过程装备力学基础(弹性力学).ppt

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1、过程装备力学基础Mechanical Basis of Process Equipment,主讲教师：栾德玉 学时：32学分：2.0课程性质：专业选修课青岛科技大学机电工程学院,教材及参考书目,教 材:,过程装备力学基础(第二版)，陈旭主编，2006,化学工业出版社,参考书目:,高等弹性力学，王敏中等，2002，北京大学出版社,化工机械力学基础，黄载生，1990，化学工业出版社化工容器设计，王志文主编.1990，化学工业出版社化工设备设计，聂德清主编.1991，化学工业出版社过程设备设计，郑津洋等主编.2001，化学工业出版社,弹性力学，徐秉业等，2007，清华大学出版社,第一章 弹性力学基本

2、方法和平面问题解答 第一节 弹性力学的内容和基本概念 第二节 弹性力学的平面问题 第三节 弹性力学平面问题的极坐标解答,又称作弹性理论，是固体力学学科的一个分支;研究物体在弹性范围内由于外力载荷或者温度改变，在物体内部所产生的位移、变形和应力分布等;为解决工程结构的强度、刚度、稳定性等问题提供相应的理 论依据和分析方法。,一.基本内容,弹性力学是一门基础理论学科，它的研究方法被广泛的应用于其他学科和领域。弹性力学不仅是诸如有限单元法、复合材料力学、断裂力学、塑性力学和结构动力分析等课程的基础，也是很多大型结构分析软件(例如Ansys等)的核心框架。弹性力学也是一门基础技术学科，是近代工程技术的

3、必要基础之一。在现代工程结构分析，特别是航空、航天、机械、土建和水利工程等大型结构的设计中，广泛应用着弹性力学的基本公式和结论。,第一节 弹性力学的内容和基本概念,与材料力学、结构力学的联系和区别,第一节 弹性力学的内容和基本概念,第一节 弹性力学的内容和基本概念,弹性力学的研究方法决定了它是一门基础理论课程，若将理论直接用于分析工程问题具有很大的困难。原因主要是它的基本方程偏微分方程边值问题数学上求解的困难。由于经典的解析方法很难用于工程构件分析，因此探讨近似解法是弹性力学发展中的特色。近似求解方法，如差分法和变分法等，特别是随着计算机的广泛应用而发展的有限元素方法，为弹性力学的发展和解决工

4、程实际问题开辟了广阔的前景。,1.1 弹性力学的内容和任务,基本任务,在弹性阶段的应力和位移,强度、刚度和稳定性,计算方法,结构或构件,分析和改进,第一节 弹性力学的内容和基本概念,弹性力学课程的主要学习目的是使学生掌握分析弹性体应力和变形的基本方法，为今后进一步的研究实际工程构件和结构的强度、刚度、可靠性、断裂和疲劳等问题建立必要的理论基础和分析方法。,1.1 弹性力学的内容和任务,第一节 弹性力学的内容和基本概念,建筑工程,1.1 弹性力学的内容和任务,弹性力学在工程中的应用,第一节 弹性力学的内容和基本概念,建筑工程,1.1 弹性力学的内容和任务,第一节 弹性力学的内容和基本概念,航空航

5、天工程,1.1 弹性力学的内容和任务,第一节 弹性力学的内容和基本概念,船舶机械工程,1.1 弹性力学的内容和任务,第一节 弹性力学的内容和基本概念,第一章 绪论,1.1 弹性力学的内容和任务,第一节 弹性力学的内容和基本概念,外力包括体积力和面积力，简称体力和面力,基本物理量有外力，应力、应变和位移,二 弹性力学中基本物理量,1.体力(Body force),分布在物体体积内的力，例如重力，惯性力和电磁力等。物体各点的体力一般是不相同的，如高速旋转物体所受 的惯性力.,2.面力(Surface force),分布在物体表面上的力，例如流体压力，表面接触力等。分布在物体表面上的力一般是不均匀的

6、。,弹性力学中的基本物理量,物体受外力作用或其温度发生改变时，其内部会产生内力。内力在各点的集度就是各点的应力,应力沿着作用截面的法向和切向可以分解为法向应力和切 向应力，即正应力和切应力,结论：物体内的同一点，不同截面上的应力是不同的。,问题：如何来描述一点的应力状态(各个截面上的应力 大小和方向)？,弹性力学中的基本物理量,过P点作一个微小的平行六面体，其棱边平行于坐标轴，各个面上的应力均可沿坐标轴进行分解。,应力分量的表示方法：,正应力：,切应力：,注:1.没有考虑由于位置不同引起 的应力变化。2.没有考虑体力的影响,图1-1 弹性体内某一点的应力,弹性力学中的基本物理量,如果某个截面上

