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1、第九章,一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,曲线积分,曲面积分,重 积 分及曲线积分,三、二重积分的性质,第一节,一、引例,二、二重积分的定义与可积性,二重积分的概念与性质,第九章,解法:类似定积分解决问题的思想:,一、引例,1.曲顶柱体的体积,给定曲顶柱体:,底：xOy 面上的闭区域 D,顶:连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线,母线平行于 z 轴的柱面,求其体积.,“大化小,常代变,近似和,求 极限”,1)“大化小”,用任意曲线网分D为 n 个区域,以它们为底把曲顶柱体分为 n 个,2)“常代变”,在每个,3)“近似和”,则,中任取一点,小曲顶柱体,4)“取极限”,令,2.平面薄片的质
2、量,有一个平面薄片,在 xOy 平面上占有区域 D,计算该薄片的质量 M.,度为,设D 的面积为,则,若,非常数,仍可用,其面密,“大化小,常代变,近似和,求极限”,解决.,1)“大化小”,用任意曲线网分D 为 n 个小区域,相应把薄片也分为小块.,2)“常代变”,中任取一点,3)“近似和”,4)“取极限”,则第 k 小块的质量,两个问题的共性：,(1)解决问题的步骤相同,(2)所求量的结构式相同,“大化小,常代变,近似和,取极限”,曲顶柱体体积:,平面薄片的质量:,二、二重积分的定义及可积性,定义:,将区域 D 任意分成 n 个小区域,任取一点,若存在一个常数 I,使,可积,在D上的二重积分
3、.,积分和,是定义在有界区域 D上的有界函数,引例1中曲顶柱体体积:,引例2中平面薄板的质量:,如果 在D上可积,元素d也常记作,二重积分记作,这时,分区域 D,因此面积,可用平行坐标轴的直线来划,二重积分存在定理:,若函数,定理2.,(证明略),定理1.,在D上可积.,限个点或有限条光滑曲线外都连续,积.,在有界闭区域 D上连续,则,若有界函数,在有界闭区域 D 上除去有,三、二重积分的性质,(k 为常数),为D 的面积,则,特别,由于,则,5.若在D上,6.设,D 的面积为,则有,7.(二重积分的中值定理),证:由性质6 可知,由连续函数介值定理,至少有一点,在闭区域D上,为D 的面积,则
4、至少存在一点,使,使,连续,因此,例1.比较下列积分的大小:,其中,解:积分域 D 的边界为圆周,它在与 x 轴的交点(1,0)处与直线,从而,而域 D 位于直线的上方,故在 D 上,例2.估计下列积分之值,解:D 的面积为,由于,积分性质5,即:1.96 I 2,P122 1,3(1)(3),4(1)(2),第二节,作业,内容小结,1.二重积分的定义,2.二重积分的性质,(与定积分性质相似),被积函数相同,且非负,思考与练习,解:,由它们的积分域范围可知,1.比较下列积分值的大小关系:,2.设D 是第二象限的一个有界闭域,且 0 y 1,则,的大小顺序为(),提示:因 0 y 1,故,故在D上有,3.计算,解:,4.证明:,其中D 为,解:利用题中 x,y 位置的对称性,有,又 D 的面积为 1,故结论成立.,备用题,1.估计,的值,其中 D 为,解:被积函数,D 的面积,的最大值,的最小值,2.判断,的正负.,解：当,时，,故,又当,时，,于是,
