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1、第四章 非线性电阻电路,4.1 非线性电阻元件的特性 4.2 非线性电阻电路的方程 4.3 图解分析法 4.4 小信号分析法 4.5 分段线性分析法 4.6 数值分析法 4.7 应用实例：温度测量与控制电路,4.1 非线性电阻元件的特性,本章介绍非线性电阻电路方程的建立方法，分析非线性电阻电路的一些常用方法，如图解分析法、小信号分析法、分段线性化方法、数值分析法等。,一、非线性电阻元件,定义：在ui平面或iu平面上的伏安特性曲线不是通过原点的直线。,非线性电阻不满足欧姆定律,u=f(i)或 i=g(u),1.伏安关系,如：PN结二极管的伏安特性,从伏安特性可看出其u和i呈现单调关系，所以其伏安
2、特性也可表示为：,二、非线性电阻按伏安特性关系的分类,1.单调型,其电压既可表示为电流的单值函数，电流也可表示为电压的单值函数,PN结二极管及其伏安特性曲线,充气二极管及其伏安特性曲线,隧道二极管及其伏安特性曲线,从充气二极管的伏安特性可见，u是i的单值函数，只能取电流i作为控制变量，为流控型非线性电阻。,从隧道二极管的伏安特性可见，i是u的单值函数，只能取电压u作为控制变量，为压控型非线性电阻。,2.流控型、压控型,其电压可表示为电流的单值函数或电流可表示为电压的单值函数,u=f(i),i=g(u),3.既非压控又非流控电阻,可看出方程既无法把u表达成i的单值函数，也无法把i表达成u的单值函
3、数。,注意：与线性电阻不同，非线性电阻一般不是双向电阻。例如PN结二极管，就必须明确地用标记将其两个端钮区别开来，在使用时必须按标记正确接到电路中。,其电压电流关系不能表达为一个变量的单值函数,如：理想二极管,4.2非线性电阻电路的方程,从列写电路方程的两个基本依据来看：,2.不同的是元件本身的特性。由于非线性电阻元件的电压电流关系不是线性的，所以得到的方程将是非线性的。,1.基尔霍夫电流定律（KCL）、基尔霍夫电压定律（KVL）只与电路的结构有关，而与元件的性质无关。因此就列写KCL和KVL本身方程，非线性电阻电路与线性电阻电路无区别。,解：方法1：网孔法,消去i1、u3，可得,解：方法2：
4、节点电压法,消去i3，可得,由上面的分析可知，建立非线性电阻电路方程时，非线性电阻的处理与受控电源的处理类似，只是非线性电阻的控制量是电阻本身所在支路上的变量（电压或电流）而已。,2.对电压控制型非线性电阻，采用节点法或割集法进行分析比较简单，因为用电压变量（节点电压或割集电压）容易表示电压控制型非线性电阻上的电流。,1.对电流控制型非线性电阻，采用网孔法或回路法进行分析比较简单，因为用电流变量（网孔电流或回路电流）容易表示电流控制型非线性电阻上的电压。,4.3图解分析法,图解分析法的原理,一、图解法的基本原理：将非线性电路拆分为两个一端口电路N1和N2，如图所示。拆分的方式可以是任意的，为了
5、列写电路方程的方便，一般拆分成线性电路部分和非线性电路部分，也可以拆分成两个非线性电路部分。设N1和N2的电压电流关系为：,图解分析方法的思路：因为每个方程代表一条特性曲线，图解分析方法就是用作图的方法找到这些曲线的交点，即静态工作点(quiescent operating point)。,图解分析法的原理,根据KVL和KCL，有,或,由上两式，可得,a),b),用图解法在同一坐标系中画出式a)或式b)中两个方程的特性曲线，其交点为电路方程的解。,例4.3.1 如图4.3.2(a)所示，设非线性电阻R的电压电流关系为，其中u为非线性电阻两端的电压(单位为V)。试求非线性电阻R的静态工作点。,(
