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1、,等差数列的性质,等差数列重要拓展课题：,导航：等差数列的定义和通项公式是处理等差数列问题的出发点，化基本量进行计算是基本方法，但充分利用性质总可以使问题更加简便，事实上，学习任何数列都应当充分重视其性质的研究，我们对函数研究时何尝不是同样的道理，Lets go!,等差数列,【说明】数列 an 为等差数列,an+1-an=d,d,=an+1-an,公差是 唯一 的，是一个常数。,等差数列各项对应的点都在同一条直线上.,知识回顾,an=a1+(n-1)d,或an+1=an+d,例1 已知数列的通项公式为an=pn+q，其中p,q是常数，且p0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，其首项与公差是
2、什么？,分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看anan-1(n2)是不是一个与n无关的常数就行了,解：取数列中的任意相邻两项an-1与an(n2)anan-1=(pn+q)-p(n-1)+q=pn+q-(pn-p+q)=p它是一个与n无关的常数，所以是等差数列，且公差是p在通项公式中令n=1，得a1=p+q,所以这个等差数列的首项是p+q，公差是p,等差数列的性质(一),解后反思：证明一个数列是等差数列的方法,作业讲评：,1、若一个数列的通项公式为n的一次型函数an=pn+q,则这个数列为等差数列,公差为p.,2、非常数列的等差数列通项公式是关于n的一次函数.常数列的等差数列通项
3、公式为常值函数。,an=3n+5,a1=8，d=3,an=12-2n,a1=10，d=-2,y=3x+5,y=12-2x,等差数列的性质(一),在一个数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项.,如果a,A,b成等差数列,那么A叫a与b的等差中项.,如:数列:1,3,5,7,9,11,13,中,即：,等差数列的性质(二),思考题:已知三个数成等差数列的和是12，积是48，求这三个数.,设数技巧已知三个数成等差 数列，且和为已知时常利用对称性设三数为：a-d,a,a+d四个数怎么设？,(1)若有三个数成等差数列，则一般设为ad，a，ad；(2)若有四个数成等差
4、数列，则一般设为a3d，ad，ad，a3d；(3)若有五个数成等差数列，则一般设为a2d，ad，a，ad，a2d.,等差数列的设法及求解,如何判断一个数列为等差数列,在等差数列,中，,为公差，若,且,则：,等差数列的性质(三),（常用性质）,数列an是等差数列，m、n、p、qN+，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq。,判断：,可推广到三项，四项等注意：等式两边作和的项数必须一样多,等差数列的性质(三),例2.在等差数列an中(1)已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20,分析：由 a1+a20=a6+a15=a9+a12 及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a
5、20=10,例题分析,(2)已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8,(3)已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.,分析：a3+a11=a6+a8=2a7，又已知 a3+a11=10，a6+a7+a8=（a3+a11）=15,分析：a4+a5+a6+a7=56 a4+a7=28 又 a4a7=187，解、得,或,d=_2或2,从而a14=_3或31,练习,已知一个等差数列的首项为a1，公差为da1，a2，a3，an（1）将前m项去掉，其余各项组成的数列是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？,am+1，am+2，an是等差数列首项为am+1，公差
6、为d，项数为n-m,等差数列的性质(四),已知一个等差数列的首项为a1，公差为d，a1，a2，a3，an（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？,a1，a3，a5，是等差数列首项为a1，公差为2d,取出的是所有偶数项呢？,a2，a4，a6，是等差数列首项为a2，公差为2d,等差数列的性质(四),已知一个等差数列的首项为a1，公差为d，a1，a2，a3，an,a7，a14，a21，是等差数列首项为a7，公差为7d,取出的是所有k倍数的项呢？,ak，a2k，a3k，是等差数列首项为ak，公差为kd,（3）取出数列中所有项是7的倍数的各项，组成一个
7、数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差是多少？,等差数列的性质(四),已知一个等差数列的首项为a1，公差为d，a1，a2，a3，an（4）数列a1+a2，a3+a4，a5+a6，是等差数列吗？公差是多少？a1+a2，a3+a4，a5+a6，是等差数列，公差为4d 数列a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5是等差数列吗？公差是多少？a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5是等差数列，公差为3d。,等差数列的性质(四),1、若数列an为等差数列，公差为d，则kan也为等差数列，公差为 _。,4、若数列an与bn分别是公差为d1、d2等差数列，则an+bn也为等差数列，an-bn也为等差数列，pan+qbn也为等差数列。,kd,2、can(c为任一常数)是公差为_的等差数列；,3、can(c为任一常数)是公差为_的等差数列,d,cd,等差数列的性质(四),例题分析,例题分析,重点题型：证明一个数列是等差数列,例题分析,例题分析,整体思想,例题分析,
