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1、第二章 线性方程组的敏度分析,向量范数与矩阵范数线性方程组的敏度分析,2.1 向量范数与矩阵范数,1,2.1.1 向量范数,定义2.1.1 一个从Rn到R的非负函数叫做Rn上的向量范数。如果它满足：,（1）正定性：对,有,而且,（2）齐次性：对,有,（3）三角不等式：对,有,注：性质（2）（3）可以合并为：对,和,p-范数(又称为Hlder范数),其中p=1,2,是最常用的.即,分别称为1-范数、2-范数和-范数（或一致范数）。,很显然，单位向量的p-范数都等于1。,例1 试求向量,的三种常用p-范数。,解：,例2 若x,y是线性相关且,证明：既然x,y是线性相关且,则有,则x,y的夹角为0。
2、故,于是,例3 向量范数是定义在Rn上的连续实函数.证明 由范数的定义性质可知:,而,其中ek是单位向量.,于是,又因,定理1 设 和 是定义在Rn上的两个范数,则存在正数C1和C2,使对,(即任两范数都等价.),证明:令单位球面集合,都是定义在Rn上的连续函数.故,在有界闭集合S上必取得,最小值C1和最小值C2,即对一切非0向量x有,即,证毕,由于,向量范数,p-范数的等价关系:,定理2 设,则,的充分必要条件是,证明:由定理1知:存在正数C1和C2使,必要性.设对,当kK时,有,从而,充分性.设对,当kK时,有,从而,都有,2.1.2 矩阵范数,定义2 非负函数,叫做,上的矩阵范数,如果,
3、因此:(1)任意两个矩阵范数都是等价的;(2)矩阵序列的范数收敛等价于其元素收敛.即当,则称矩阵范数 和向量范数 是相容的。,定义3 若矩阵范数 和向量范数 满足,定理3 设是Rn上的一个向量范数。则非负函数,是定义在Rnn上的一个矩阵范数。,由该定义给出的矩阵范数也称为从属于向量范数的矩阵范数，也称为由向量范数诱导出的算子范数。,显然，单位矩阵的算子范数等于1。,矩阵的p-范数即是由向量p-范数诱导出的算子范数：,定理4 矩阵的p范数有如下计算公式：,矩阵1-范数亦称为列范数,矩阵-范数亦称为行范数,矩阵2-范数亦称为谱范数,例2 计算下列矩阵的三种p范数,解,定义4 设,则称,定理 6 设
4、,则有,（1）对C nn上的任意矩阵范数，有,（2）对给定的 0,存在C nn上一个算子范数,使得,定理 7 设,则,假定,满足,则I-A可逆,且有,2.2 线性方程组的敏度分析,问题提出:,设 x 满足非奇异线性方程组,x+x 满足线性扰动方程组,其中,A 称为矩阵A的扰动,b称为向量b的扰动.,问题1:A,b 和x 的关系是怎样的?A 和b 大小对x 的影响是怎样的?,问题2:决定这种影响的原因是什么?,在以下的讨论中,假定A 和A+A 是非奇异的.即原方程组和扰动方程组的解 x 和 x+x 都是唯一存在的.,问题1:A,b 和x 的关系是怎样的?A 和b 大小对x 的影响是怎样的?,扰动
5、方程组可写成,代入,得,整理,得,两边取范数得,问题2:决定这种影响的原因是什么?,已得出,两边除以,大小直接影响解的相对误差,定理2.2.1 设.是Rnn上的一个满足条件I=1的矩阵范数.并假设ARnn非奇异,bRn非零;再假定A Rnn满足 A-1A1.若 x 和 x+x 分别是线性方程组,和,的解,则,其中,当,较小时,有,从而有,定义1 称数 为线性方程组 的条件数.,由定理1知，条件数在一定程度上刻划了扰动方程组解的影响程度。当条件数很大时，就说方程组是病态的；反之，称方程组是良态的。条件数是用矩阵范数定义的。使用不同的范数，对应的条件数的大小可能有所区别，但条件数“大”或“小”的本质是不会变的。常用的条件数有：,显然,例5 求2阶矩阵,条件数,解,因为,所以有,证明,设,非奇异.而且,满足,则,A+A 也是非奇异的,且有,即在谱范数下,一个矩阵的条件的倒数恰好等于该矩阵与全体奇异矩阵所成集合的相对距离.,由于,故当,时,非奇异.,因此,由上节最后的定理知,此外,由谱范数的定义知必有单位长向量x使,令,作 业,（P7374）2,6,8,11,12,13,