6、a),解：将非线性电阻R左边的线性电路部分用戴维南电路等效，如图(b)所示，其中,(b),则线性电路部分的电压电流关系为：,非线性电路部分的电压电流关系为,在同一坐标系中作出两部分电路的伏安特性曲线，如图(c)所示，其交点为Q，即为非线性电阻R的静态工作点，对应的坐标为,(C),4.4 小信号分析法,上节图解法是在直流激励下，确定静态工作点，如果在此基础上再加入幅度很小的随时间变化的信号（小信号），如何处理呢？,小信号分析法的基本思路：是在静态工作点确定的基础上，将非线性电阻电路的方程线性化，得到相应的小信号等效电路或增量等效电路（线性电阻电路）。利用分析线性电路的方法进行分析计算。,4.4
7、小信号分析法,任意时刻t 都有,图示电路中，直流电压源为U0，电阻R0为线性电阻，非线性电阻R是电压控制型的，其伏安特性i=f(u)，其伏安特性曲线如图4.4.1(b)所示,图4.4.1（a),图4.4.1（b),小信号时变电压为uS(t),1.首先按照KVL列出电路方程,分析方法：,(4.4.1),3.当uS(t)加入时,u1、i1是由于小信号uS(t)的作用而引起的偏差在,(4.4.2),(4.4.3),(4.4.4),在任何时刻t，u1、i1相对(UQ，IQ)都是很小的量。,的条件下，,由if(u)可得：,(4.4.5）,又由于u1很小，可以将上式右边在UQ点附近用泰勒级数展开，取级数前
8、面两项而略去一次项以上的高次项，上式可写为,(4.4.6),因此有,(4.4.8),Gd为非线性电阻在工作点(UQ，IQ)处的动态电导(dynamic conductance)，Rd为相应的动态电阻(dynamic resistance)。,由于Gd 1/Rd在工作点(UQ，IQ)处是一个常量，所以从上式可以看出，小信号电压uS(t)产生的电压u1和电流i1之间的关系是线性的。,(4.4.11),由此可以作出给定非线性电阻在工作点(UQ，IQ)处的小信号等效电路，如图所示。,图4.4.2 小信号模型,例4.4.1 在如图4.4.3(a)所示非线性电阻电路中，非线性电阻的伏安特性为，现已知当uS
9、(t)0时，回路中的电流i为1A。如果uS(t)costV时，试用小信号分析法求回路中的电流i。,解 由题意可知，此电路中的静态工作点在I0=1A处，工作点处的动态电阻为,作出小信号等效电路,故总电流为,可得：,4.5分段线性分析法,分段线性分析法(piecewise linearization analysis)是一种实用的近似方法，即用一条折线来分段逼近特性曲线，所以有时也称之为折线法(polygon method)。,思路：就是用若干段斜率不同的折线近似代替非线性电阻的实际特性曲线，从而将非线性电阻电路转化为几个线性电路求解，每个线性电路对应一个相应的区间。,4.5分段线性分析法,图所示
10、为流控型非线性电阻的特性曲线，可以将非线性电阻的特性分作三段，分别用OA、AB、和BC三段直线来逼近它。直线方程如果用电流为自变量，其一般表达式为,图,分段线性逼近,其中Uk是第k段直线与u轴交点的坐标。显然，图中的U1=0，U20，U30。Rdk为动态电阻，等于第k段直线的斜率，即,图中三条线段上，有三个动态电阻,OA段是通过原点的直线,Rd1=RD10,由上式可知，第k段非线性电阻Rk的特性可以用电压源串联线性电阻来等效，如图(b)所示，称为分段戴维南电路。或电流源并联电导来等效如图(c)所示，称为分段诺顿电路。,或,例4.5.1 试用分段线性分析法求解图4.5.3(a)所示电路，其中非线
