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1、4 条 件 极 值,条件极值问题的特点是:极值点的搜索范围要受到各自不同条件的限制.解决这类极值问题的方法叫做拉格朗日乘数法.,三、应用举例,返回,一、问题引入,二、拉格朗日乘数法,条件极值问题的实际应用非常广泛,而且还能用来证明或建立不等式.,一、问 题 引 入,很多极值问题,目标函数的自变量不能在其定义,域上自由变化,而是要受到某些条件的约束.,例1 要设计一个容积为 V 的长方形无盖水箱,试,问长、宽、高各等于多少时,可使得表面积达到,最小?,若设长、宽、高各等于 x,y,z,则,目标函数:,约束条件:,例2 设曲线 求此曲线上,的点到原点距离之最大、最小值.对此问题有,目标函数:,约束
2、条件:,还可举出很多这种带有约束条件的极值问题.,定义 设目标函数为,约束条件为如下一组方程:,为简便起见,记 并设,若存在,则称 是 在约束条件 之下的极小值,(或最小值),称 是相应的极小值点(或最小值,点).类似地又可定义条件极大(或最大)值.,二、拉格朗日乘数法,拉格朗日乘数法探源 先从 n=2,m=1 的最简,情形说起,即设目标函数与约束条件分别为,若由 确定了隐函数 则使得目,标函数成为一元函数 再由,求出稳定点 在此点处满足,这表示 的等值线,1812).由此推知:,这又表示:对于函数,在点 处恰好满足:,也就是说,(2)式是函数 在其极值点处所,满足的必要条件.由此产生了一个重
3、要思想:,通过引入辅助函数 把条件极值问题(1),转化成为关于这个辅助函数的普通极值问题.,(B)拉格朗日乘数法 对于前面定义中所设的一般,目标函数和约束条件组,应引入辅助函数,称此函数为拉格朗日函数,其中 称,为拉格朗日乘数.,定理 18.6 设上述条件极值问题中的函数,在区域 D上有连续一阶偏导数.若,D 的内点 是该条件极值问,题的极值点,且,则存在 m 个常数 使得,个方程的解:,说明 对于 n=2,m=1 的情形,已在前面作了说,明;对一般情形的证明,将放到二十三章的定理,23.19 中去进行.,为拉格朗日函数(3)的稳定点,即它是如下,三、应 用 举 例,定理 18.6 指出的方法
4、称为拉格朗日乘数法.下面,用这种方法先来求解本节开头给出的两个例题.,例1 解 此例以往的解法是从条件式解出显函数,例如 代入目标函数后,转而求解,的普通极值问题.可是这样做并不总是方便的,而,且往往无法将条件式作显化处理,更不用说多个条,件式的情形了.现在的新办法是设辅助函数,并求解以下方程组:,为消去,将前三式分别乘以 x,y,z,则得,两两相减后立即得出 再代入第四式,便求得,注 由以上结果还可以得到一个不等式(这是获得,不等式的一种好方法).那就是具体算出目标函数,(表面积)的最小值:,去 V 后便得不等式,例2 解 这里有两个条件式,需要引入两个拉格朗,日常数;而且为了方便计算,把目
5、标函数改取距离,于是有 其中 消,的平方(这是等价的),即设,求解以下方程组:,由此又得 再代入条件,式,继而求得:(这里 否则将无解),最后得到,故原点至已知曲线上点的最小距离与最大距离分,别为,例3 已知圆柱面,它与平面 相交得一椭圆,试求此椭,圆的面积.,分析(i)如果能求得该椭圆的长、短半轴 a 与 b,则椭圆面积为,(ii)由方程(4)看到,此圆柱面关于坐标原点是对,称的,故此圆柱面的中心轴是通过坐标原点的某,一直线;,(iii)因为所给平面也是通过坐标原点的,所以此,平面上的椭圆截线必以坐标原点为其中心点.,解 由以上分析,自原点至椭圆上任意点(x,y,z),的距离 之最大、小值，
6、就是该,椭圆的长、短半轴.(说明:本例的题型与例2 相,类似,但在具体计算策略上将有较大差异.),设拉格朗日函数为,并令,对(5),(6),(7)三式分别乘以 x,y,z 后相加,得到,借助(8),(9)两式进行化简,又得,这说明 的极值就是这里的(即 的极值就是,),问题便转而去计算 为此先从(5)(8)式,消去 得到一个线性方程组:,它有非零解(x,y,z)的充要条件是,由前面讨论知道,方程(10)的两个根 就是,的最大、小值,即 于是,说明(i)一旦由方程(5)(9)能直接求得椭圆的,长、短半轴,那就不必再去计算椭圆的顶点坐标,(x,y,z)了,这使解题过程简单了许多.,(ii)若用解析
7、几何方法来处理本例的问题,则需要,出纬圆半径 和纬圆面积 还有平面,的法线与 l 夹角的余弦,然后根据面积投影关系 最后求得椭圆,先求出圆柱面的中心轴所在直线 l:再求,面积为,例4 设光滑封闭曲线,证明:上任意两个相距最远点,处的切线互相平行,且垂直于这,两点间的连线(见图1813).,证 由于 是光滑封闭曲线,所以满足:,(i)F 在一个包含 的开域内有连续的一阶偏导数,且,(ii)在 上必有相距最远的点.,设 为 上相距最远的两点,则点 为目标函数,在约束条件,之下的极大值点.于是由拉格朗日乘数法,存在,成为拉格朗日函数,的稳定点.从而满足,由前两式与后两式分别得到,前者表示 后者表,示
8、 所以 在,两点处的切线互相平行,且垂直于,*例5 试求函数,在条件 下的最小值,并由此导出相,应的不等式.,解 设,并使,由此方程组易得,都使得 故存在,又设,由于 为一有界闭集,为连续函数,因此 在,上存在最大值和最小值.而在 及 上,f 的值已大于 故 f 在 S 上的最小值必在,的内部取得.又因 内部只有惟一可疑点,所以必定有,最后,在不等式,中,用 代入,就得到一个新的不等式:,经整理后,就是“调和平均不大于几何平均”这个,著名的不等式:,*例6 利用条件极值方法证明不等式,由前三式解出 代入第四式后得到,稳定点,下面来说明这个稳定点必定是条件最大值点.,为简单起见,考虑 在,上的情
9、形.由于 为有界闭集,为连续函数,因,此 在 上存在最大、小值.首先,显然有,这在 上(x=0,或 y=0,或 z=0)取得.而,故有,由此得到不等式,又因在 上满足 把它代入上式,就,证得,注1 在用条件极值方法证明不等式时,设置合适,的目标函数与约束条件是解决问题的关键.对于,本例来说,也可把上面的条件极大值问题改述为,条件极小值问题:求目标函数,在条件 约束之下的极小值.,一个问题的这两种处理形式,俗称为目标函数与约,束条件在形式上的对偶性.前面例5 和课本下册,p.168 上的例3 同样也是对偶问题.有关对偶性问,题的确切提法,请参阅后面复习思考题的第 3 题.,注2 如何判断所得稳定点是条件极大(小)值点?,这有多种方法可供选用.例5 与例6 提供了两种常,用的说理方式;课本下册 p.168 例3 通过计算黑赛,矩阵,用极值的充分条件去判别,只是计算过程十,分繁琐,不如例5 的做法更加理性(这是利用对偶,性带来的好处).此外,很多实际问题还可借助实,际意义说明所作判断的合理性.,复习思考题,则有如下命题:,4.例6 论述稳定点是条件极值点的方法能否适用,于例5?请说出理由.,