7、的外法线是沿着坐标轴的正方向，则这个截面上的应力分量以沿着坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向时为负。反之，某个截面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，则这个截面上的应力分量以沿着坐标轴负方向时为正，沿坐标轴正方向时为负。,应力分量的正负号规定：,切应力互等(力矩平衡),一点的应力状态,物体内任意一点,只有三个相互垂直面上的6个应力分量是相互独立的，若某点的这6个应力分量是已知的,则经过该点的任意一个斜面上的应力分量均可以用这6个应力分量表示。,故P点的应力状态可以表示为：,弹性力学中的基本物理量,变形(Deformation)和应变(Strain),变形：物体在外力作用下形状的改变,线应变或正应变：

8、过该点的线段每单位长度的伸缩，例如：,切应变：过该点的两条线段之间 的直角的改变，例如：,注:1：线应变(或正应变)以伸长为正，缩短为负。2:切应变以直角变小为正，变 大为负。,弹性力学中的基本物理量,问题：物体内的同一点，沿着不同的方向，应变是不同的，则如何来描述一点的应变状态？,可以证明，对于物体内任意一点，如果已知三个相互垂直方向的正应变和与之对应的切应变，则可以求得经过该点的任一线段的正应变，也可以求得经过该点的任意两个线段之间的角度的改变。,故P点的应变状态可以表示为：,弹性力学中的基本物理量,位移(Displacement),位移即为位置的移动，通常包括刚性位移和由于自 身变形产生

9、的位移；物体内任意一点的位移，通常用它在三个坐标轴x,y,z上的投影u，v，w来表示，并称之为该点的位移 分量；位移分量以沿坐标轴正向时为正，沿坐标轴负方向时为负。位移及其分量的量纲是长度,第一章 绪论,弹性力学中的基本物理量,弹性力学的基本问题,弹性体内的任意一点的体力分量、面力分量、应力分量、应变分量和位移分量，都是随之该点的位置而变化的，故这些量一般都是位置坐标的连续函数。,第一章 绪论,弹性力学中的基本假设,弹性力学中的基本假设：,描述：假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介 质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。结果：1.根据这一假设，物体所有物理量，例如位移、应 变和应力等均

10、为空间坐标的连续函数。2.变形后仍然保持连续性。,1.连续性假设,描述：假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因 此物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标 位置的变化而改变。结果：物体的弹性性质处处都是相同的。说明：1.工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的的几 何形状，并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上 讲，也可以视为均匀材料。2.对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均 匀材料。,2.均匀性假设,描述：假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质。结果：物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。,3.各向同性假设,描述：假定物体是完全弹性的。完全弹性指的是物体能完 全恢复由于外

11、力所引起的变形而没有任何残余变形。结果：物体在任一瞬时的形变完全取决于它在这一瞬时所 受的外力，而与它过去的受力情况无关。说明：1.完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究 限于线性的应力与应变关系。2.研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化 而改变。,4.完全弹性假设,说明：假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响 下，物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶 小量，且应变和转角都远小于1。结果：在处理弹性体的平衡方程等问题时，可以用变形以 前的尺寸来代替变形以后的尺寸，而不会引起显著 的误差。说明：可以忽略位移、应变和应力等分量的高阶小量，使 基本方程成为线性的偏微分方程组。,5

12、.小变形假设,弹性力学的基本假设，主要包括弹性体的连续性、均匀 性、各向同性、完全弹性和小变形假设等。这些假设都 是关于材料变形的宏观假设。弹性力学问题的讨论中，如果没有特别的提示，均采用 基本假设。这些基本假设被广泛的实验和工程实践证实是可行的。,补充说明：,在物体内任意一点P，割取一个微小的正六面体，如图l-2所示。它的六面体垂直于坐标轴沿x,y,z方向的长度分别为dx，dy和dz。,三、弹性力学基本方程,图1-2 单元体受力分析,1.平衡微分方程,在垂直x轴的两个面上应力分别为,在垂直y轴的两个面上应力分别为,在垂直z轴的两个面上应力分别为,正六面体上的外力为体力，沿x，y，z轴的分量为

