数不存在的点；（3）将上述点插入到定义域，分区间确定一阶导 数的符号；（4）根据单调性的判别定理，确定单调区间。,例4 证明不等式,证明 令,则,所以，当 时，不等式 成立。,函数的极值,极值的概念：如果函数 在点 的某邻域内有定义，对于该邻域内任意异于 点的，都有，则称为函数的一个极小值；如果有，则称 为函数的一个极大值。极大值和极小值统称为函数的极值。使函数取得极值的点称为函数的极值点。,由于函数在不同的区间的单调性不同，因而在图象上会出现“峰
10、”与“谷”，使函数值在局部范围内出现“最大”、“最小”，称之为函数的极大、极小值。,例如,函数的极值是一个局部特性，最值是全局特性（1）函数在某个区间内可能既无极大值，也无极小值；如函数Y=x 在区间 1，2 内既无极大值，也无极小值。（2）可以缺少其一；如 y=x2 在区间-1，2 内，只有极小值。（3）极小值可以大于极大值，如某种股票的交易价格函数；（4）极值一定在区间内部取得。,函数的极值说明,极值存在的必要条件（费马定理）,如果函数 在点 处可导，且在点 处有极值，则,导数为零的点称为函数的驻点。,函数在可导点取得极值时，则在该点的切线平行于x轴。,函数的极值点是驻点或导数不存在的点。
11、,费马定理的逆定理不成立。,极值存在的第一充分条件,设函数 在点 的某个邻域内可导（点 可除外）,则 在点 处取得极大值；,则 在点 处取得极小值；,则 在点 处无极值；,例1 求函数 的极值,解 因为,令,得驻点,列表讨论,所以，函数有极大值，有极小值。,一阶导数由正到负，函数过极大值；一阶导数由负到正，函数过极小值。,例2 求函数 的极值,解 因为,当 时，不存在,当 时，当 时，,小结：驻点或一阶导数不存在的点，可能是函数的极值点，必须按第一充分条件进行判别。,所以，函数有极小值。,例3 求函数 的极值,解 因为,所以，函数无极值。（虽然有）,单调增区间为(-,0)和(1,+)单调减区间
12、为(0,1),f(0)=0为极大值；f(1)=-1/2 为极小值,练习,解,极值存在的第二充分条件,例4 求函数 的极值,解 因为,所以，函数有驻点,而,所以,所以，函数有极大值，有极小值。,注意：当函数的二阶导数较易求，且二阶导数不为零时，使用第二充分条件判别极值较易；而二阶导数为零的点，必须用第一充分条件判别。,函数的最大值与最小值,由极小值的特性，可知：,极小值 最小值；极大值 最大值,已有结论：如果函数在 a,b上连续，则函数在该区间上一定有最大值和最小值。,求函数最值的一般步骤与方法,（1）求函数的导数；,（2）在给定区间（或定义域）内找出所有的驻点及一阶导数不存 在的点；,（3）计
13、算函数在上述点处的函数值，以及在端点处的函数值，并比较其大小，其中最大者即为函数在区间上的最大值；最小者即为函数在区间上的最小值。,例5 求函数 在 上的最值。,解 因为,令,得,而,曲线的凹凸向及拐点,定义 如果曲线弧总位于它的每一点的切线的上方，则称该曲线弧是（向上）凹的（concave)；如果曲线弧总位于它的每一点的切线的下方，则称该曲线弧是（向上）凸的(convex),凹弧,凸弧,凹、凸弧的分界点，称为曲线的拐点(inflection point)。,凹凸弧的判别定理,定理 设函数 在区间 上具有二阶导数，则在该区间上：（1）当 时，曲线弧 是向上凹的；（2）当 时，曲线弧 是向上凸的。,例1 试证明函数 的图形是处处向上凹的。,所以，函数的图形在 内是向上凹的。,证明 函数的定义域为,判断曲线 y=lnx 的凹凸性,内是凸的。,解答,解 函数的定义域为,例2 求曲线 的凹凸区间及拐点。,令,得,列表,因为,所以，曲线在 及 内是向上凹的，在 内是向上凸的，有拐点 及。,解 函数的定义域为,例2 求曲线 的凹凸区间及拐点。,令,得,因为,例3 求曲线 的凹凸区间及拐点。,解 因为,所以，当 时，当 时，,所以，曲线在 内是向上凹的，在 内是向上凸的。有拐点。,
