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1、材料力学,中南大学土木建筑学院,1,拉压杆,圆轴扭转,附录 平面图形的几何性质,几何性质只与横截面的几何形状和尺寸有关的某些几何量，对杆件的应力和变形起着重要作用，如横截面面积A，圆轴横截面对圆心的极惯性矩IP等。,材料力学,中南大学土木建筑学院,2,梁的几何性质对变形的影响,材料力学,中南大学土木建筑学院,3,几何性质对变形的影响,力学响应的决定因素载荷 材料 几何性质,材料力学,中南大学土木建筑学院,4,一、形 心,-1 形心和静矩,按合力矩定理理解 均匀薄板的重心,材料力学,中南大学土木建筑学院,5,为代数量，单位：m3或mm3。,横截面对y轴的静矩,横截面对z轴的静矩,二、静矩（一次矩
2、）,三、静矩与形心坐标的关系,Sz=AyC,Sy=AzC,图形对一个轴的静矩，等于该图形面积与其形心坐标的乘积。,材料力学,中南大学土木建筑学院,6,结论：图形对其任意形心轴的静矩为零。,任意图形当 y是形心轴时，zC=0，Sy=AzC Sy=0,几个特例,形心必位于对称轴上,材料力学,中南大学土木建筑学院,7,解：由对称性，yC=0，Sz=0,材料力学,中南大学土木建筑学院,8,四、组合图形的静矩和形心,组合图形由几个简单图形组成的图形。,材料力学,中南大学土木建筑学院,9,组合图形的静矩和形心有如下公式,材料力学,中南大学土木建筑学院,10,组合图形的静矩和形心,材料力学,中南大学土木建筑
3、学院,11,二次矩，正定单位：m4或mm4,显然，图形分布距离极点越远，对该极点的极惯性矩就越大。,面积对极点的二次矩,-2 惯性矩 惯性半径 惯性积,一、极惯性矩（与转动惯量类似）,材料力学,中南大学土木建筑学院,12,二次矩，正定单位：m4或mm4,显然，图形分布距离某轴越远，对该轴的惯性矩就越大。,面积对y、z轴的惯性矩分别为,二、惯性矩,材料力学,中南大学土木建筑学院,13,由定义知：Ip=Iy+Iz,图形对任意一对相互垂直轴的惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。,通过同一点的一对相互垂直轴的惯性矩之和为常量。,组合图形对某轴的惯性矩，等于各组成图形对同一轴惯性矩的和。,材料力学
4、,中南大学土木建筑学院,14,常用图形的惯性矩,材料力学,中南大学土木建筑学院,15,单位m或mm,三、惯性半径,材料力学,中南大学土木建筑学院,16,混合二次矩，代数量单位：m4或mm4,y,z轴中有一个是对称轴，则Iyz=0,四、惯性积,材料力学,中南大学土木建筑学院,17,-3 平行移轴公式,问题 已知对形心轴的惯性矩和惯性积，求对所有与该形心轴平行的轴的惯性矩和惯性积?,材料力学,中南大学土木建筑学院,18,z=zC+a,图形对某轴的惯性矩，等于对平行于此轴的形心轴的惯性矩，加上图形面积与此二轴距离平方的乘积。,材料力学,中南大学土木建筑学院,19,惯性积公式中 a,b 为形心坐标，注
5、意其正负号。,记住图形对形心轴的惯性矩，便可求出对所有平行于此形心轴的各轴的惯性矩。,一般地，Iy=IyC+a2A Iz=IzC+b2A Iyz=IyCzC+abA,在一组平行的轴中，图形对其形心轴的惯性矩最小。,材料力学,中南大学土木建筑学院,20,已知C为形心，求Izc.解：求形心位置 由对称性，形心位于对称轴上。,求IzC IzC=（200203/1220020552）（202003/1220020552）=37.67106 mm4,材料力学,中南大学土木建筑学院,21,求图示截面对y轴的惯性矩。,材料力学,中南大学土木建筑学院,22,一、转轴公式,-4 转轴公式,坐标原点不变，坐标轴旋
