导热问题的数值解法.ppt

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1、热量传输11.导热问题的数值解法,有限差分方法的基本原理,用差商近似代替导数(微商)有限差分方法就是把微分方程中的导数近似地用有限差商代替,将微分方程转化为相应的差分方程,通过求解差分方程得到微分方程解的近似值。,有限差商,稳态导热的有限差分方法,以常物性、无内热源矩形区域的二维稳态导热为例,差分方程的建立差商代替微商,将求解区域划分为有限个网格单元,生成网格,建立差分方程,稳态导热的有限差分方法,差分方程的建立热平衡法,差分方程的建立边界节点,差分方程的建立边界节点,例:一圆形金属棒,长L=0.5m,横截面积为A=0.01m2,其导热系数为常数1000W/m.,无内热源,金属棒两端温度已给定

2、,分别为100、500,且不随时间变化,金属棒径向的温度变化忽略不计。求该金属棒内的温度分布。,解:,解析解数值解,解:,解:,解:,差分方程组的求解,雅可比迭代:,特点:计算第k+1次的值时,全部使用第k次迭代的值,收敛速度比较慢,解,解,高斯赛德尔迭代:,特点:总是使用节点温度的最新值,差分方程组的求解,解:,例:一矩形板,长400mm,宽200mm,其导热系数为常数,无内热源,假定该板各边界上的温度已给定,且不随时间变化,在厚度方向的温度变化可忽略不计。求该矩形板内的温度分布。,第一类边界条件下的二维稳态导热问题,不稳态导热的有限差分方法,显式差分方程,以无限大平板一维导热为例,并假定平

3、板内无内热源,热物性参数为常数,显式差分方程,显式差分方程的稳定性问题,有一无限大平板,初始温度为0,开始时平板两侧温度突然升高到100,以后保持不变。假定平板分成10份,选取F=1,内部节点方程及空间步长、时间步长如下:,用显式差分方程求解不稳态导热时,解出现的波动现象称为解的不稳定性问题,显式差分方程的稳定性问题,显式差分方程的稳定性判据F值的大小应满足使差分方程中 系数不为负值,内部节点:绝热边界节点:对流边界节点:,隐式差分格式,无条件稳定,计算过程相对复杂,显式差分方程的稳定性问题,试用热平衡法推导二维不稳态导热内部节点的显式差分方程,并求其稳定性判据?假定x,y方向的空间步长相等,热物性参数为常数,无内热源。,解:,解:,一厚度为240mm的板坯断面上初始温度均匀等于1000,突然放到20的空气中冷却。板坯可视为一维问题处理,用显式差分方程计算板坯在空气中冷却30min时断面上温度分布?,解:,

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