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1、二重积分的 计算 及应用,一、二重积分计算的基本方法,1.选择合适的坐标系,使积分域多为坐标面(线)围成;,被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.,2.选择易计算的积分序,积分域分块要少,累次积分易算为妙.,图示法,列不等式法,(从内到外:面、线、点),3.掌握确定积分限的方法,累次积分法,典型例题,例1,解,X-型:,计算二重积分,其中D 为圆周,所围成的闭区域.,提示:利用极坐标,原式,P182 题2(3),例2,例3.,计算积分,其中D 由,所围成.,提示:如图所示,连续,所以,二重积分计算的基本技巧,分块积分法,利用对称性,1.交换积分顺序的方法,2.利用对称性简化计算,3.消去被积函数
2、绝对值符号,例4,解,例5,解,证明:,提示:左端积分区域如图,交换积分顺序即可证得.,P182 题4,练习题,P182 题1（3）,练习题,提示:,交换积分顺序,B,例6,解,先去掉绝对值符号，如图,使用对称性时应注意,1.积分区域关于坐标轴的对称性.,2.被积函数在积分区域上关于两个坐标变量的奇偶性.,只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配时,才能简化.,利用对称性简化二重积分的计算,二重积分计算的简化,例7 计算二重积分,其中:,(1)D为圆域,(2)D由直线,解(1)利用对称性.,围成.,(2)积分域如图:,将D 分为,添加辅助线,利用对称性,得,例8 计算二重积分,在第一象限部分.,
3、其中D 为圆域,提示:,两部分,作辅助线,将D 分成,说明:若不利用对称性，需分块积分以去掉绝对值符号.,P182 题1（2）,练习题,A,P182 题6,练习题,二、三重积分计算的基本方法,1.选择合适的坐标系,使积分域多为坐标面(线)围成;,被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.,2.选择易计算的积分序,积分域分块要少,累次积分易算为妙.,图示法,列不等式法,(从内到外:面、线、点),3.掌握确定积分限的方法,累次积分法,把积分,化为三次积分,其中由曲面,提示:积分域为,原式,及平面,所围成的闭区域.,P183 题7,练习题,计算三重积分,其中是由,xoy平面上曲线,所围成的闭区域.,提示:利用柱坐标,原式,绕 x 轴旋转而成的曲面与平面,P183 题8(3),三重积分计算的基本技巧,分块积分法,利用对称性,1.交换积分顺序的方法,2.利用对称性简化计算,3.消去被积函数绝对值符号,1.积分区域关于坐标面的对称性.,2.被积函数在积分区域上关于三个坐标变量的奇偶性.,只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配时,才能简化.,利用对称性简化三重积分的计算：,其它情形依此类推.,三重积分计算的简化,P182 题1(1),设有空间闭区域,则有（）,例1,解,典型例题,例2,解,利用球面坐标,利用“先二后一”计算.,例3 试计算椭球体,的体积 V.,解,
