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1、第十章,一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,曲线积分,曲面积分,重 积 分,三、二重积分的性质,第一节,一、引例,二、二重积分的定义与可积性,四、曲顶柱体体积的计算,二重积分的概念与性质,第十章,解法:类似定积分解决问题的思想:,一、引例,1.曲顶柱体的体积,给定曲顶柱体:,底：xoy 面上的闭区域 D,顶:连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线,母线平行于 z 轴的柱面,求其体积.,“大化小,常代变,近似和,求 极限”,1)“大化小”,用任意曲线网分D为 n 个区域,以它们为底把曲顶柱体分为 n 个,2)“常代变”,在每个,3)“近似和”,则,中任取一点,小曲顶柱体,4)“取极限”,令,2
2、.平面薄片的质量,有一个平面薄片,在 xoy 平面上占有区域 D,计算该薄片的质量 M.,度为,设D 的面积为,则,若,非常数,仍可用,其面密,“大化小,常代变,近似和,求 极限”,解决.,1)“大化小”,用任意曲线网分D 为 n 个小区域,相应把薄片也分为小区域.,2)“常代变”,中任取一点,3)“近似和”,4)“取极限”,则第 k 小块的质量,两个问题的共性：,(1)解决问题的步骤相同,(2)所求量的结构式相同,曲顶柱体体积:,平面薄片的质量:,二、二重积分的定义及可积性,定义:,将区域 D 任意分成 n 个小区域,任取一点,若存在一个常数 I,使,可积,在D上的二重积分.,积分和,是定义
3、在有界区域 D上的有界函数,引例1中曲顶柱体体积:,引例2中平面薄板的质量:,如果 在D上可积,也常,二重积分记作,分区域D,因此面积元素,可用平行坐标轴的直线来划,记作,这时,定理1.,二重积分存在定理:,若函数,定理2.,(证明略),在D上可积.,限个点或有限条光滑曲线外都连续,积.,在有界闭区域 D上连续,则,若有界函数,在有界闭区域 D 上除去有,例如,在D:,上二重积分存在;,在D 上,二重积分不存在.,三、二重积分的性质,(k 为常数),为D 的面积,则,特别,由于,则,5.若在D上,6.设,D 的面积为,则有,7.(二重积分的中值定理),证:由性质6 可知,由连续函数介值定理,至
4、少有一点,在闭区域D上,为D 的面积,则至少存在一点,使,使,连续,因此,8.设函数,D 位于 x 轴上方的部分为D1,当区域关于 y 轴对称,函数关于变量 x 有奇偶性时,仍,在 D 上,在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则,则,有类似结果.,在第一象限部分,则有,例1.比较下列积分的大小:,其中,解:积分域 D 的边界为圆周,它与 x 轴交于点(1,0),而域 D 位,从而,于直线的上方,故在 D 上,例2.判断积分,的正负号.,解:分积分域为,则,原式=,猜想结果为负 但不好估计.,舍去此项,例3.估计下列积分之值,解:D 的面积为,由于,积分性质5,即:1.96 I 2,解,解,解
5、,解,设曲顶柱的底为,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,四、曲顶柱体体积的计算,同样,曲顶柱的底为,则其体积可按如下两次积分计算,解:设两个直圆柱方程为,利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,例1.求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积.,内容小结,1.二重积分的定义,2.二重积分的性质,(与定积分性质相似),3.曲顶柱体体积的计算,二次积分法,被积函数相同,且非负,思考与练习,解:,由它们的积分域范围可知,1.比较下列积分值的大小关系:,的大小顺序为(),提示:因 0 y 1,故,故在D上有,2.设D 是第二象限的一个有界闭域，且 0 y 1，则,解:,3.计算,其中D 为,解:利用题中 x,y 位置的对称性,有,又 D 的面积为 1,故结论成立.,4.证明:,解 由于被积函数 在园盘 D 上连续，D 的面积为。由二重积分的积分中值定理知，在 D 内存在点 使,当 时,于是，所求的极限为,其中,则,(2005考研（三）4分),例6 设,如图，正方形,被其对角线划分为四个区域,则,(A);(B);(C);(D),A,2009考研一,设区域,为,上的正值连续函数，为常数，则,(A);(B);(C);(D),D,2005考研（二）,练 习 题,练习题答案,