13、X，Y，Z。体力X，Y，Z也可以认为是均匀分布，其合力作用在体积中心。,沿x轴的力的平衡方程,两边同除以dxdydz后可得,同理由,可得,同理由,可得,(1-1),(1-2),对于这一微正六面体的力矩平衡条件同样可以导出切应力互等定律,2.几何方程,当物体变形后的各点位移分量确定后，各微元体的应变分量也相应地确定了。所以位移分量与应变分量之间有着密切的关系。,(1-3),3.物理方程,(1-4),在完全弹性的各向同性体内，应变分量与应力分量之间的关系式，即物理方程，可以用广义虎克定律给出,(1-5),E是弹性模量，G是切变模量 是泊松比这三个弹性常数之间有如下关系,以上导出的3个平衡微分方程式

14、(1-1)6个几何方程式(1-3)和6个物理方程式(1-4)，是弹性力学空间问题的15个基本方程。这15个基本方程式中包含15个未知数：6个应力分量；6个应变分量；3个位移分量。基本方程数目和未知函数的数目相等，在适当的边界条件下是能得到解答的。,当弹性体的一个方向尺寸很小，例如薄板，在板的边缘有平行于板面并沿板厚均匀分布的力作用，对于这类问题，由于两个板面上无外载作用，因而两个板面上的应力分量为零。,一.平面应力与平面应变,平面问题可分为平面应力问题和平面应变问题,又因为板很薄，外力不沿厚度变化，应力沿着板的厚度又是连续分布的，所以在整个板内的所有点都有，。六个应力分量只剩下平行于xOy面的

15、三个应力分量，即,，而且它们只是坐标x，y的函数，与z无关。这类问题称作平面应力问题。,当弹性体的一个方向尺寸很大，例如很长的柱形体。在柱形体的表面上有平行于横截面而不沿长度变化的外力。若柱形体无限长，则柱形体任一点的应力分量、应变分量和位移分量都不沿z方向变化，而只是x、y的函数；此外由于在z方向柱形体的结构型式和受力都相同，因此任一横截面都可以看做是对称面。而对称面在z方向的伦移必须为零，所以柱形体内任一点都只有x，y方向的位移u、v。由于对称，这样六个应力分量剩下四个，即，这类问题称做平面应变问题。,对于平面应力问题：对于平面应变问题，在z方向还作用有正应力 但 是自成平衡的,二.平面问

16、题的基本方程,1、平衡方程,平面问题中的平衡微分方程为,(1-6),2、几何方程,任意点P，沿x轴、y轴取微小长度PAdx，PBdy。,PA的线应变 为,PB的线应变 为,PA和PB之间的直角变化即切应变 为,平面问题中的几何方程为,(1-7),3、物理方程,在平面应力问题中，,得到平面应力的物理方程为 并且,(1-8),在平面应变问题中，,得到平面应变的物理方程为,(1-9),以上导出的2个平衡微分方程式(1-6)，3个几何方程式(1-7)和3个物理方程式(1-8)或式(1-9)，是弹性力学平面问题的8个基本方程。这8个基本方程式中包含8个未知数：3个应力分量，3个应变分量；2个位移分量。基

17、本方程数目和未知函数的数目相等，在适当的边界条件下是能得到解答的。,平面问题的边界条件有三种,三.平面问题的边界条件,1、位移边界条件,若弹性体在边界上给定位移分量，它们是边界坐标的已知函数。,(1-10),2、应力边界条件,若弹性体在边界上给定表面力分量，它们在边界上是坐标的已知函数。在边界上待求的应力分量 与给定表面力之间的关系-即应力边界条件，可由边界上小单元体的平衡条件得出。,在边界上取出小单元体，它的斜面AB与物体的边界重合，如图所示。用N代表边界面AB的外法线方向，并令N的方向余弦为,令边界面AB的长度为ds，则PA和PB的长度分别为 和。垂直于图面的尺寸取为一个单位。作为在边界上

18、的己知面力沿坐标铀的分量为。,由平衡条件，得,略去高阶微量并各项同除以ds，并令ds趋于零，则得,式中 是应力分量的边界值。,由平衡条件，得,物体边界上各点应力分量与面力分量之间的关系式，即平面问题的边界条件为,(1-11),在垂直于x轴的边界上，x值为常量，应力边界条件简化为,在垂直于y轴的边界上，y值为常量，应力边界条件简化为,可见，在这种倩况下，应力分量的边界值等于对应的面力分量。,当物体的一部分边界具有已知位移，而另一部分边界具有已知面力时，则具有已知位移的边界可应用式(1-10)，具有已知面力的边界可应用式(1-11)。此外，还可能在同一部分边界上出现混合边界条件，即两个边界条件中的

