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1、,流 体 力 学,教研室：环境与市政工程系水力水文教研室,第五章 量纲分析和相似原理,51 量纲分析52 相似理论53 相似准则54 模型实验,主要内容,五,学习重点：,51 量纲分析,一、量纲的概念,1、量纲与单位,2、量纲的分类：,如：速度量纲：L T 1；流量量纲：L3 T 1。,对于不可压缩流体运动，则选取M、L、T三个基本量纲，其他物理量量纲均为导出量纲。速度 dimv=LT-1；加速度 dima=LT-2力 dimF=MLT-2；动力粘度 dim=ML-1T-1综合以上各量纲式，可得任一物理量q的量纲dimq都可用3个基本量纲的指数乘积形式表示。,3、导出量纲公式：,dimq=M
2、a L b Tc,4、无量纲量（纯数、无因次量）：,（1）定义：当量纲公式中各量纲指数均为零，即a=b=c=0时,则dimq=1，这个物理量即无量纲量。可以由两个具有相同量纲的物理量相比得到；也可以由几个有量纲物理量乘积组合，使组合量的量纲指数为零得到。,（2）特点：,二、量纲和谐原理,凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲必须是一致的，即只有方程两边量纲相同，方程才能成立。量纲和谐原理是量纲分析的基础。,2、量纲的主要特性：,1、定义,3、量纲分析的具体应用：,（1）量纲分析法,即应用量纲的和谐原理，来推求各物理量 之间的函数关系的方法。,（2）应用：,三、量纲分析法,1、瑞利法：,（1
3、）特点：,可直接利用量纲一致原则进行量纲分析；,（2）适用范围：,方程中物理量较少（一般45个），各量纲间的关系较易确定。,（3）基本原理和步骤：,写成指数形式：,量纲表示式：,据量纲和谐原理,1 其指数关系式：,（4）举例：已知影响水泵输入功率的物理量有：水的 重度，流量Q，扬程 H。求水泵输入功率N 的表达式。,3 据量纲的和谐原理有：,M L2T-3=M L-2T-21 L3T-12 L3,故得：N=k Q H,2、定理（布金汉定理）,是改进了的量纲分析法，可用于物理量相对 较多的情况。,（1）基本原理：,设某一物理过程包含 n个物理量：f(x1，x2，xn)=0，其中有 m 个为基本量
4、（量纲独立，不能相互导出的物理量），则该物理过程可由n个物理量构成的(n-m)个 无量纲项来描述。,因是用来表示无量纲量，故称定理。可由数学方法证明，这里从略。,m个量纲是否独立，可用指数行列式是否为零来判断，若其0，则独立。,（2）m 个相互独立量纲的物理量选择：,一般可选 3个（m=3），通常分别选几何学物理量、运动学物量、动力学物理量各一个。此法一般可满足量纲相互独立。,（3）确定无量纲量的方法：,1 从 n 个物理量中选出 m 个相互独立的基本量；,2 由 m 个基本量纲冪的乘积作为分母，未列入基 本量纲的其它各物理量分别作为分子，设分子 分母量纲相同，即可求得无量纲量。,如 m=3，
5、,则有：,3 按量纲和谐原理求得各指数，即可得出的具体表达式。,例2：管中紊流，单位管长沿程水头损失hf/L，取决于下列因素：流速,管径D，重力g，粘度，管壁粗糙度和密度，试用定理分析确定方程的一般形式。,解：（1）找出有关物理量,（2）选基本量。在有关量中取v，D，为基本变量，基本量数m=3,（3）组成项，决定各项基本指数。的个数N()=n-m=7-3=4，显然hf/L是一个，因hf和L量纲都是长度。,1=/(a1Db1c1)=ML-1T-1/(LT-1a1Lb1ML-3c1),则,L:-a1-b1+3c1-1=0 T:a1-1=0 M:-c1+1=0,由此a1=1，b1=1，c1=1。类似
