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1、第八讲 留数,1.定义 2.分类 3.性质 4.零点与极点的关系,5.1 孤立奇点,1.定义,例如,-z=0为孤立奇点,-z=0及z=1/n(n=1,2,)都是它的奇点,-z=1为孤立奇点,这说明奇点未必是孤立的。,2.分类,以下将f(z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。考察：,特点：,没有负幂次项,特点：,只有有限多个负幂次项,特点：,有无穷多个负幂次项,定义 设z0是f(z)的一个孤立奇点，在z0 的去心邻域内，若f(z)的洛朗级数,没有负幂次项，称z=z0为可去奇点;,只有有限多个负幂次项，称z=z0为m 级极点;,有无穷多个负幂次项，称z=z0为
2、本性奇点。,3.性质,若z0为f(z)的可去奇点,若z0为f(z)的m(m 1)级极点,例如：,z=1为f(z)的一个三级极点，z=i为f(z)的一级极点。,若z0为f(z)的本性奇点,4.零点与极点的关系,定义 不恒等于0的解析函数f(z)如果能表示成,例如：,定理,事实上，,必要性得证！,充分性略！,例如,定理:,证明,“”若z0为f(z)的m 级极点,例,解显然，z=i 是(1+z2)的一级零点,综合,1.留数的定义 2.留数定理 3.留数的计算规则,5.2 留数(Residue),1.留数的定义,定义设 z0 为 f(z)的孤立奇点，f(z)在 z0 邻域内的洛朗级数中负幂次项(z-z
3、0)1 的系数 c1 称为f(z)在 z0 的留数，记作 Res f(z),z0 或 Res f(z0)。,由留数定义,Res f(z),z0=c1(1),2.留数定理,定理,证明,由复合闭路定理得：,用2i 除上式两边得:,得证！,求沿闭曲线c的积分，归之为求在c中各孤立奇点的留数。,一般求 Res f(z),z0 是采用将 f(z)在 z0 邻域内展开成洛朗级数求系数 c1 的方法,但如果能先知道奇点的类型，对求留数更为有利。,以下就三类孤立奇点进行讨论：,3.留数的计算规则,规则I,规则II,事实上，由条件,当m=1时，式(5)即为式(4).,规则III,事实上，,例1,解,例2,解,例3,解,例4,解,故由留数定理得：,(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留数，不要死套规则。,如,是f(z)的三级极点。,-该方法较规则II更简单！,(2)由规则II 的推导过程知，在使用规则II时，可将 m 取得比实际级数高，这可使计算更简单。,如,作 业,P147 1（1）（4）（7）8（2）（4）（6）（8）9（1）（2）（5）,