6、转，图形对轴的惯性矩和惯性积的变化。,a 角：自y轴正向逆时针转动为正。,新旧坐标转换关系：y1=ycosa zsina z1=zcosa ysina,材料力学,中南大学土木建筑学院,23,Iy1、Iz1、I y1z1 都是a 角的有界周期函数,Iy1+Iz1=Iy Iz=Ip=常数,整理后得,材料力学,中南大学土木建筑学院,24,二、形心主惯性轴 形心主惯性矩,1、主惯性轴 若Iy1z1=0，则 y1，z1 轴称为主惯性轴。其位置可由下式确定：,由上式可求出相差90o的a0，a0+90o，分别对应于一对相垂直的主轴y0、z0。,主惯性轴的意义,对a求导,材料力学,中南大学土木建筑学院,25,
7、2、主惯性矩,图形对主惯性轴的惯性矩，称主惯性矩。,当图形对任意两个坐标轴y，z的惯性矩Iy,Iz和惯性积Iyz已知时，其主惯性矩可由下式计算：,主惯性矩就是图形对通过一点的所有坐标轴中惯性矩取极值（最大值或最小值）时的惯性矩。,与主轴方位的对应关系：求a0时只取主值(|2a0|p/2)，若IyIz，则由y轴转过a0到达y0轴时，有Iy=Imax；若IyIz，则Iy=Imin。注意，a0为正值逆时针旋转，为负则顺时针旋转。,材料力学,中南大学土木建筑学院,26,3、形心主惯性轴,通过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴。对称轴必为形心主惯性轴。,4、形心主惯性矩,图形对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主
8、惯性矩。形心主惯性矩对梁的应力分布和变形计算起着十分重要的作用。,确定形心；确定对任意形心轴的惯性矩和惯性积；计算形心主惯性矩。,计算步骤,材料力学,中南大学土木建筑学院,27,解：由于：,则,两形心主惯性矩相等的几何图形，通过形心的所有轴均为形心主惯性轴，且形心主惯性矩均相等。,此结论可推广到任意正多边形，即正多边形对任一形心轴的惯性矩为常量。,材料力学,中南大学土木建筑学院,28,平面图形可看成一个矩形减去一个圆形组成。,材料力学,中南大学土木建筑学院,29,O为直角三角形ABD斜边上的中点，y、z轴为过点O且分别平行于两条直角边的两轴，关于惯性积和惯性矩有四种答案(已知ba)：（A）Iy
9、z（B）Iyz(C)Iyz=（D）Iy=Iz,(C),正确答案是,材料力学,中南大学土木建筑学院,30,等腰直角三角形如图所示，y、z轴是过斜边中点的任意一对坐标轴（即图中q为任意值），该图形的:(1)惯性积Iyz(2)惯性矩Iy、Iz。,答案：,0；a4/24；a4/24,材料力学,中南大学土木建筑学院,31,求形心,解:建立坐标 yOz,材料力学,中南大学土木建筑学院,32,求 IyC,IzC,IyCzC,过质心C建立坐标系yCCzC,材料力学,中南大学土木建筑学院,33,C1在坐标系yCCzC中坐标为（-30,20）;C2在坐标系yCCzC中坐标为（30,-20）。,材料力学,中南大学土木建筑学院,34,求形心主惯性矩,材料力学,中南大学土木建筑学院,35,形心主惯性轴,a0=-33.7,材料力学,中南大学土木建筑学院,36,截面几何性质小结,1、静矩、惯性矩依赖坐标系数值不同，但是不同坐标 系中的数值有一定的关系。,2、Iz、Iy 恒为正，Sz、Sy、Iyz可正可负，与坐标轴位 置有关。,3、对形心轴静矩为0，对称轴 Iyz=0，对称轴就是形 心主惯性轴。,4、平行移轴公式中，对形心轴的惯性矩最小。,5、形心主惯性矩一个为最大，一个为最小。,材料力学,中南大学土木建筑学院,37,本章结束,