19、一个是位移边界条件，另一个则是应力边界条件。,3、混合边界条件,在求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满足基本方程并不困难；但要使得边界条件也得到完全满足，却往往发生很大的因难(因此，弹性力学问题在数学上被称为边界值问题)。,四.圣维南原理,圣维南原理可以这样来陈述：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力(主矢量相同，对于同一点的主矩也相同)那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。,在弹性力学里求解未知的应力分量、应变分量和位移分量，按基本变量的选定可分为应力法、位移法和混合法等三种。,五.平面问题的解法,应力法是以应力分量作

20、为基本未知函数，综合运用平衡、几何和物理方程，得到只包含应力分量的微分方程，由这些微分方程和边界条件求出应力分量，再用物理方程求出应变分量，用几何方程求出位移分量。,位移法是以位移分量作为基本未知函数，综合运用平衡、几何和物理方程，得到只包含位移分量的微分方程。由这些微分方程和边界条件求出位移分量，再由几何方程求出应变分量，用物理方程求出应力分量。,混合法是同时以某些位移分量和某些应力分量为基本未知函数，综合运用平衡、几何和物理方程得到只包含这些位移分量和应力分量的微分方程。由这些微分方程和边界条件求出某些位移分量和某些应力分量，再利用适当的方程求出其他的未知量。,下面用应力法求解平面问题。,

21、将平面问题的几何方程(1-7)中的 对y求两次导数，对x求两次导数后相加，得,所以,这个关系式称为相容方程或变形协调方程。,(1-12),只有当，、满足式(1-12)，变形才能协调。,利用物理方程将式(1-12)中的应变分量消去，使相容方程中只包含应力分量，然后和平衡方程联立，就能解出应力分量。,对于平面应力问题。,将物理方程(1-8)代人式(1-12)得到只包含应力分量的相容方程,(1-13),将式(1-13)和平衡方程(1-6)联立就可解出应力分量。,以应力表示的相容方程形式,将平衡方程(1-6)写成,对x,y分别求导，然后相加，可得,(1-14),将式(1-14)代入式(1-13)，化简

22、得,(1-15),对于平面应变问题，以应力表示的相容方程只要在式(1-15)中将 换为 就可得到。其方程为,(1-16),因此用应力法求解平面问题时，对于平面应力问题，利用平衡方程(1-6)和以应力表示的相容方程(1-15)就可解出应力分量。它们应当满足应力边界条件。对于平面应变问题，利用平衡方程(1-6)和相容方程(1-16)解出应力分量，这些应力分量也应满足应力边界条件。,(1-17),当体力是常量时，则以应力表示的相容方程式(1-15)和式(1-16)可化成以下相同的形式,称做平面问题的拉普拉斯算子。,(1-17),六.应力函数,在体力为常量的情况下，将应力作为基本变量求解平面问题时归结

23、为求解下列微分方程组,(1-6),平衡方程(1-6)是非齐次微分方程组，它的解答包括两部分，即方程(1-6)的任一特解和齐次方程的通解之和。,(1-18),(1-19),可取下列的特解,将式(1-19)代入是能满足式(1-6)的。,为了求齐次方程(1-18)的通解，可将式(1-18)改写为,由微分方程理论可知：若存在，则表达式 必是某函数的全微分。因此表达式是以A(x,y)表示的某函数的全微分。于是,(a),(b),(c),同样，表达式 是某函数B(x，y)的全微分。且,(d),比较(c)式和(d)式，可得到,(e),由(e)式也指出表达式,是某函数,的全微分,且,(f),将(c)、(d)式代

24、人(f)式，就得到式(1-18)的通解,(1-20),(1-21),将通解和特解相加即得微分方程(1-6)的全解,不论 是什么样的函数，应力分量式(1-21)总能满足平衡微分方程(1-6)，函数 称作平面问题的应力函数。应力分量式(1-21)除必须满足平衡微分方程外，还应满足变形协调条件。将,式(1-21)代入相容方程式(1-17),(1-22),上式可变为,展开为,(1-23),(1-24),这就是用应力函数 表示的相容方程。由此可见，应力函数应当是重调和函数。,如果体力不计，则 XY0,式(1-21)简化为,(1-25),因此，用应力法求解平面问题时，如果体力是常量，就只须由微分方程(1-

