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1、第二节 二重积分的计算,一 利用直角坐标系计算二重积分,如果区域D为：,型区域D：,D,D,设曲顶柱体的底是,型区域D,顶为连续函数,D,由于截面为曲边梯形，,所以,只要积分区域D为,公式,总成立。,D,积分区域D：,D,如图,例1.计算,其中D 是直线 y1,x2,及,yx 所围的闭区域.,例2.计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解:为计算简便,先对 x 后对 y 积分,及直线,则,解法2,例3.计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解:由被积函数可知,因此取D 为,先对 x 积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.,型区域:,例4.交换下列积分顺序,解:积分域
2、由两部分组成:,则,解,例6 计算 二重积分,其中,为,解,用,分积分区域,例7 计算,其中D 由,所围成.,解,所以,说明,如果函数,为,的奇函数,积分区域,关于,轴对称,则,如果函数,为,的偶函数,积分区域,关于,轴对称，,则,其中,例8 计算,其中D 由,所围成.,解:令,(如图所示),例9,求由两直交圆柱面,所围立体的体积。,解,第一象限部分立体如图,所示，,由对称性得,二 利用极坐标计算二重积分,在极坐标,下如何计算,用同心圆,常数，,半直线,常数划分积分,区域,D,取,.,.,.,极坐标下面积元素,设,则,特别,极坐标下的二次积分,解,例11 计算二重积分,其中,为,解,例12 将
3、二重积分,化为极坐标,下二次积分,解,例12 将二重积分,化为极坐标,下二次积分,2）,解,例13,计算二重积分,其中D为区域,解,由对称性得,例14 计算二重积分,其中,解,例15 计算广义积分,解,设,则,其中,记,所以,所以,由于,所以,例16 求,部分的体积。,解,第一象限部分立体如图,由对称性得,三 二重积分换元法,定积分换元法,满足,一阶导数连续;,雅可比行列式,(3)变换,则,定理:,变换:,是一一对应的,证明略,例如,直角坐标转化为极坐标时,例17 计算,其中D 是 x 轴 y 轴和直线,所围成的闭域.,解:令,则,例18 计算由,所围成的闭区域 D 的面积 S.,解:令,则,例19.试计算椭球体,解:,由对称性,令,则D 的原象为,的体积V.,