6、有：,2=/(a2Db2c2)3=g/(a3Db3c3）,可得：,a2=0，b2=1，c2=0 a3=2，b3=-1，c3=0,（4）整理方程式：,即,解得：,常用沿程损失公式形式为：,称沿程阻力系数，具体由实验决定。,例3：液体在水平等直径的管内流动，设两点压强差p与下列变量有关：管径d,l,管壁粗糙度，试求p的表达式。,解：（1）找出有关物理量 F（d,l,p）=0,（2）选基本量，组成项。基本量d,n=7,m=3,数n-m=4个,（3）决定各项基本量指数,对1：,对2：,同理得：,（4）整理方程式,设,则,（2）量纲和谐原理是判别经验公式是否完善的基础。19 世纪，量纲分析原理未发现之前
7、，水力学中积累了 不少纯经验公式，每一个经验公式都有一定的实验 根据，都可用于一定条件下流动现象的描述，这些 公式孰是孰非，无所适从。量纲分析方法可以从量 纲理论作出判别和权衡，使其中的一些公式从纯经 验的范围内解脱出来。,关于量纲分析方法的几点讨论：,（1）量纲分析法的理论基础是量纲和谐原理。,（3）应用量纲分析方法得到的物理方程式，是否符合客观 规律和所选入的物理量是否正确有关。而量纲分析方 法本身对有关物理量的选取却不能提供任何指导和启 示，可能由于遗漏某一个决定性的物理量，造成方程 中出现累赘的量纲量。这种局限性是方法本身决定的。弥补它，需要已有的理论分析方法和实验成果，要依 靠研究者
8、的经验和对流动现象的观察认识能力。（4）量纲分析为组织实施实验研究，以及整理实验数据提 供了科学的方法，可以说量纲分析方法是沟通流体力 学理论和实验之间的桥梁。,思考题,1.量纲分析有何作用？,答：可用来推导各物理量的量纲；简化物理方程；检验物理方程、经验公式的正确性与完善性，为科学地组织实验过程、整理实验成果提供理论指导。,2.经验公式是否满足量纲和谐原理？,答：一般不满足。通常根据一系列的试验资料统计而得，不考虑量纲之间的和谐。,3.瑞利法和布金汉定理各适用于何种情况？,答：瑞利法适用于比较简单的问题，相关变量未知数45个，定理是具有普遍性的方法。,52 相似理论,一、相似的概念,1、模型
9、实验：,从模型上得到的现象可用来推断原型上可能发生的情况。,原型：天然水流和实际建筑物称为原型。,2、相似理论：,研究原型与模型之间联系的理论，即为相似理论。是模型实验的理论基础。,3、流动相似 是几何相似概念的扩展。即要求在原、模型的流动现象对应点上，同类的物理量（几何学物理量、运动学物理量、动力学物理量）具有固定的比例关系。即流动相似扩展为下面的“相似条件”。,二、相似条件,1、几何相似,满足力学相似，即几何相似、运动相似、动力相似、初始条件和边界条件相似。,（2）表达式：,注：l 可据实验场地及要求而定。通常取 10l100,以角标p表示原型（prototype）,m表示模型（model
10、）,（3）意义：,几何相似是力学相似的前提，只有在几何相 似的流动中才能找到对应点，从而进一步探讨对应点其它物理量之间的相似。,指两个流场对应点上同名的运动学量成比例。,2、运动相似,（1）条件：,（2）表达式：,运动相似是模型实验的真正目的。,（3）意义：,3、动力相似,（1）条件：,指两个流动对应点上受到同名力的作用，力的方向相同、大小成比例。,（2）表达式：,根据达郎贝尔原理，对于运动的质点，设想加上该质点的惯性力，则惯性力与质点所受作用力平衡，形式上构成封闭力多边形。因此动力相似又可表述为相应点上的力多边形相似，相应边（即同名力）成比例。,（3）意义：,如分别以符合T、G、P、和I代表
11、影响流体运动的粘滞力、重力、压力和惯性力，则有：,4、初始条件和边界条件相似,初始条件相似：适用于非恒定流。,边界条件相似：指两个流动相应边界性质相同，如原型中的固体壁面，模型中相应部分也是固体壁面；原型中的自由液面，模型相应部分也是自由液面。,流动相似的含义：几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据；动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素；运动相似是几何相似和动力相似的表现；凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。,53 相似准则,1、流体力学的相似,2、在工程中应力求做到完全相似，但实际上要做到这点是比较困难的，故一般可做到近 似相似，即起主要作用的力相似，满足一定的精