25、23)解出应力函数然后用式(1-21)求出应力分量。但是在求解具体问题时，寻求满足式(1-23)的应力函数并不困难，而要它严格的满足边界条件却是很困难的。,因此，在具体求解问题时，只能采用逆解法或半逆解法。,所谓逆解法，是先假设各种形式的满足相容方程(1-23)的应力函数，用式(1-21）算出应力分量。然后根据应力边界条件来考察在各种形状的弹性体上，这些应力分量对应于什么样的面力，从而得知所设定的应力函数可以解决什么问题。,例如设应力函数，其中c为任意常数。不论 取何值，总能满足相容方程式(1-23)，若不计体力，由式(1-25)求出对应的应力分量为,当弹性体的形状为矩形板，且坐标的取法如图所

26、示。若在板内发生上述应力时，则此矩形板上下两边应没有面力，左右两边应没有垂直面力，,从而求得应力函数，然后来考虑这个应力函数是否满足相容方程，以及原来所假设的应力分量和由这个应力函数求出的其余应力分量是否满足应力边界条件。如果相容方程和各方面的条件都能满足，自然就得出正确的解答，如果某一方面不能满足，就要另作假设，重新考虑。,有按直线变化的水平面力。每一边上的水平面力合成为一个力偶。因此，应力函数 能解决矩形梁受纯弯曲问题。,所谓半逆解法，是针对所要求解的问题根据弹性体的边界 形状和受力情况，假设部分或全部应力分量为某种形式的函数，,一、极坐标中的基本方程,1极坐标中的平衡方程,极坐标中微元体

27、受力图,在极坐标中，平面内任一点的位置用径向坐标 和周向(或环向)坐标 来表示。,沿 和 方向取出微小六面体，六面体 的长度为，沿周向的交角为，沿z方向为一个单位长度。在六面体上作用的内力如图所示。,将六面体所受各力投影到六面体中心 C 的径向轴上列出径向平衡方程,-径向正应力；,-环向正应力；,切应力用 表示，,根据切应力互等定理，。,对于小变形，,略去高阶微量，得,将六面体上所受各力投影到六面体中心 C 的周向轴上，列出周向平衡方程,利用,和切应力互等定理，,略去高阶微量，得,于是，极坐标中的平衡微分方程是,(1-26),这两个微分方程，包含三个未知函数，是个静不定问题。,2极坐标中的几何

28、方程和物理方程,-径向线应变；,-周向线应变；,-周向与径向的切应变；,-径向位移；,-周向位移；,先假设只有径向位移没有周向位移，,P、A、B三点的位移分别为,径向线段PA的线应变为,周向线段PB的线应变为,径向线段PA的转角为,周向线段PB的转角为,切应变为,其次，假设只有周向位移而没有径向位移，,P、A、B三点的位移,分别为,径向线段PA的线应变为,周向线段PB的线应变为,径向线段PA的转角为,周向线段PB的转角为,切应变为,(1-27),分别相加起来，就得到极坐标中的几何方程,在平面应力情况下，物理方程为,(1-28),(1-29),在平面应变的情况下，将式(1-28)中的 E 量换为

29、；,换为,物理方程为,3极坐标中的应力函数与相容方程,当体力可不计时，平衡微分方程(1-26)的通解可以用极坐标的应力函数 表示成为,(1-30),(1-30),式(1-30)必须满足以应力表示的相容方程。,直角坐标中的相容方程为,极坐标与直角坐标间的关系：,由此可得,(1-30),所以,因此可得,两式相加起来，得到,极坐标中的相容方程为,(1-31),用极坐标求解平面问题时，若体力可以不计，就只需从式(1-31)求解应力函数，然后求出应力分量。对于给定问题，这些应力分量在边界上应当满足应力边界条件。,二、平面轴对称问题,在平面问题中，如果它的几何形状、约束情况以及所承受的外载都对称于某一轴Z

30、则,位移分量也必然对称于Z轴也就是这些分量仅是径向坐标的函数而与 无关。这类问题称做平面轴对称问题。,所有的应力分量、应变分量和,在轴对称问题中，应力函数 只是径向坐标r 的函数，即,在此情况下，式(1-30)简化为,(1-32),(1-33),相容方程简化为,这是一个四阶变系数常微分方程，它的通解是,(1-34),因此可得到应力分量,(1-35),轴对称情况下的应变分量和位移分量如下：,(1-36),对平面应力问题，将应力分量式(1-35)代人物理方程式(1-28）得,在轴对称情况下，位移，代入几何方程式,(1-37),将式(1-36)的第一式代入式(1-37)，并对r 积分得,将式(1-3

