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1、第四章,微分法:,积分法:,互逆运算,不定积分,已知 F(x),第四章不定积分,暨南大学珠海学院基础部苏保河主讲,二、基本积分表,三、不定积分的性质,一、原函数与不定积分的概念,第一节,不定积分的概念与性质,第四章不定积分,暨南大学珠海学院基础部苏保河主讲,一、原函数与不定积分的概念,引例:一个质量为 m 的质点,下沿直线运动,因此问题转化为:,已知,求,在变力,试求质点的运动速度,根据牛顿第二定律,加速度,定义 1.若在区间 I 上定义的两个函数 F(x)及 f(x),满足,在区间 I 上的一个,则称 F(x)为 f(x),如引例中,的一个原函数为,暨南大学珠海学院苏保河主讲,原函数.,问题
2、:,1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?,2.若原函数存在,它如何表示?,定理1.,的原函数存在.,(下章证明),因为初等函数在定义区间上连续，,所以初等函数在定义区间上有原函数,暨南大学珠海学院苏保河主讲,定理 2,一个原函数都可记为,(C 为任意常数).,证,又知,故,即,即,暨南大学珠海学院苏保河主讲,定义 2,在区间 I 上的原函数全体称为,上的不定积分,其中,积分号;,被积函数;,被积表达式.,积分变量;,若,则,(C 为任意常数),C 又称为积分常数不可丢!,例如,记作,注,暨南大学珠海学院苏保河主讲,不定积分的几何意义:,的原函数的图形称为,的图形,的所有积分曲线组成,的平行
3、曲线族.,的积分曲线.,暨南大学珠海学院苏保河主讲,例1 设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线,斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.,解,所求曲线过点(1,2),故有,因此所求曲线为,暨南大学珠海学院苏保河主讲,二、基本积分表,注 从不定积分定义可知:,或,或,(k 为常数),暨南大学珠海学院苏保河主讲,或,或,暨南大学珠海学院苏保河主讲,暨南大学珠海学院苏保河主讲,例2 求,解 原式=,例3 求,解 原式=,暨南大学珠海学院苏保河主讲,三、不定积分的性质,推论,暨南大学珠海学院苏保河主讲,例4 求,解 原式=,暨南大学珠海学院苏保河主讲,例5 求,解 原式=,例6 求,解 原式
4、=,暨南大学珠海学院苏保河主讲,例7 求,解 原式=,暨南大学珠海学院苏保河主讲,第二节,第一类换元法,第四章不定积分,暨南大学珠海学院基础部苏保河主讲,第一类换元法,定理1,则有换元公式,(也称配元法,即,凑微分法),暨南大学珠海学院苏保河主讲,例1 求,解 令,则,故,原式=,解法2(直接凑微分):,暨南大学珠海学院苏保河主讲,想到公式,例2 求,解,令,则,想到公式,暨南大学珠海学院苏保河主讲,原式,例2 求,解法2(直接凑微分):,想到公式,暨南大学珠海学院苏保河主讲,例3 求,想到,解,暨南大学珠海学院苏保河主讲,例4 求,解,类似可得,暨南大学珠海学院苏保河主讲,例5 求,解,原式
5、=,暨南大学珠海学院苏保河主讲,常用的几种配元形式:,万能凑幂法,暨南大学珠海学院苏保河主讲,例6 求,解 原式=,暨南大学珠海学院苏保河主讲,例7 求,解 原式=,例8 求,解 原式=,暨南大学珠海学院苏保河主讲,例9 求,解法1,解法2,两法结果一样,暨南大学珠海学院苏保河主讲,内容小结,1.不定积分的概念,原函数与不定积分的定义,不定积分的性质,基本积分表,2.直接积分法,利用恒等变形,及基本积分公式进行积分,积分性质,3.第一类换元法(凑微分法),暨南大学珠海学院苏保河主讲,作 业,P204 1(2,4,6,8,10,11,13,14);2(2,6,8,9,11,13,14,16,18).,P190 1(3,5,13,14,16,18,20,21,23,24,25,26);2;4*.,暨南大学珠海学院苏保河主讲,下次课内容:不定积分的第一类换元法 第五章第一节 定积分的概念与性质,1 若,是,的原函数,则,提示,已知,课外练习,暨南大学珠海学院苏保河主讲,2 若,的导函数为,则,的一个原函数,是().,提示,B,由题意,其原函数为,暨南大学珠海学院苏保河主讲,3 已知,求 A,B.,解 等式两边对 x 求导,得,暨南大学珠海学院苏保河主讲,