12、度要求即可。,3、在惯性力、压力、重力、粘滞力等各种力中，直接 影响流动的力是惯性力，它是力图保持原有流动状 态的力。而其它力是力图改变原有流动状态的力，称主动力，是流体受到的外力。流动的变化就是惯 性力与主动力之间相互作用的结果。,4、相似准则实际就是惯性力与某单项主动力成比例的 动力相似。它是模型设计和试验的基本依据。,雷诺准则（作用在流体上的力主要是粘滞力）。,一、粘滞力相似准则,1、力的比尺：,故有：,由,3、用比尺表示,有：,即：（Re）p=（Re）m,Re 雷诺数,2、Re,雷诺数。是无量刚数，表征惯性力与粘滞力之比。两流动相应的雷诺数相等，粘滞力相似。,粘滞力相似，适用于粘滞力起
13、主要作用的流动，如全封闭边界中的流动，有压管流，潜体（飞机、潜艇等）情况。,二、重力相似准则,弗劳德准则（作用在流体上的力主要是重力）,1、力的比尺：,故有：,由,即：(Fr)p=(Fr)m,Fr 弗劳德数,2、Fr弗劳德数，是无量刚数，表征惯性力与重力之比。两流动相应的弗劳德数相等，重力相似。,适用于主要靠重力流动的流体。如明渠流、闸孔出流、堰顶溢流、消力池、桥墩等。,欧拉准则（作用在流体上的力主要是压力）。,三、压力相似,其中：,1、力的比尺：,Eu欧拉数,由,即：(Eu)p=(Eu)m,2、用比尺表示：,适用于压力起主要作用的流动。如全封闭流体、压力体等。,注：当 Fr准则与 Re准则得
14、到满足时，Eu准则将自动满 足，故Eu准则不是独立的准则。Fr准则与Re准则是独立准则。另外还有弹性力相似准则、表面张力 相似准则等。,流体的运动是边界条件和作用力决定的，当两个流动一旦实现了几何相似和动力相似，就必然以相同的规律运动。由此得出结论，几何相似与相似准则成立是实现流体力学相似的充分和必要条件。,54 模型实验,一、模型律的选择,1、模型律,使原、模型的相似准数相等的条件即为模型律。,2、模型律的选择方法：,实际上就是相似准则的选择。为了使模型和原型流动完全相似，除了几何相似外，各独立的相似准则应同时满足。但实际上要同时满足是不可能的。,选择起主导作用的力相似，达到近似相似即可。根
15、据实践，对于大多数流动现象，以Re或Fr为主，主要用这两种准则指导模型设计。如有压管流、潜体绕流，粘滞力起主要作用，应按雷诺准则设计模型；堰顶溢流、闸孔出流、明渠流动等，重力起主要作用，应按佛汝德准则。,当原型和模型为同种流体，得,只有lp=lm，即l=1时，上式才能成立。此时已失去模型实验的价值。,如长度比尺l=10，。若原型是水，模型就需选用运动粘度是水的1/31.62的实验流体，这样的流体很难找到。,当原型和模型为不同种流体，得,（1）雷诺模型,同一种流体,说明：若原型和模型流动都处于自动模型区，只 需几何相似，不需 Re相等，就自动实现阻 力相似。,（2）弗劳德模型,说明：1 按 Fr
16、准则 设计的模型，如果模型中流动 进入自模区，便同时满足阻力相似。2 对流动缓慢，处于层流区的明渠均匀流，则采用 Re 模型。,表5.1 按雷诺准则和弗劳德准则导出各物理量比尺,二、模型设计,1、选择比尺L,在保证几何相似、不影响试验结果的正确性的 前提下，应尽量选择小尺寸的模型，降低造价 和运转费用。,2、选择实验流体,3、计算各物理量比尺及实验时的各物理量的值,按所选的模型律设计。,4、设计制作模型,5、选择测试方法及实验设备,三、举例,按所选用的相似准则，确定流速比尺及模型的流量。,例 长度比l=50的船舶模型，在水池中以1m/s的速度牵引前进时，则得波浪阻力为0.02N。求（1）原型中的波浪阻力；（2）原型中船舶航行速度；（3）原型中需要的功率？,解 由于重力在起主要作用，所以原型和模型的弗劳德数应相等。即,由于gp=gm，故上式可写成,或,由于,所以,谢 谢！,