11、性电阻的伏安特性曲线如图(b)所示。,(a),(b),图,解,现在按电压分为两段，分别用OA（）、AB（）两条直线分段逼近。取u为自变量，直线方程是,对OA段，可测得Ik=0A，Gdk=0.8S，,对AB段，可测得Ik=1.0A，Gdk=0.025S,显然，这是一个虚假解，应该舍弃。,此时正好在AB段的范围内，代入直线方程得到,注意：对每个线性电路计算后，要根据电压和电流的等效范围进行校验，仅当工作点在其有关段的等效范围时，其解才是正确的。否则便是虚假工作点，应予以舍弃。,4.6 数值分析法,数值分析法(numerical analysis)一般采用逼近的方法，使用迭代的点序列逐步逼近非线性方
12、程的解。逼近的方法有牛顿法、共轭梯度法等。本节主要介绍牛顿法。,含有一个非线性电阻电路的方程，最终可归结为一个一元非线性方程，假设电路方程的形式为,牛顿法：是基于围绕某一近似解 对函数 进行泰勒展开给出的，即,如果 很小，则可取一阶近似，得到,这是一个线性方程，记其解为，则有,(4.6.3),(4.6.2),牛顿法的几何意义,图,f(x)=0的解x可解释为曲线y=f(x)与x轴的交点的横坐标，见图。设x(k)是x的某个近似值，过曲线y=f(x)上横坐标为x(k)的点Pk作切线，并将该切线与x轴的交点的横坐标x(k+1)作为x的新的近似值。注意到切线方程为,由于这种几何含义，牛顿法也称为切线法,
13、(4.6.4),例4.6.1 用牛顿法求解图4.6.2所示电路的电压 和电流，其中iS=0.673A，二极管的电压电流关系为,解 由电路可得KCL方程,将 和 代入上式并整理，得到以为变量的非线性电路方程,图4.6.2,对f(u2)求导，得,将u2的数值代入 式，可得,因此，牛顿法的迭代公式为,其中上标表示迭代次数。取初始值u2=0时的迭代结果为,对于含有多个非线性电阻电路的方程，最终可归结为一个多元非线性方程组，将一元牛顿法进行推广，可以得到求解多元非线性方程组的牛顿迭代法。假设电路方程的形式为,(4.6.5),与求解一元非线性方程类似，设 是第k次迭代值，将式(4.6.5)在近似解处进行泰
14、勒展开，并只取一阶近似，得到,式中 为待求的电路变量，一般为电压或电流。,这是一个线性方程组，写出矩阵形式有,(4.6.6),a),简写成,其中系数矩阵 称为雅可比矩阵(Jacobian matrix)，为非线性方程组在 处的函数值向量。如果雅可比矩阵 是非奇异的，由式(4.6.7b)解出 得,上式可看成牛顿法的迭代公式(4.6.2)的直接推广。,(4.6.8),b),例4.6.2 用牛顿法求解图4.6.3所示电路各支路电流。电路中各非线性电阻的电压电流关系分别为，,图4.6.3,解:列节点、的KCL方程得,代入非线性电阻的电压电流关系，得到,将上式代入前面两式中，得到,列出回路l1的KVL方
15、程得,由上式得到关于u1，u3的非线性电路方程组,得到雅可比矩阵为,由式(4.6.8)得到迭代公式为,对非线性方程组，可能会出现许多组解的情况，必须取不同的初始值进行迭代试运算。通过不同初始值的迭代运算，得到两组结果,和,经过验算，它们都是电路方程的解。,由第二组解，得到u2=u1u3=0.2641V，从而各支路电流为,由第一组解，得到u2=u1u3=2V，从而各支路电流为,4.7 应用实例：温度测量与控制电路,图4.7.1 温度测量与控制电路,例 对图所示电路，设计电阻RL、RH，使温度稳定在85100。,解 如图所示，注意到理想运算放大器的“虚断”特性（同相输入端电流为零），N1的同相端输入电压为,应用叠加定理，同时注意到理想运算放大器的“虚断”特性（反相输入端电流为零），可求出N1的反相端电压ut,由理想运算放大器的“虚短”特性，得到 于是得到,将电阻Rt的电阻值随温度T（）变化的关系代入上式，得出u1随温度T变化的关系式为,当T=85时，算得，该电压值应该等于电压下限值uREFL，于是有,得出,当T=100时，算得，该电压值应该等于电压上限值uREFH，,得出,于是有,