31、6)第二式代人式(1-37)的第二式，得,为了使u 的两个表达式一致即满足位移单值条件，必须使式中的B0，F=0。,(1-39),(1-38),(1-40),由此得出轴对称平面应力情况下的应力分量、应变分量和位移分量的表达式,方程中的积分常数A、C由边界条件确定。,三、解法举例,1沿径向承受均布压力的环板,承受径向压力的环板,这是一个轴对称平面应力问题。环板内、外边界上所受的面力(即内、外压)为已知，且环板的边界垂直于坐标轴r，因此，应力分量的边界值就等于对应的面力分量。所以应力边界为,代入式(1-38),(1-41),由此可得出,将式(1-41)代入式(1-38)、式(1-39)和式(1-4

32、0)中，得环板的应力、应变和位移分量为,(1-42),(1-43),(1-44),2圆孔的孔边应力集中,孔边应力集中是局部现象，在几倍孔径以外，应力几乎不受孔的影响，应力的分布情况以及数值大小都几乎与无孔时相同，一般讲，应力集中的程度越高，集中现象越是局部性的。,孔边应力增大的倍数与孔的形状有关，在各种形状的开孔中，圆孔孔边的应力集中程度最低。因此，如果必须在构件中开孔，应当尽可能开圆孔。如果不可能开圆孔也应当采用近似于圆形的孔。,矩形薄板。在离开边缘较远外，有半径为d的小圆孔，薄板四边受均布拉力，强度为q。见图1-12(a)。,坐标原点取在圆孔的中心，坐标轴平行于边界。,用极坐标求解。首先将

33、直边变换为圆边。为此，以远大于d的某一长度b为半径，以坐标原点为圆心，作一个大圆,在A点，应力情况与无孔时相同，也就是在A点沿x轴、y轴和大圆周切线方向取小单元体，在小单元体两个垂直面上的应力分别为 和；与圆周相切的斜截面上的应力为，见图所示。列出小单元体沿斜截面法线和切线方向的静力平衡方程，整理后，得,(1-45),将，代人式(1-45)，可得到,在大圆周上的任一点都能得到此结果。因此，问题变为求内半径为 a，外半径为 b 的环板在外边界上受均布拉力 q 的应力分布。,这样只需在环板内、外压力时的应力表达式(1-42)中，令 于是得,近似取，从而得到解答,(1-46),习 题,1.设有任意形

34、状的等厚度薄板，体力可以不计，在全部边界上受有均匀压力q，如图所示。试证 及 能满足平衡微分方程、相容方程和边界条件，它们是这个问题的解答。,证：写出下列方程：,(1),(2),(3),由(2)式展开：,由题可知：,代人(1)(2)式显然满足。斜边上的方向余弦：,将，代入(3)式，可得,所以，是正确解答。,2.试写出悬臂梁的边界条件。已知左端固定，自由端受有合力p。解：应力边界条件：对于上表面AC:方向余弦，面力代入上式得：，对于下表面BD:面力,代入上式得,固定端AB:位移为自由端CD：代入上式：3.已知应力分量为而。试问此种应力分布在什么情况下满足平衡微分方程，其中 均为常数，为容量。解：

35、平衡微分方程：,(1),代入(1)式可以得：,故当体力按上述分布时，其应力分布满足平衡微分方程。4.试证 是一个应力函数，并写出应力分量表达式。证：双协调方程为：其中：,(1),(1),代入 式显然满足。故可以作为应力函数。,应力分量：,5.矩形简支梁作用一三角形分布载荷，如图所示，不计体力。试检查应力函数 是否成立，若成立写出应力分量。,证：,代入相容性方程：,即：当 时，给定的函数可作为应力函数。,应力分量：,利用边界条件确定待定参数，考察上下表面的边界条件：,当 时，代入 式得：,即,当,代入 式得：,代入上式：,可得：,当,代入 式得：,此时 式可写为：,由 三式联立可得：,当,即：,(h),即：,(i),将 代入 式得：,(i),(h),(j),显然 处：均满足,亦满足,处,最后得到应力分量为：,