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1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组,3.2 定积分,高等数学A,3.2.1 曲边梯形的面积变速直线运动的路程3.2.2 定积分的概念3.2.3 定积分的简单性质中值定理,第3章 一元函数积分学,3.2 定积分,定积分的概念与性质,3.2.1 曲边梯形的面积变速直线运动的路程,3.2.2 定积分的概念,3.2.3 定积分的简单性质中值定理,定积分的概念习例1-3,定积分的性质习例4-8,定积分的几何意义,本节内容小结,实例1（求曲边梯形的面积）,思考方法:利用“矩形面积=底高”.,一、曲边梯形的面积变速直线运动的路程,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯
2、形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系,播放,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的
3、关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系,曲边梯形如图所示，,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,全过程为：分割、近似求和、取极限.,实例2（
4、求变速直线运动的路程）,思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,（1）分割,（2）求和,（3）取极限,路程的精确值,注意:,上述两例的共同点,(1)所求量与一个函数及区间有关.,(2)变与不变的矛盾.,(3)处理方法一样:分割、近似求和、取极限.,(4)结果一样:都是同一形式的和式的极限.,1.定义,二、定积分的概念、定积分的几何意义,记为,积分上限,积分下限,积分和,注意：,如果存在,它就是一个确定的数值!,如Dirichlet函数的讨论.,若定积分存在,则可用特殊的区间分法和点的取法来计
5、算定积分.,(7)定积分的存在性有以下两个定理(不加证明),定理1,定理2,(8)定积分是一个构造性的定义,可利用定义求一些简单函数的定积分;同时可利用定义求n项和的极限.,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,2.定积分的几何意义,几何意义：,例1,例2,例3,3.定积分的概念习例,解,例 1,例2,解,例3,解,x,y,o,1,2,证,(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况),性质1,三、定积分的简单性质中值定理,(定积分对积分区间具有可加性),证,性质2,补充：不论 的相对位置如何,上式总成立.,例 若,（定积分对于积分区间具有可加性）,则,性质3,证,性质4,性质5,性质5的推论1：,证,（1）,证,说明：可积性是显然的.,性质5的推论2：,（2）,证,（此性质可用于估计积分值的大致范围）,性质6,证,由闭区间上连续函数的介值定理知,性质7（定积分中值定理）,积分中值公式,使,即,积分中值公式的几何解释：,例 6,例 7,例 8,定积分的性质习例,解,令,于是,解,例 6,解,例 7,解,注意:,这样证明正确吗？,例 8,解,能！,如图.,x,y,o,内 容 小 结,.定积分的实质：特殊和式的极限,.定积分的思想和方法：,求近似以直（不变）代曲（变）,取极限,3.定积分的性质,
