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1、,等差数列的通项公式,当d0时，这是关于n的一个一次函数。,d=0,常数列；,d0,递增数列；,d0,递减数列；,等差数列的例题1,等差数列的例题2,解得,解：,在等差数列 中，,求 首项 与公差.,1、等差数列的概念：,2、等差数列的通项公式：,d=0,常数列；d0,递增数列；d0,递减数列,小结：,或,如果一个数列的通项公式能写成（p,q 是常数）的形式，那么这个数列是不是等差 数列呢？,课后思考：,如果一个数列是等差数列，那么该数列的通项公式一定能写成（p,q是常数）的形式。,推广后的通项公式,(n-m)d,例4 在等差数列an中(1)若a59=70，a80=112，求a101；(2)若
2、ap=q，aq=p(pq)，求ap+q；(3)若a12=23，a42=143，an=263，求n.,d=2,a101=154,d=-1,ap+q=0,d=4,n=72,等差中项,三个数成等差数列，可设这三个数为：,2b=a+c,a,a+d,a+2d,或 a-d,a,a+d,例5(1)已知a，b，c成等差数列，求证：ab-c2，ca-b2，bc-a2也成等差数列；,(2)三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积为12，求此三数.,上面的命题中的等式两边有 相 同 数 目 的项，如a1+a2=a3 成立吗？,【说明】3.更一般的情形，an=d=,等差数列的性质,1.an为等差数列,2.a、b、
3、c成等差数列,an+1-an=d,an+1=an+d,an=a1+(n-1)d,an=kn+b,（k、b为常数）,am+(n-m)d,b为a、c 的等差中项AA,2b=a+c,4.在等差数列an中，由 m+n=p+q,am+an=ap+aq,注意：上面的命题的逆命题 是不一定成立 的；,例2.在等差数列an中(1)已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20,例题分析,(2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8,(3)已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.,分析：由 a1+a20=a6+a15=a9+a12 及 a6+a9+a12+a15=
4、20，可得a1+a20=10,分析：a3+a11=a6+a8=2a7，又已知 a3+a11=10，a6+a7+a8=（a3+a11）=15,分析：a4+a5+a6+a7=56 a4+a7=28 又 a4a7=187，解、得,或,d=_2或2,从而a14=_3或31,课堂练习,1.等差数列an的前三项依次为 a-6，2a-5，-3a+2，则 a 等于（)A.-1 B.1 C.-2 D.2,B,2.在数列an中a1=1，an=an+1+4，则a10=,2(2a-5)=(-3a+2)+(a-6),提示1:,提示：,d=an+1an=4,-35,3.在等差数列an中(1)若a59=70，a80=112
5、，求a101；(2)若ap=q，aq=p(pq)，求ap+q,d=2,a101=154,d=-1,ap+q=0,研究性问题,300 500,4.在等差数列an中,a1=83，a4=98，则这个数列有 多少项在300到500之间？,d=5,提示：,an=78+5n,n=45，46，84,40,2.已知an为等差数列，若a10=20，d=-1，求a 3?,1.若a12=23，a42=143，an=263，求n.,3.三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积为12，求此三数.,d=4,n=72,a 3=a 10+(3-10)d,a 3=27,设这三个数分别为a-d a，a+d，则3a=12，a2
6、-d2=12,6，4，2或2，4，6,等差数列的前n项和公式的推导,由等差数列,的前n项和,得,等差数列的前n项和公式的其它形式,公式记忆方法!,1)前n个正整数的和：1+2+3+n=；,2)求正整数列中前n个偶数的和 2+4+6+2n=。,例2：数列an是等差数列，a1=50，d=2（1）从第n项开始有an0；（2）求此数列的前几项和最大？,小结：若在等差数列an中，a10，d0，则sn存在最小值；,例3.在等差数列an中,解：方法一,解：方法二（只适合填空题）,14,25,19.5,1.将等差数列前n项和公式 看作是一个关于n的函数，这个函数 有什么特点？,当d0时,Sn是常数项为零的二次
7、函数,则 Sn=An2+Bn,令,等差数列的前n项的最值问题,例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法1,由S3=S11得,d=2,当n=7时,Sn取最大值49.,等差数列的前n项的最值问题,例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法2,由S3=S11得,d=20,当n=7时,Sn取最大值49.,则Sn的图象如图所示,又S3=S11,所以图象的对称轴为,等差数列的前n项的最值问题,例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法3,由S3=S11得,d=2,当n=7时
8、,Sn取最大值49.,an=13+(n-1)(-2)=2n+15,由,得,a7+a8=0,等差数列的前n项的最值问题,例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法4,由S3=S11得,当n=7时,Sn取最大值49.,a4+a5+a6+a11=0,而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8,又d=20,a70,a80,求等差数列前n项的最大(小)的方法,方法1:由 利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.,方法2:利用an的符号当a10,d0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an 0且an+1 0求
9、得.,2.等差数列an前n项和的性质,性质1:Sn,S2nSn,S3nS2n,也在等差数列,公差为,在等差数列an中,其前n项的和为Sn,则有,性质2:若Sm=p,Sp=m(mp),则Sm+p=,性质3:若Sm=Sp(mp),则 Sp+m=,性质4:(1)若项数为偶数2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项),此时有:S偶S奇=,n2d,0,nd,(m+p),性质4:(1)若项数为奇数2n1,则 S2n-1=(2n 1)an(an为中间项),此时有:S偶S奇=,两等差数列前n项和与通项的关系,性质6:若数列an与bn都是等差数列,且前n项的和分别为S
10、n和Tn,则,性质5:为等差数列.,an,例1.设等差数列an的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()A.63 B.45 C.36 D.27,例2.在等差数列an中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+a99=60,a2+a4+a6+a100=()A.85 B.145 C.110 D.90,B,A,3.等差数列an前n项和的性质的应用,例3.一个等差数列的前10项的和为100,前100项的和为10,则它的前110项的和为.,110,等差数列an前n项和的性质的应用,例5.一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32:27
11、,则公差为.,例6.(09宁夏)等差数列an的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m=.,例7.设数列an的通项公式为an=2n-7,则|a1|+|a2|+|a3|+|a15|=.,5,10,153,等差数列an前n项和的性质的应用,例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知a3=12,S120,S130.(1)求公差d的取值范围;(2)指出数列Sn中数值最大的项,并说明理由.,解:(1)由已知得,等差数列an前n项和的性质,(2),Sn图象的对称轴为,由(1)知,由上得,即,由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.,Sn有最大值.,3.等差数列an前n项
12、和的性质,性质1:Sn,S2nSn,S3nS2n,也在等差数列,公差为,在等差数列an中,其前n项的和为Sn,则有,性质2:若Sm=p,Sp=m(mp),则Sm+p=,性质3:若Sm=Sp(mp),则 Sp+m=,性质4:(1)若项数为偶数2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项),此时有:S偶S奇=,n2d,0,nd,(m+p),性质4:(1)若项数为奇数2n1,则 S2n-1=(2n 1)an(an为中间项),此时有:S偶S奇=,两等差数列前n项和与通项的关系,性质6:若数列an与bn都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则,性质5:为等差数列.,an,思考:已知一个无穷等差数列的首项为a1，公差为d：（1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个 新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果 是，它的首项和公差分别是多少？,（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的 数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它 它的首项和公差分别是多少？,（3）取出数列中所有项数为7的倍数的各项，组 成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？,
