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1、第4.4节 非齐次线性方程 组解的结构,线性代数,主要内容：,一、非齐次线性方程组解的性质,二、非齐次线性方程组解的结构,三、思考与练习,证明,非齐次线性方程组解的性质,一、非齐次线性方程组解的性质,定理4.5:,证明,证毕,注意:,即非齐次线性方程组的解集合不是向量空间,二、非齐次线性方程组的通解,定理4.6 Ax=b 的通解等于齐次方程组 Ax=0 的通解与 Ax=b 的一个特解之和.即设 1,2,nr为 Ax=0 之基础解系.为 Ax=b 之特解.则 Ax=b 的通解可表为,k1 1+knr nr+.,证明:,设x是非齐次线性方程组 Ax=b 的任何一个解,则由定理4.5,x-为导出组
2、Ax=0 的解.,注:与方程组 有解等价的命题,线性方程组 有解,比较:线性方程组的两种解法,（1）应用克莱姆法则,（2）利用初等变换,特点：只适用于系数矩阵为方阵,且系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题,特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法,例1 求解,x1+3 x2x3+2x4 x5=4，,3x1+x2+2x3 5x4 4x5=1，,2x13x2x3 x4+x5=4，,4x1+16 x2+x3+3x4 9x5=21.,解：,齐次方程组中令 x4,x
3、5 为自由变量.,取,x1=27,x2=4,x3=41;,取,x1=22,x2=4,x3=33.,得基础解系,对于非齐次阶梯方程组中令 x4=x5=0.得一特解:,故原方程组通解为,x=k11+k22+0.,.,1,39,3,0,34,1,0,4,1,0,4,1,1,27,0,0,22,2,此时，解非常容易求.,解,例2 求下述方程组的解,所以方程组有无穷多解.,且原方程组等价于方程组,求基础解系,令,依次得,求特解,所以方程组的通解为,故得基础解系,另一种解法,则原方程组等价于方程组,所以方程组的通解为,例3,k取何值时有唯一解,无穷多解或无解，有无穷多解时求出通解.,解：,法1：,法2：利用Cramer法则,有无穷多解，,即,当 时，,当 时，即 且 时，方程组有唯一解。,所以方程组无解。,例4,解:,思考题:,四、思考与练习,解:,课堂练习：,答案：,1、C；2、B；3、a1+a2+a3+a4=0,作业：,作业册 P 3033,
