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1、-1-,第一节 二重积分的概念和性质,一 二重积分的概念二 二重积分的性质,-2-,一 二重积分的概念,1）曲顶柱体的体积,1 两个实例,解法:类似定积分解决问题的思想:,给定曲顶柱体:,底：xoy 面上的闭区域 D,顶:连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线,母线平行于 z 轴的柱面，,“大化小,常代变,近似和,求 极限”,求其体积.,-3-,1)“大化小”,用任意曲线网分D为 n 个区域,以它们为底把曲顶柱体分为 n 个,2)“常代变”,在每个,3)“近似和”,则,中任取一点,小曲顶柱体,-4-,4)“取极限”,令,-5-,2）平面薄片的质量,有一个平面薄片,在 xoy 平面上占有区域 D,
2、计算该薄片的质量 M.,度为,设D 的面积为,则,若,非常数,仍可用,其面密,“大化小,常代变,近似和,求 极限”,解决.,1)“大化小”,用任意曲线网分D 为 n 个小区域,相应把薄片也分为小区域.,-6-,2)“常代变”,中任取一点,3)“近似和”,4)“取极限”,则第 k 小块的质量,-7-,两个问题的共性：,(1)解决问题的步骤相同,(2)所求量的结构式相同,“大化小,常代变,近似和,取极限”,曲顶柱体体积:,平面薄片的质量:,-8-,2 二重积分的定义及可积性,定义:,将区域 D 任意分成 n 个小区域,任取一点,若存在一个常数 I,使,可积,在D上的二重积分.,积分和,是定义在有界
3、区域 D上的有界函数,-9-,如果 在D上可积,也常,二重积分,这时,分区域D,因此面积元素,可用平行坐标轴的直线来划,记作,实例1中曲顶柱体体积:,实例2中平面薄板的质量:,（称其为直角坐标下的面积元素），,记作,-10-,二重积分存在定理:,若函数,(证明略),在D上可积.,在有界闭区域 D,则,上连续,对二重积分定义的说明：,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,-11-,二 二重积分的性质,（二重积分与定积分有类似的性质）,性质,当 为常数时，,性质,-12-,性质,若 为,的面积，,性质,若在D上,则有,特殊地,性质,（二重积分估 值不等式）,-13-,性质,（二重积分 中值定理）,证:由性质6 可知,由连续函数介值定理,至少有一点,使,因此,-14-,例1.比较下列积分的大小:,其中,解:,它与 x 轴交于点(1,0),而域 D 位,从而,于直线的上方,故在 D 上,积分域 D 的边界为圆周,-15-,例2.判断积分,的正负号.,解:,则,原式=,猜想结果为负 但不好估计.,舍去此项,分积分域为,-16-,解,-17-,
